Ana içerik

Konu: Elektrik Mühendisliği > Ünite 2

Ders 3: Doğru Akım Devre Analizi

Kirchhoff Yasaları

Kirchhoff Yasaları bağlantı noktalarındaki akımı ve kapalı bir devre döngüsündeki gerilimi bulmamızı sağlar. Bu iki yasa ileri devre analizinin temelini oluşturur

Devre analizinin temelinde Kirchhoff'un akım ve voltaj yasaları bulunmaktadır. Bu iki yasa ve devre elemanlarının (direnç, kapasitör, indüktör) formülleriyle birlikte devre analizi için gerekli olan temel araçlara sahibiz.

Bu yazıda, sizin "düğüm" , "dağıtılmış düğüm", "şube" ve "çevrim" gibi terimlere aşina olduğunuzu kabul ediyoruz.
Elinizin altında kağıt ve kalem bulundurmanız örnek problemleri çözmek adına faydalı olacaktır.

Bir Düğüme Giren Akımlar

Teoriye giriş yapmadan önce, aşağıdaki örneği kendi kendinize anlamaya çalışın. Verilen şema dağıtılmış bir düğüme giren ve düğümden çıkan 4 şube akımını göstermektedir. Akımların birimi miliamperdir (

mA

). Akımlardan bir tanesi (

i

) bilinmiyor.

Problem 1: $i$ ‍ nedir?

Düğüme giren akım, bir yolunu bularak bir kol üzerinden çıkacaktır, zaten mantıken böyle olmasını bekleriz. Sonuç olarak, akmakta olan bir yükün düğüm içinde toplanmasını beklemeyiz.

6 mA

düğüme girer (

5

soldan ve

1

sağdan olmak üzere), bu yüzden

6 mA

akımın başka bir yere doğru akmaya devam etmesi gerekir.

2 mA

yukarıya doğru akar ve kalan

4 mA

aşağıdaki

i

kolundan akmak zorundadır.

i

için gösterilen mavi akım işareti düğümden dışarıya doğrudur, yani akımla aynı yönde ve bu sebeple cevap pozitiftir.

i = 4 mA

Bu örnekte sayısal değerler yerine akımları değişken isimleriyle ifade edelim. Bu düğüm

5

ayrı kola ayrılıyor. Her kol belli bir miktar akım taşıyabilir (veya taşımayabilir), bu akımlar

i_{1}

'den

i_{5}

'e kadar isimlendirilmiştir.

Bütün oklar içeriye doğru çizilmiştir. Bu yön seçimi rastgele yapılmıştır. İçeri doğru yönelen oklar, bu noktada herhangi bir seçim kadar iyi. Düğüme giren, içeri yönlü oklar bize, pozitif akım olarak belirlediğimiz bir referans yönü tayin etmemizi sağlıyor.

i_{1}

aklım koluna bakalım.
Ne tarafa doğru gidiyor?

i_{1}

'i incelerken ilk dikkatimizi çeken özelliği düğüme girmesidir (düğüm, siyah noktayla ifade ediliyor)

Ya sonra?

Bu durumda

i_{1}

'in yapamayacağı iki şey var:

i_{1}

akımı içinde akmakta olan yük düğüm noktasında kalamaz. (Çünkü düğümde bu yükü depolayacak bir yer bulunmuyor). Ve

i_{1}

'in yükü kablo içinde bir anda yok olamaz. Yükler normal şartlar altında bunları yapmaz.

Peki geriye ne kaldı? Akım düğüm içinden geçerek bir veya birden fazla kola akmak zorunda.

Örnek düğümümüzde, bunu şöyle yazabiliriz,

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

i_{1}

düğüm noktasına giren pozitif akım ise, diğer akımlardan bir veya daha fazlası aynı düğüm noktasından dışarıya doğru akmalıdır. Bu düğüm noktasından dışarıya doğru giden akımlar negatif (

-

) işarete sahiptir.

Bir düğüm noktasındaki akımlara ait bu gözlem, genel haliyle Kirchhoff'un Akım Yasası ile güzelce özetlenmiştir.

