5 Atışta Tam 3 Tura Gelmesi Olasılığı

Yine hilesiz bir paramız olsun ama bu sefer, onu 4 kez atmak yerine 5 kez atalım. 5 kez. Hilesiz bir parayı 5 kez atıyoruz. Bu videoda şunu bulmak istiyorum: Tam olarak 3 kez tura gelme olasılığı. İlk olarak şunu düşünmeliyim: Parayı 5 kez atacaksam, kaç adet birbirinden farklı eşit olasılık vardır? Paranın ilk atılışı için 2 olasılık vardır: yazı ya da tura. İkinci atılışta 2 olasılık vardır. Üçüncü atılışta 2 olasılık vardır. Dördüncü atılışta 2 olasılık vardır. Beşinci atılışta 2 olasılık vardır. 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2. "2 üzeri 5" de yazabilirsiniz. Bu da neye eşittir? 32'ye. 2 çarpı 2, 4; 4 çarpı 2, 8; 8 çarpı 2, 16; 16 çarpı 2, 32; 32 adet olasılık. Sorunun yanıtını bulmak için şunu düşünmemiz gerekir: Bu olasılıkların kaçında, 3 adet tura gelir? 32 olasılığın tümünü buraya yazarak turaları tek tek sayabiliriz. Ama bir önceki videoda incelemeye başladığımız diğer yöntemi kullanalım. Parayı 5 kez atıyoruz. Hepsini yazayım. Bir, iki, üç, dört, beş. Tam olarak 3 adet tura istiyoruz. Bu 3 turayı şu şekilde adlandıracağım: "Tura A", "Tura B" ve "Tura C". Amacım onlara birer ad vermek. Yoksa, videonun ilerleyen bölümünde göreceğimiz üzere, onları birbirinden ayırmıyorum. Bizim açımızdan, sıra ister şu şekilde olsun; "Tura A", "Tura B", "Tura C", yazı, yazı; şeklinde olsun ya da şu şekilde olsun; "Tura A", "Tura C", "Tura B", yazı, yazı; fark etmez. Bu ikisini, farklı iki sıralama olarak sayamayız. Bu ikisi, bizim için aynı sıralamadır. İlk olarak; A, B ve C'nin sıralamasının farklı olmasının önemli olduğu durumlardaki olasılık sayısını buluruz. Ardından, 3 farklı şey kendi içinde kaç farklı sayıda dizilebiliyorsa, bulduğumuz sayıyı, bu sayıya böleriz. A'nın, B'nin ve C'nin sırası önemli olmak üzere, onları bu 5 bölmeye kaç farklı şekilde yerleştirebiliriz? "A" ile başlayalım. Herhangi bir bölmeyi, herhangi bir tura ile eşleştirmemişsek, "A"nın eşleşebileceği 5 farklı bölme vardır. O hâlde, "A" için 5 olasılık vardır. Diyelim ki, "A" bununla eşleşsin. Tabii, bu beşinden herhangi biri olabilir. Bu tura, 5 olasılıktan birini alırsa, diğer turanın eşleşeceği kaç olasılık olur? Kaç farklı olasılık vardır? Geriye 4 bölme kaldı. Yani, 4 olasılık vardır. "Tura A" buraya gelirse, "Tura B"nin geleceği 4 yer kalır. "Tura A" buraya gelirse, "Tura B" de diğer dördünden birine gelir. Örnek vererek gidiyorum. Diyelim ki, "Tura B" buraya gelsin. İki bölme seçildiğine göre, "Tura C" için kaç bölme kaldı? "Tura C" için yalnızca 3 bölme kaldı. Bu 3 bölmeden herhangi biri olabilir. Örnek verdiğimiz için, bunu seçelim. Sıralama bizim için önemli olsaydı, 5 adet bölme ile 3 adet turayı kaç farklı şekilde eşleştirebilirdik? Yanıt, 5 çarpı 4 çarpı 3 olurdu. 5 çarpı 4, 20 eder. Çarpı 3, 60'a eşittir. "Tura A", "Tura B" ve "Tura C"yi, 5 bölmeye, 60 farklı şekilde yerleştirebilirdik. Kişiler söz konusu olsaydı, 5 adet "sandalye" derdik. Toplam 32 adet birbirine eşit olasılık varsa, doğal olarak, 3 adet tura gelmesinin 60 olasılığı olamaz. Daha büyük bir sayı bulmamızın nedeni şu: Şu anda yazılı olan sıralama ile; "Tura B", "Tura A", "Tura C" şeklindeki sıralamayı, farklı olasılıklar olarak kabul etmemiz. Ama biliyoruz ki, bunlar farklı olasılıklar değil. İkisinde de 3 adet tura var. Bunun gibi farklı sıralamaları iki kez saymamamız gerekmiyor Bunu nasıl yapacağız? 60'ı, 3 adet şeyin kendi aralarındaki farklı dizilimlerinin sayısına böleceğiz. 3 adet şeyi, 3 adet bölmeye yerleştireceğim. Burada; ikinci, üçüncü ve beşinci bölmelerde tura var. 3 adet bölmede 3 adet şey olacaksa, onları kaç farklı şekilde yerleştirebilirim? A, B ve C; bu 3 boşluğa yerleşecek. A, üç boşluğa yerleşebilir. Üç boşluğun herhangi birine yerleşebilir. A, üç boşluğun herhangi birine yerleşebilir. A, boşluklardan birine yerleştiği için, B'ye iki boşluk kaldı. C'ye de 1 boşluk kaldı, çünkü A ve B, iki boşluğa yerleşti. Böylece, "3 çarpı 2 çarpı 1" farklı şekilde, 3 ayrı şeyi yerleştirebiliriz. "3 çarpı 2 çarpı 1", 6'ya eşittir. Üç adet tura gelmesi olasılığını bulmak için, 5 çarpı 4 çarpı 3... bölü bu 3 adet turanın, kendi içindeki farklı dizilim sayısı. Bunu yapmamızın nedeni, A B C sıralamasını B A C sıralamasından farklı olarak kabul etmememiz. Bu nedenle de; bölü, "3 çarpı... Aynı renkle, turuncuyla yazayım. Bölü, "3 çarpı 2 çarpı 1" diyoruz. "3 çarpı 2 çarpı 1" diyoruz. Sonuç ne olur? 60 bölü 6 olacak. 5 çarpı 4 çarpı 3, 60 eder. Yani,60 bölü 6 10 olasılık eder. Tam olarak 3 adet tura gelmesi olasılığı 10'dur. Yani, 32 adet eşit olasılıktan 10'u. 32 adet eşit olasılık içinde tam olarak 3 adet tura gelmesi olasılığı 10'dur. Yani, gerçekleşme olasılığı "5 bölü 16"dır.