Ana içerik

Konu: Matematik II > Ünite 12

Ders 7: Çevre Açılar

Çevre ve Merkez Açılar

Google Classroom

Aynı yayı gören çevre açının, merkez açının yarısı olduğunu ispatlayalım.

Başlarken

İspata geçmeden önce, çemberlere ilişkin bazı önemli terimleri anladığımızdan emin olalım.

Şimdi aşağıdaki ufak eşleştirme alıştırmasını yaparak terimleri bilip bilmediğinize bakalım:

Görüntüyü kullanarak, değişkenleri terimlerle eşleştirin.

1

Şekilde gösterilen

θ

gibi, eğer bir açının tepe noktası çemberin merkezi ise bu açı bir

merkez açı

dır.

Şekilde gösterilen

ψ

gibi, eğer bir açının tepe noktası çemberin üstünde ise bu açı bir

çevrel açı

dır.

Çevrel ve merkez açıların ışınları çemberin çevresinin bir parçasını keser. Çevrenin bu parçasını

kesilen yay

olarak adlandırırız.

İyi iş çıkardınız! Makalenin devamında bu terimleri kullanacağız.

İspatlamak üzere olduğumuz şey

Bir çevrel açı

(ψ)

ile bir merkez açı

(θ)

aynı yayı kestiğinde, süper bir şeyin ortaya çıktığını ispatlamak üzereyiz: Merkez açının ölçüsü, çevrel açının ölçüsünün iki katıdır.

θ = 2 ψ

İspatın özeti

(Yukarıda tanımladığımız şekilde) Tüm

θ

ψ

değerleri için,

θ = 2 ψ

olduğunu ispatlamak üzere üç farklı durumu ele almalıyız:

Durum A	Durum B	Durum C

Bu üç durum, bir çevrel açı ve bir merkez açının aynı yayı kestiği tüm olası durumları içermektedir.

Durum A: Çap çevrel açının, $ψ$ ‍, kollarından birisi ile çakışmaktadır.

Adım 1: İkizkenar üçgeni bulun.

\overset{―}{B C}

\overset{―}{B D}

doğru parçalarının her ikisi de yarıçaptır, dolayısıyla uzunlukları aynıdır. Bu da demek oluyor ki

△ C B D

ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Adım 2: Düz açıyı bulun.

∠ A B C

bir düz açıdır, buna göre

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Adım 3: Bir denklem yazın ve $ψ$ ‍'yi bulun.

△ C B D

'nin iç açıları

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

'dır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamının

180^{\circ}

olduğunu biliyoruz.

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Süper. Durum A için ispatımızı tamamladık. İncelememiz gereken iki durum daha var!

Durum B: Çap çevrel açının, $ψ$ ‍, kollarının arasındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Çapı kullanarak,

ψ

'yi

ψ_{1}

ψ_{2}

olarak,

θ

'yı da

θ_{1}

θ_{2}

olarak aşağıdaki şekilde ayıralım:

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Yeni görselimizde, çap çemberi iki yarıma bölmektedir. Her yarımda, bir kolu çapın üstünde olan birer çevrel açı vardır. Bu, Durum A'daki ile aynı olaydır, dolayısıyla Durum A'da öğrendiklerimize göre

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

olduğunu biliyoruz.

Adım 3: Denklemleri toplayın.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & (1) ve (2)’yi toplayın \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Grup değişkenleri \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} ve ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

Durum B tamamdır. Bir tane durumumuz daha kaldı!

Durum C: Çap, çevrel açının kollarının dışındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Çapı kullanarak, aşağıdaki gibi iki yeni açı yaratalım:

θ_{2}

ψ_{2}

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Durum B'de yaptığımızla benzer şekilde, Durum A'da öğrendiklerimizi kullanmamızı sağlayacak bir şema yaptık. Bu şemaya göre, aşağıdakileri zaten biliyoruz:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Adım 3: Denklemleri yerine koyun ve sadeleştirin.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

İşte bu kadar! Üç durumda da

θ = 2 ψ

olduğunu ispatladık.

Yaptıklarımızın özeti

Her iki açı aynı yayı kestiğinde, bir merkez açının ölçüsünün, bir çevrel açının ölçüsünün iki katına eşit olduğunu ispat etmek üzere işe koyulduk.

İspata, üç durumu kurgulayarak başladık. Bu üç durum, bir çevrel açının ve bir merkez açının aynı yayı kestiği tüm olası durumları içeriyordu.

Durum A	Durum B	Durum C

Durum A'da, bir ikizkenar üçgen ve bir doğru açı bulduk. Bundan sonra,

ψ

θ

açılarını kullanarak bazı denklemler oluşturduk. Cebirin yardımıyla,

θ = 2 ψ

olduğunu ispatladık.

B ve C durumlarında, akıllıca bir şekilde çaptan yararlandık:

Durum B	Durum C

Böylelikle, A durumundan elde ettiğimiz sonucu kullanmamız mümkün hale geldi ve bunu da yaptık. Hem B, hem de C durumunda, şekillerdeki değişkenlerin arasındaki ilişkileri ortaya çıkaran denklemler yazdık, ki bunu da A durumundan öğrendiklerimiz sayesinde yapabildik. Denklemlerimizi kurduktan sonra, biraz cebir kullanarak

θ = 2 ψ

olduğunu gösterdik.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 12

Başlarken

İspatlamak üzere olduğumuz şey

İspatın özeti

Durum A: Çap çevrel açının, ψ‍ , kollarından birisi ile çakışmaktadır.

Adım 1: İkizkenar üçgeni bulun.

Adım 2: Düz açıyı bulun.

Adım 3: Bir denklem yazın ve ψ‍ 'yi bulun.

Durum B: Çap çevrel açının, ψ‍ , kollarının arasındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Adım 3: Denklemleri toplayın.

Durum C: Çap, çevrel açının kollarının dışındadır.

Adım 1: Aklınızı kullanın ve çapı çizin

Adım 2: İki denklemi oluşturmak için Durum A'da öğrendiklerimizi kullanın.

Adım 3: Denklemleri yerine koyun ve sadeleştirin.

Yaptıklarımızın özeti

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Durum A: Çap çevrel açının, $ψ$ ‍, kollarından birisi ile çakışmaktadır.

Adım 3: Bir denklem yazın ve $ψ$ ‍'yi bulun.

Durum B: Çap çevrel açının, $ψ$ ‍, kollarının arasındadır.