Atış Hareketinde Yer Değişimi, İvme ve Hız'ın Grafikte Gösterimi

Merhaba. Sabit ivmeli bir cismin harekete başladığındaki hızı verildiğinde o cismin yer değişimini zamanın bir fonksiyonu olarak yazabildiğimizi öğrendik. Bu videoda yer değiştirmeyi, son hızı ve ivmeyi bu hareket esnasında geçen zamanın fonksiyonu hâlinde göstereceğiz. Böylece, bir cisim yukarı çıkarken ve aşağı inerken neler olduğunu anlayacağız. Bu fonksiyon, yer değiştirmenin zamana göre olan fonksiyonu. Önceki videoda gördüğümüz gibi, son hızı bulmak için ivme ve geçen zamanın çarpımını başlangıç hızına ekleriz. İvme ve zamanın çarpımı ise cismin ne kadar hızlı veya ne kadar yavaş gittiğini gösterir. Bu denklemde bulduğumuz şey ise cismin o andaki hızıdır. Yerçekimine bağlı ivme ise eksi 9.8 metre bölü saniye kare'dir. Bu değerin negatif olması, gidiş yönünün aşağı doğru olduğunu gösterir. Başlangıçtaki sürat ise yukarı doğru 19.6 metre bölü saniye. Şimdi bunların grafiğini çizelim. Çizeceğimiz ilk grafik yer değiştirme-zaman grafiği. Yatay eksen zamandaki değişimi dikey eksen ise yer değiştirmeyi gösteriyor. Eksenlere çeşitli değerler koyalım Dikey eksende 5 metre, 10 metre, 15 metre ve 20 metre olsun. Yatay eksende ise değerler; 0, 1, 2, 3 ve 4 saniye olsun. Yer değiştirme birimi metre, zaman birimi de saniyedir. Bu arada çizeceğimiz ikinci grafik ise sürat grafiği olacak. Dikey eksen sürati ifade edecek ama cismin sürat yönü hareket boyunca değişeceği için grafikte hem artı hem eksi değerler olacak. Yatay eksendeki zaman ise yalnızca pozitif olabilir. Tabiki. Buradaki yatay eksene de 0, 1, 2, 3 ve 4 saniye koyuyoruz. Sürat değerleri ise 10 metre bölü saniye, 20 metre bölü saniye eksi 10 metre bölü saniye ve eksi 20 metre bölü saniye olsun. Dikey eksende bulunan süratin birimi metre bölü saniyedir, yataydaki zamanın birimi ise saniyedir. Bu grafiğimiz bir sürat bölü zaman grafiğidir. Bir grafik daha yapacağız, bu grafik ise ivme grafiği. Bu diğerlerinden daha kolay olacak, çünkü ivmenin sabit olduğunu kabul ediyoruz. İkinciye benzer bir grafik çizeceğim, yine yatay eksen zamanı ifade ediyor. Değerleri bu eksene önceki grafiklerdeki gibi 0, 1, 2, 3 ve 4 saniye olarak yerleştiriyoruz. İvmeyi gösteren dikey eksene ise eksi 10 değerini koyalım. Bu eksendekilerin birimi ise metre bölü saniye kare'dir. Yukarıda gördüğümüz gibi yerçekimi ivmesi her zaman yani bu 4 saniyelik hareketin her anında eksi 9.8 metre bölü saniye kare'ye eşit olacaktır. Bu nedenle dikeyde eksi 9.8'den başlayan sabit bir ivme grafiği elde ediyoruz. Şimdi de diğer iki grafiği çizmeden önce bir tablo oluşturalım. Bir sütuna, geçen zamanı, diğerine son sürati, daha doğrusu anlık sürati öbür sütuna da yer değiştirmeyi yazalım. Bu tabloyu 0, 1, 2, 3 ve 4'üncü saniyeler için dolduracağız. Grafiklerdeki zaman eksenleri de aslında geçen zamanı yani zamandaki değişikliği ifade eder bu nedenle onları t yerine ∆t (delta t) olarak isimlendirmemiz daha doğru olur. Şimdi