Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:6:23

Video açıklaması

Böyle bir yüzey integralinin neyi temsil edebileceğini kavramsal olarak anladığımıza göre, yüzeyin herhangi bir noktasında bir birim normal vektörü nasıl oluşturacağımızı bir düşünmenizi istiyorum. Bunu yapabilmek için yüzeyin çift parametreli bir r konum vektör fonksiyonuyla ifade edebileceğini varsaymam gerekiyor. r, u ve v cinsinden bir fonksiyon olacak. Bana bir u ve bir v verirseniz, bu fonksiyon bu iki boyutlu yüzey üzerinde bir nokta belirtiyor. Yüzey kıvrımlı olabilir, yani üçüncü boyutu da vardır. u ve v değerleri bu yüzey üzerinde bir nokta belirtiyor. Şimdi r'nin u'ya göre kısmisinin ve v'ye göre kısmisinin neye benzediğine bakalım. Bir noktada olduğumuzu varsayalım. Bir u v noktasındayız. Ve bu u v için konum vektörünü bulursak, bu bizi yüzey üzerindeki şu noktaya götürecek. Şimdi u'yu azıcık artırdığımızı düşünelim. u'yu biraz artırdığımızda yüzey üzerinde başka bir noktaya ulaşırız ve o noktanın da şurada olduğunu varsayalım. Peki, bu r altsimge u vektörü neye benzer? Büyüklüğü bu noktaya ulaşma hızımıza bağlı Ama yönü böyle olacak, bu noktaya doğru. Yüzey üzerinde bir vektör olacak. Yüzeyin üzerinde bir noktadan başka bir noktaya gidiyoruz. Yüzeye bu noktada teğet olacak. Biraz daha büyük çizebilirdim. Ama şöyle bir şeye benzeyecek. r u. Burayı yakınlaştırmış oldum. Şimdi bu noktaya geri dönelim. v'yi biraz artıralım. Ve v'yi biraz artırınca da bu noktaya ulaştığımızı düşünelim. Bu durumda r konum vektörü bu noktayı gösterir. Peki, r altsimge v neye benzer? Yine büyüklüğü bu noktaya gitme hızımıza bağlıdır ama esas ilginç olan yönüdür. Yönü yüzeye teğettir. v'yi değiştirdiğimizde yüzey üzerinde bir noktadan başka bir noktaya gidiyoruz. Yani r v şöyle olabilir. Bu ikisi birbirine dik olmak zorunda değil. Çizdiğim şekilde de dik değiller. r v böyle ikisi de yüzeye teğet. Peki, teğet hangisidir? u yönünde veya v yönünde eğim nedir? Yüzeye teğet iki vektörünüz varsa ve bu vektörler birbirinden farklıysa bunlar zaten bir düzlem belirtiyor. Şu şekilde bir düzlem düşünebilirsiniz. Bu iki arkadaşın lineer birleşimlerini aldığınızda ikisini de kapsayan bir düzlem elde edeceksiniz. Bunu daha önce yapmıştık, ama tekrar üzerinden bir geçelim. r u ve r v'nin vektör çarpımını aldığımızda ne olacak? Bakalım vektör çarpımını aldığımızda ne olur? İlk olarak bu bize başka bir vektör verecek. Değil mi? r u ve r v'ye dik olan bir vektör verecek. Şöyle de düşünebilirsiniz. Bu düzlem yüzeye teğettir. Bir vektör bu iki arkadaşa dik olacak ise bu düzleme de dik olmak yani düzlemin normali olmak zorundadır. Yani yüzeye dik olacaktır. Yani buradaki bir normal vektördür. Şöyle yazayım. Bu bir normal vektördür. Tabi bulunabilecek tek ve eşsiz normal vektör değildir. Çünkü değişik büyüklükte normal vektörler bulabilirsiniz. Vektör çarpımını aldığınızda bir normal vektör bulursunuz ve yönünü düşünebilirsiniz. İki vektörün vektör çarpımını alırken sağ el kuralını kullanıyoruz. Sağ başparmağınızı ilk vektörün yönünde, bu durumda r u'nun yönünde, uzatırsınız. Bunu bir çizmeye çalışayım tekrar. Gerçekten de elime bakıp çizmeye çalışıyorum. Sağ parmağınızı, sağ başparmağınızı birinci vektörün yönüne uzatın. İşaret parmağınızı ikinci vektörün yönünde uzatın. Bu, ikinci vektör. İşaret parmağımın yönü bu. İşaret parmağım şöyle olacak. Sonra da orta parmağınızı içe doğru kıvırırsınız ve orta parmak vektör çarpımının yönünü gösteriyor. Orta parmağımı içe doğru kıvırırsam, şöyle bir şeye benzer. Diğer iki parmak da şöyle kıvrılacak ama onların önemi yok. Diğer iki parmağım ve elim buna benzeyecek. Ve bu bize yönü gösterecek. Yön böyle olacak. Yukarı doğru yani. Bu önemli, çünkü normal vektörlerde iki normallik yönü var diyebilirsiniz. Biri, şöyle dışa veya yukarı doğru. Diğeri de aşağı doğru veya yüzeyin içine doğru da, diyebilirsiniz. Ama kurduğum haliyle bunun yönü dışarı doğru. Yüzeye normal bir vektör. Şimdi normal vektörden birim normal vektörü elde etmek için vektörü normalize etmemiz yeterli olacak. yani bunu büyüklüğüne böleceğiz. Birim vektör u ve v cinsinden bir fonksiyon olacak. Eğer bana bir u ve ve verirseniz size birim normal vektörünü bulabilirim. Birim normal vektör eşittir r'nin u'ya göre kısmisi ile r'nin v'ye göre kısmisinin vektör çarpımı. Bu bize normalize edilmemiş bir normal vektör veriyor. Yani bunu kendi büyüklüğüne bölmek istiyoruz. r u ile r v'nin büyüklüğüne. Ve bitti. Birim normal vektörü oluşturduk. Sonraki videolarda bunu somut örneklere uygulayacağız.