Kirchhoff'un Akım Yasası

Kirchhoff'un Akım Yasasına göre bir düğüme doğru giden tüm akımların toplamı düğümden çıkan akımların toplamına eşittir. Bu eşitlik şu şekilde yazılabilir,

\sum i_{i ç e r i} = \sum i_{d ı ş a r ı}

\sum

sembölü, Yunan alfabesindeki "Sigma" harfinin büyük harfle yazılışıdır. Matematiksel ifadelerde ise toplama işlemini ifade eder. Birbiriyle alakalı, belli bir sayıdaki büyüklüklerin toplanması için kullanılır. Bu ifade:

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5}

kısaca şu şekilde de yazılabilir:

\sum_{n = 1}^{n = 5} i_{n}

Bu ifadeden anlaşılacağı üzere

n

dizini alt limit olan

1

'den üst limiti olan

5

'e birer artarak gitmektedir.

Kirchhoff'un Akım Yasası - kavram kontrolleri

Akımlar miliamper cinsindendir,

mA

Problem 2: $i_{5}$ ‍ nedir?

Doğrudan Kirchhoff'un Akım Yasası'nı uygulayın.

\sum_{n} i_{n} = 0

İpucu: Başlamadan önce okları inceleyin. Dışarı doğru mu, içeri doğru mu işaret ediyorlar? Bu sizi çok yaygın olarak yapılan işaret hatasından kurtaracak.

Bu örnekteki tüm oklar içeri doğru işaret etmektedir. Yani doğrudan sayıları toplayabiliriz.

5 koldaki akımları toplayın ve sıfıra eşitleyin.

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

i_{5}

'i bulun,

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

Problem 3: Dağıtılmış düğümdeki $i_{3}$ ‍'ün değeri nedir?

Bu soru sizin oklar ve işaretler hakkındaki bilginizi test edecek. Ok yönleri karışık şekilde verilmiştir: bazıları içeri bazıları ise dışarıya doğru. Dikkatli olun ve işaretleri doğru şekilde belirleyin. Problemi iki adımda çözmeliyiz:

Gerekli sayısal düzenlemeleri yaparak, tüm okları aynı yöne işaret edecek şekilde (hepsi düğüme girecek veya hepsi düğümden çıkacak şekilde) düğümü tekrar düzenleyin.
Kirchhoff'un Akım Yasası'nı uygulayın.

Adım 1.

i_{3}

akımın oku dışarıya doğru işaret ediyor. Bunu aklımızda tutmamız gerekiyor. Bu yüzden belirlediğimiz çözüm yöntemi, diğer tüm akımları gerekli işaret düzeltmelerini yaparak

i_{3}

akımı ile aynı yönde olacak şekilde yazmak olacak. Soruda verilmiş şemayı incelersek, iki akımın oku ve işaretini tersine çevirmeliyiz. Şemanın tekrar düzenlenmiş haline bakarsak,

- 4

+ 1

dışarıya doğru akan hale gelmiştir.

Adım 2. Kirchhoff'un Akım Yasası'nı uygulayalım. Bu yasayı "Bir düğümden çıkan tüm akımların toplamı sıfıra eşittir" şekliyle kullanacağız. "Dışarıya" doğru akan tüm akımları toplayalım ve sıfıra eşitleyelim.

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

i_{3}

'ü bulun,

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

i_{3}

işaretli dalda akan akım yoktur.

Döngü etrafında voltaj

Aşağıda dört direnç ve bir voltaj (gerilim) kaynağına sahip bir devre verilmiştir. Ohm Yasası'nı kullanarak bu devreyi çözeceğiz. Sonra sonuçları inceleyerek bazı gözlemler yapacağız. Devreyi çözmenin ilk adımı olarak akımı hesaplayacağız ve sonrasında her bir direncin üzerindeki gerilimi hesaplayacağız.

Bu devredeki dirençler seri bağlanmıştır, yani mevcut beş devre elemanı üzerinden akmakta olan sadece bir akım vardır:

i

i

akımını bulmak adına seri bağlı dört direnç tek bir eş değer dirence indirgenebilir.

R_{s e r i} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

Ohm Yasası'nı kullanırsak, akım:

i = \frac{V}{R_{s e r i}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0, 020 A = 20 mA

Artık akımın değerini biliyoruz. Şimdi dört direncin üzerindeki gerilimi (voltajı) bulalım. Verilen devre şemasına geri gidelim ve gerilimleri isimlendirelim.

Her direncin iki ucu arasındaki potansiyel farkı (gerilimi) bulmak için Ohm Yasası'nı 4 kere daha kullanın:

v = i R

v_{R1} = 20 mA \cdot 100 Ω = + 2 V

v_{R2} = 20 mA \cdot 200 Ω = + 4 V

v_{R3} = 20 mA \cdot 300 Ω = + 6 V

v_{R4} = 20 mA \cdot 400 Ω = + 8 V

Akım ve gerilimleri biliyoruz. Devre artık çözülmüştür.