tabloya geri dönelim Zaman 0'ken süratimiz nedir? Bunun için yazdığımız anlık sürat denklemini kullanalım Anlık sürat yani eşittir ilk sürat artı ivme çarpı geçen zaman. Yani delta t yani geçen zaman sıfır olduğunda anlık süratimiz ilk sürate eşit oluyor. Önceki videoda ise ilk sürati 19.6 metre bölü saniye olarak bulmuştuk. O zaman tabloya anlık sürat değeri olarak 19.6 yazıyoruz. Bunu ikinci grafiğe de yerleştirelim. Peki, yer değiştirmemiz nedir? Yer değiştirme denklemlerin de delta t'ye sıfır verdiğimizde denklemin sonucu yine sıfır oluyor demek ki yer değiştirme olmamıştır. Yani tabloda yer değiştirmemize sıfır yazıyoruz. 1 saniye geçtiğinde ne olacak? Bu sefer yine ilk süratimiz aynı, yani 19.6 metre bölü saniye. İvme ise 9 nokta 8 metre bölü saniye kare. Şimdi ivmeyi geçen zaman ile çarpacağız. Bu durumda delta T, 1'dir Bu durumda ilk saniyedeki sürat 19.6 eksi 9.8 yani 9.8 metre bölü saniye'dir. İşlemin doğruluğunu birimlerden de kontrol edebiliriz metre bölü saniye kare'deki saniyelerden biri delta T'nin birimi olan saniyeyle sadeleşiyor böylece birim, aynı zamanda süratin birimi olan metre bölü saniye oluyor. Bir saniye geçince sürat yarıya inmiş oluyor. Yani şu andan itibaren 9.8 metre bölü saniye süratle hareket ediyoruz. Bunu ikinci grafiğe, yani sürat grafiğine de yerleştirelim. Peki, ilk saniyedeki yer değiştirmemiz ne kadar? Bunun için yer değiştirme formülünde bildiğimiz her şeyi denkleme yerleştirerek yeniden yazalım. Yer değiştirme, ilk sürat ve geçen zamanın çarpımı ile ivmenin yarısıyla, geçen zamanın karesiyle çarpımının toplamına eşittir. Çok açıklayıcı. 19.6 ,yani ilk sürat ile geçen zamanı çarpıyoruz. Geçen zamana şimdilik delta T diyelim. Sonraki terimimiz ise ivmenin, yani eksi 9.8 metre bölü saniye kare'nin yarısı. Bu da eksi 4.9 metre bölü saniye kare'ye eşittir. Yerçekimi ivmesi cismi aşağı çektiği için vektörün yönü aşağı doğrudur. Bu nedenle terimimiz negatiftir. Son terimimiz ise geçen zamanın, yani delta T'nin karesidir. Şimdi denklemin sonucunu hesaplayalım. Delta T, 1 olduğuna göre ilk süratle zamanın çarpımı 19 nokta 6 çarpı 1, yani 19.6'dır. Bu değerden de 4.9 çarpı 1in kare'sini çıkaracağız. Denklemin sonucu 19.6 eksi 4.9 yani 14.7 metredir. Top ilk saniyenin sonunda havada 14.7 metre yol almıştır. Bunu yer değiştirme grafiğine yerleştirelim, 15'in hemen altında bir yere. Şimdi ikinci saniyeye geçiyoruz. Bu sefer anlık süratimiz 19.6 metre bölü saniye eksi 9 nokta 8 çarpı 2 olacak çünkü iki saniye geçti. 9.8'in iki katı ise 19.6'ya eşittir. Yani ikisi birbirini götürür, ve anlık sürat sıfır olur. Yani iki saniye geçtiğinde sürat sıfıra iner. Bunu da sürat grafiğimizde belirtelim. İkinci saniye, topun yükseldikten sonra tam olarak havada asılı ve hareketsiz kaldığı o ana denk gelmiştir. 