If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çevre ve Merkez Açılar

Aynı yayı gören çevre açının, merkez açının yarısı olduğunu ispatlayalım.

Başlarken

İspata geçmeden önce, çemberlere ilişkin bazı önemli terimleri anladığımızdan emin olalım.
Şimdi aşağıdaki ufak eşleştirme alıştırmasını yaparak terimleri bilip bilmediğinize bakalım:
Görüntüyü kullanarak, değişkenleri terimlerle eşleştirin.

İyi iş çıkardınız! Makalenin devamında bu terimleri kullanacağız.

İspatlamak üzere olduğumuz şey

Bir çevrel açı left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis ile bir merkez açı left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis aynı yayı kestiğinde, süper bir şeyin ortaya çıktığını ispatlamak üzereyiz: Merkez açının ölçüsü, çevrel açının ölçüsünün iki katıdır.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

İspatın özeti

(Yukarıda tanımladığımız şekilde) Tüm start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff ve start color #11accd, \psi, end color #11accd değerleri için, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd olduğunu ispatlamak üzere üç farklı durumu ele almalıyız:
Durum ADurum BDurum C
Bu üç durum, bir çevrel açı ve bir merkez açının aynı yayı kestiği tüm olası durumları içermektedir.

Durum A: Çap çevrel açının, start color #11accd, \psi, end color #11accd, kollarından birisi ile çakışmaktadır.

Adım 1: İkizkenar üçgeni bulun.

start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline ve start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline doğru parçalarının her ikisi de yarıçaptır, dolayısıyla uzunlukları aynıdır. Bu da demek oluyor ki triangle, C, B, D ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Adım 2: Düz açıyı bulun.

angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 bir düz açıdır, buna göre
θ+mDBC=180mDBC=180θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Adım 3: Bir denklem yazın ve start color #11accd, \psi, end color #11accd'yi bulun.

triangle, C, B, D'nin iç açıları start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd ve left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis'dır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamının 180, degrees olduğunu biliyoruz.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Süper. Durum A için ispatımızı tamamladık. İncelememiz gereken iki durum daha var!

Durum B: Çap çevrel açının, start color #11accd, \psi, end color #11accd, kollarının arasındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Çapı kullanarak, start color #11accd, \psi, end color #11accd'yi start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd ve start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd olarak, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff'yı da start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff ve start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff olarak aşağıdaki şekilde ayıralım:

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Yeni görselimizde, çap çemberi iki yarıma bölmektedir. Her yarımda, bir kolu çapın üstünde olan birer çevrel açı vardır. Bu, Durum A'daki ile aynı olaydır, dolayısıyla Durum A'da öğrendiklerimize göre
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
ve
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
olduğunu biliyoruz.

Adım 3: Denklemleri toplayın.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(1) ve (2)’yi toplayın(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Grup deg˘işkenleriθ=2ψθ=θ1+θ2 ve ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{(1) ve (2)'yi toplayın} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Grup değişkenleri} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ ve } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
Durum B tamamdır. Bir tane durumumuz daha kaldı!

Durum C: Çap, çevrel açının kollarının dışındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Çapı kullanarak, aşağıdaki gibi iki yeni açı yaratalım: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 ve start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10:

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Durum B'de yaptığımızla benzer şekilde, Durum A'da öğrendiklerimizi kullanmamızı sağlayacak bir şema yaptık. Bu şemaya göre, aşağıdakileri zaten biliyoruz:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Adım 3: Denklemleri yerine koyun ve sadeleştirin.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
İşte bu kadar! Üç durumda da start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd olduğunu ispatladık.

Yaptıklarımızın özeti

Her iki açı aynı yayı kestiğinde, bir merkez açının ölçüsünün, bir çevrel açının ölçüsünün iki katına eşit olduğunu ispat etmek üzere işe koyulduk.
İspata, üç durumu kurgulayarak başladık. Bu üç durum, bir çevrel açının ve bir merkez açının aynı yayı kestiği tüm olası durumları içeriyordu.
Durum ADurum BDurum C
Durum A'da, bir ikizkenar üçgen ve bir doğru açı bulduk. Bundan sonra, start color #11accd, \psi, end color #11accd ve start color #7854ab, theta, end color #7854ab açılarını kullanarak bazı denklemler oluşturduk. Cebirin yardımıyla, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd olduğunu ispatladık.
B ve C durumlarında, akıllıca bir şekilde çaptan yararlandık:
Durum BDurum C
Böylelikle, A durumundan elde ettiğimiz sonucu kullanmamız mümkün hale geldi ve bunu da yaptık. Hem B, hem de C durumunda, şekillerdeki değişkenlerin arasındaki ilişkileri ortaya çıkaran denklemler yazdık, ki bunu da A durumundan öğrendiklerimiz sayesinde yapabildik. Denklemlerimizi kurduktan sonra, biraz cebir kullanarak start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd olduğunu gösterdik.