Dirençler ve gerilim kaynağı üzerine bulduğumuz değerleri yazabiliriz. Bu beş gerilim eleman gerilimi olarak isimlendirilir. (Devre düğümleri

a

'dan

e

'ye isimlendirilmişlerdi, onlardan bahsedebiliriz.)

Hızlıca kontrol edelim. Tüm dirençler üzerindeki gerilimleri toplayalım:

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

Her bir direncin geriliminin toplanmasıyla voltaj kaynağının değerine ulaşıyoruz. Böylece işlemlerimizin sağlamasını yaptık.

Şimdi gerilimleri tekrar topluyoruz, biraz daha farklı bir yöntemle: "Döngü etrafında dolaşarak". Burada yeni herhangi bir şey yok, aynı hesaplamayı farklı bir yoldan yapıyoruz.

Yöntem: Döngü etrafındaki elemanların gerilimlerini toplayın

Adım 1: Bir başlangıç düğümü belirleyin.

Adım 2: Döngü üzerinde gideceğiniz yönü belirleyin (saat yönünde veya saat yönünün tersine).

Adım 3: Döngü üzerinde gidin.

Elemanların gerilimlerini aşağıdaki kurallara göre toplayın:

Yeni bir elemana denk geldiğinizde, elemanın girişindeki voltaj işaretine bakın.
Eğer işareti $+$ ‍ ise bu elemanda bir gerilim düşüşü yaşanacağını ifade eder. O elemanın gerilimini çıkarın.
Eğer işareti $-$ ‍ ise bu eleman boyunca bir gerilim artışı olacaktır. Bu elemanın gerilimini ekleyin
Bazı kitaplar döngü etrafında gitmeyle ilgili farklı bir işaret kuralı öğretiyorlar. Bu öğretilen ile bir önceki kısımda verilen kurallar aynıdır ve tamamen aynı sonucu vermektedir.
Yeni bir elemana denk geldiğiniz zaman, girişindeki voltaj işaretine bakın.
Eğer işareti $+$ ‍ ise elemanın gerilimini toplayın.
Eğer işareti $-$ ‍ ise elemanın gerilimini çıkarın.
Bu kuralın gerilim artışı/düşüşüyle bir alakası yoktur, ancak daha kolay hatırlanabilir. Hangi kuralı kullanacağınız size kalmış. Burada önemli olan seçtiğiniz kuralı uygularken tutarlı olmanız.

Adım 4: Başlangıç noktasına ulaşana kadar döngüde devam edin ve tüm yol boyunca karşılaşılan elemanların gerilimlerini ekleyin.

Döngü yöntemini uygulayın

Yöntemi adım adım takip edelim.

Sol alttan, $a$ ‍ düğümünün oradan başlayın.
Saat yönünde gidin.

İlk geldiğimiz eleman gerilim kaynağıdır. Karşılaştığımız ilk voltaj işareti $-$ ‍ negatiftir, yani bu eleman boyunca bir gerilim artışı olacağını ifade eder. Yöntemin 3. adımına göre döngüyü kaynak gerilimini ekleyerek başlatıyoruz.
‍

v_{d ö n g ü} = + 20 V

voltaj kaynağından geçerek

b

düğümüne.

Bir sonraki denk geldiğimiz eleman

100 Ω

'luk direnç. Girişine en yakın voltaj işareti

+

pozitiftir. Yöntemi hatırlayalım ve bu sefer elemanın gerilimini çıkararak döngüye devam ediyoruz.

v_{d ö n g ü} = + 20 V - 2 V

100 Ω

'luk dirençten geçerek

c

düğümüne

Devam edelim. Şimdi

200 Ω

direnci ziyaret ediyoruz ve yine

+

işarete denk geldik, yani bu gerilimi çıkarıyoruz.

v_{d ö n g ü} = + 20 V - 2 V - 4 V

200 Ω

rezistansından geçerek

d

düğümüne.

İki eleman daha ekleyerek döngüyü tamamlarız,

v_{d ö n g ü} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

300 Ω

'luk dirençten

e

düğümüne kadar.

v_{d ö n g ü} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

400 Ω

direncinden sonra.

(Devre çizimini kontrol edelim ve son iki negatif

-

işareti doğru olduğundan emin olalım.)