2'inci saniye. Süratin sıfıra eşit olduğunu bulduğumuza göre sıra yer değiştirmede. Yer değiştirmeyi hesaplamak için yer değiştirme denklemindeki delta T'lere 2 veriyoruz. Denkleme değerleri koyduğumuzda çıkan işlem ise 19.6 çarpı 2, eksi 4.9 çarpı 2'nin karesi yani 4. Bu işlemin sonucu da 19.6'dır. Yani ikinci saniyede cisim havada 19.6 metre yükselmiştir. Bunu da yer değiştirme grafiğinde belirtelim. Üçüncü saniyede ise anlık sürat 19.6 metre bölü saniye eksi 9.8 metre bölü saniye çarpı 3 olacaktır. 3'üncü saniyedeyiz. Emin olmak için hesap makinamızda tekrar yapalım. Bu işlemin sonucu da eksi 9.8 metre bölü saniye'dir. Yani üç saniye geçtiğinde cismin sürati eksi 9.8 metre bölü saniye oluyor. Bu da cismin aşağı doğru hareket ettiğini söylüyor. Sürat grafiğinde bu negatif değeri de belirttikten sonra yer değiştirmeyi hesaplayalım. Sizlere, videoyu durdurup soruyu kendi başınıza çözmenizi tavsiye ediyorum. Bu sefer yer değiştirme denklemindeki delta T'ler 3 oluyor. 19.6 çarpı 3 eksi 4.9 çarpı 3'ün karesi, yani 9. Bu işlemin sonucu da 14.7'dir. Yani cisim, üçüncü saniyenin sonunda yine 14 nokta 7 metre yüksekliğe iniyor yani ilk saniyenin sonundaki yüksekliğe. Son olarak tabloyu dördüncü saniye için dolduralım. Hesap makinamızı tekrar açalım. Sürat bu durumda 19.6 eksi 9.8 çarpı 4 olacak. Bu işlemden cismin dördüncü saniyedeki sürati eksi 19.6 metre bölü saniye olarak çıkıyor. Bunu sürat grafiğine yerleştirelim Dikkat ederseniz sürat büyüklükleri 1. ve 4. saniyelerde aynı ama 4. saniyede sürat negatif. Yer değiştirme ise 19 nokta 6 çarpı 4 eksi 4.9 çarpı 16 bu işlemin sonucu 0 çıkıyor. Yani dördüncü saniyede cisim, tekrar yere inmiş oluyor. Böylece yer değiştirme-zaman grafiğinde bir parabol elde ediyoruz sürat-zaman grafiğinde ise aşağı yani negatif eğimli bir çizgi çıkıyor. İvme-zaman grafiğinde ise ivme sabit olduğu için yatay eksene paralel bir çizgi elde ediyoruz. Bu grafikleri çizmemin nedeni ise süratin sabit bir şekilde azaldığını göstermekti. Bu sabit azalma gayet mantıklı, çünkü süratin değişme oranı bize ivmeyi veriyor ve ivme de bu hareket süresince sabit ve negatif. Bu topun nasıl bir hareket yaptığına bakalım. Şimdi vektörleri çizelim. Evet. İlk grafikte sıfırıncı saniyede 19.6'ya kadar giden bir vektör çiziyoruz. Birinci saniyede ise nispeten daha küçük bir vektör çiziyoruz çünkü sürati 9.8'dir. İkinci saniyede ise cismin sürati sıfıra eşittir Üçüncü saniyede de büyüklük yine 9.8'dir, ama vektör bu sefer aşağı doğrudur. Cisim yere değmeden hemen önce, yani dördüncü saniyede eksi 19.6 metre bölü saniye sürate sahiptir yani vektörün uzunluğu ilk vektöre eşittir ama aşağı doğrudur. Hareket boyunca ivme negatifti ve eksi 9.8metre bölü saniye kare'ye eşitti. Bu noktada da eksi 9.8metre bölü saniye kare'ye eşitti. Bu noktada da eksi 9.8metre bölü saniye kare'ye eşitti. Bu noktada da. Yani Dünya'nın yüzeyine yakın bulunduğumuz sürece ivme vektörleri hep aynı. 9.8 uzunluğunda ve aşağı doğrudur. Bu videoda havaya fırlatılan bir cismin zaman içindeki ivmesini, süratini ve yer değiştirmesini belirlemeyi öğrendik ve bu değerlerin grafiklerini çizdik.