Bağımsız Olayların Bileşik (Ortak) Olasılığı

Burada hilesiz bir paramız olduğunu varsayalım. Hemen şuraya bir 1 Lira çiziyorum. Hilesiz bir para ve birkaç kere yazı tura atıp değişik olasılıklar bulacağız. Kolayıyla başlayalım. Bir kere atarsak, tura gelme olasılığı nedir? 2 eşit olasılıklı olay var. Tura gelmesi de bu eşit olasılıklı 2 olaydan bir tanesi, yani olasılığı 1 bölü 2. Yazı gelme olasılığını sorsaydık yine aynı şey. İki eşit olasılıklı olay var ve bunlardan biri yazı gelmesi, yani 1 bölü 2. Farkına varmanızı istediğim şey, tura gelme olasılığı ile yazı gelme olasılığını topladığınızda, 1 bölü 2 artı 1 bölü 2 eşittir 1 yapar. Tüm olayların olasılıklarının toplamı 1 olmalı. Bu çok mantıklı, çünkü bu kesirleri topluyorsunuz, payda her zaman tüm olayların sayısı. Payları topladığınızda da yine tüm olayları bulmuş olmanız gerekiyor. Yani, tüm olaylar bölü tüm olaylar. Şimdi daha zor bir örnek yapalım. İki kere yazı tura atacağım. Tura ve yine tura gelme olasılığına bir bakalım. Tura ve tekrar tura gelecek. Bunu iki şekilde düşünebiliriz. Tüm değişik olası durumları düşünebiliriz. Birinci atışta tura, ikinci atışta yine tura. Birinci atışta tura, ikinci atışta yazı. Birinci atışta yazı, ikinci atışta tura. Veya ikisinde de yazı. Yani dört değişik durum var. Dört değişik eşit olasılıklı olay. Bir başka düşünme şekli de, ilk atışta iki durum ve ikinci atışta da yine iki durum olduğudur. Tura veya yazı, tura veya yazı, böylece 4 olası durum oluşur. Bu ikisinin her biri için iki olası durum daha var. İki türlü de 4 eşit olasılıklı olay elde ediyoruz. Peki bunlardan kaç tanesi koşulumuzu sağlayacak? Tam şuradaki 2 tura, koşulumuzu sağlıyor değil mi. Bu, durumlardan sadece biri, bu dört senaryonun sadece birini işaretledim. Yani bunun olma olasılığı 1 bölü 4. Bir de şöyle düşünebilirsiniz. Bunlar bağımsız olduğu için bu şekilde düşünebilirsiniz. Bağımsız olay kavramı olasılıkta çok önemlidir. Bağımsız olmayan, yani bağımlı, olayları da ayrıca inceleyeceğiz.Ama bu örnekteki olaylar bağımsız. Birinci atışta ne olduğu ikinci atışı hiçbir surette, şekilde etkilemez. Bu yüzden bağımsız diyoruz. Birinci atış ikinci atıştan bağımsızdır. Birçok kişi bunun farkında değildir.Kumarcı Yanılsaması diye bir kavram vardır. "Arka arkaya bir sürü tura gelirse, bir sonraki atışta yazı gelir." Diye düşünürseniz yanılırsınız. Böyle bir şey yok. Her atış bağımsız bir olaydır. Önce yapılan atışlarda ne geldiği ilerideki atışların sonucunu etkilemez. Birinci atışta tura gelmesi ikinci atışta tura gelmesini kesinlikle etkilemeyecek. Bu varsayımı kabul ederseniz, tura ve tekrar tura gelme olasılığı şu demek: birinci atışta tura gelme olasılığı çarpı ikinci atışta tura gelme olasılığı. Birinci atışta tura gelme olasılığının 1 bölü 2 olduğunu zaten biliyoruz.Ve ikinci atışta tura gelme olasılığıda yine 1 bölü 2. Yani 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 eşittir 1 bölü 4 deriz. Bu değişik senaryoları denediğimizde de zaten aynı sonucu bulmuştuk. Biraz daha zor bir soru deneyelim. Yazı, tura ve sonra yazı gelme olasılığı, aynen bu sırada. İlk atışta yazı gelecek, ikinci atışta tura gelecek ve üçüncü atışta yine yazı gelecek. Bunlar yine bağımsız olaylar. Yani birinci atışta yazı gelmesi, ikinci atışta tura gelmesini hiçbir şekilde etkilemez. Ve bunlarda üçüncü atışta yazı gelmesini etkilemez. Bunlar bağımsız olduğu için, bu olasılığı birinci atışta yazı gelme olasılığı çarpı ikinci atışta tura gelme olasılığı çarpı üçüncü atışta yazı gelme olasılığı olarak ifade edebiliriz. Bunların bağımsız olaylar olduğunu biliyoruz, yani 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2. 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 eşittir 1 bölü 4, 1 bölü 4 çarpı 1 bölü 2 eşittir 1 bölü 8. Yani bu eşittir 1 bölü 8. Bunu doğrulayabiliriz. Şimdi tüm değişik senaryoları deneyelim. Mesela tura, tura, tura elde edebiliriz. Tura, tura, yazı gelebilir. Tura, yazı, tura olabilir. Tura, yazı, yazı gelebilir. Yazı, tura, tura olabilir. Bu biraz zor gelebilir, çünkü tüm olası durumları yazmak istiyorsunuz. Yazı, tura, yazı gelebilir. Yazı, yazı, tura olabilir. Veya yazı, yazı, yazı elde ederiz. Burada sekiz değişik eşit olasılıklı durum var. Sekiz değişik eşit olasılıklı olay ve yazı, tura, yazı bunlardan bir tanesi. Yani olasılığı 1 bölü 8.