Ve bitti, başlangıç noktası olan $a$ ‍ düğümüne geri geldik. $v_{d ö n g ü}$ ‍ ifadesinin toplamı kaç etti ?
‍

v_{d ö n g ü} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

Döngü etrafındaki gerilimlerin toplamı

0

ediyor. Başlangıç ve bitiş düğümü aynı, yani başlangıçtaki ve bitişteki gerilimler de aynı. Düğüm üzerinde dolaştığınız sırada gerilim artışı ve düşüşlerine denk geldiniz ve başladığınız yere geldiğinizde hepsi birbirini götürdü. Bunun sebebi elektrik kuvvetinin korunumlu olmasıdır. Başladığınız yere geri dönerseniz net bir enerji kazancı veya kaybı yoktur.

Bir başka örnek daha çözelim ve bu sefer sayısal değerler yerine değişken isimlerini kullanalım. Aşağıdaki benzer sistemin gerilimleri ve düğümleri isimlendirilmiştir. Dirençlerdeki voltaj kutupları beklemediğiniz bir şekilde düzenlenmiştir, hepsinin işareti döngüde aynı yönü belirtmektedir. Bu döngülerin hoş bir özelliğini ortaya çıkarmaktadır.

Döngü etrafında gitmeye başlayalım ve ilerlerken gerilimleri toplayalım. Başlangıç noktamız sol alt köşede bulunan

a

düğümü olsun. Yürüyüşe saat yönünde devam edelim (bu rastgele bir yön seçimidir; her iki yön de aynı sonucu verir).

a

düğümünden başlayıp yukarı devam edelim. İlk denk geldiğimiz işaret gerilim kaynağındaki eksi işaretidir ve bu voltaj kaynağı boyunca

v_{a b}

değerinde bir gerilim artışı olacağını ifade eder. Bu elemanda bir gerilim artışı olduğu için döngü toplamında

+

işaretine sahip olacak.

Döngüde

b

'den

c

'y, oradan

d

'ye ve

e

düğümüne olmak üzere devam edin ve başlangıçtaki

a

düğümünde durun. Yol boyunca direnç gerilimlerini döngü toplamına ilave edin. Bütün dirençlerin kutup işaretleri düzenlendi ve her dirence yaklaştığımızda

-

işaretine denk geliyoruz. Bu yüzden direnç gerilimlerinin hepsi döngü toplamında

+

işarete sahiptir. Döngü toplamının son şekli şudur:

+ v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4}

Bunun toplamı nedir? Bir düşünelim.

Döngü aynı düğümde başladı ve sonlandı, yani başlangıç ve bitiş gerilim değerleri aynıdır. Döngü etrafında gerilimleri ekleyerek dolaştık ve aynı voltaj değerine geri döndük. Bu gerilimlerin toplamının sıfır olması gerektiğini belirtir. Bizim örnek döngümüz için bunu şu şekilde yazabiliriz:

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Döngü etrafındaki gerilimlerin toplamının sıfır olmadığını varsayın. Bu durumda garip bir sonuç bulmuş olacaksınız.

Diyelim ki bir şekilde döngü etrafındaki gerilim toplamı

+ 1

volt çıksın. Yani,

a

düğümünden yürümeye başlayıp döngü etrafında gerilimleri toplayarak devam ederseniz ve

a

düğümüne tekrar geri gelirseniz sonucu bir sebeple

1

volt bulmuş olduğunuzu gösterir, bu da başlangıç noktasından yüksek bir değerdir (Nasıl yani?!). Düğüm etrafında ikinci bir tur daha atarsanız,

a

düğümündeki gerilim

2

Volta yükselir (Nasıl olur?!). Böyle bir şey mümkün değildir.

a

düğümündeki gerilim aklımızda bir hesap yapmamız sebebiyle değişmemektedir. Bir döngü etrafındaki gerilimlerin toplamı her zaman sıfıra eşit olmalıdır.

Döngü etrafındaki gerilim değerleri hakkındaki bu gözlem, genel haliyle Kirchhoff'un Gerilim Yasası'nda güzelce özetlenmiştir.

Kirchhoff'un Gerilim Yasası

Kirchhoff'un Gerilim Yasası: Bir döngü etrafındaki gerilimlerin toplamı sıfıra eşittir.

Kirchhoff'un Akım Yasası bu şekilde yazılabilir,

\sum_{n} v_{n} = 0

burada

n

döngü etrafında öğe voltajlarını saymaktadır.

Kirchhoff'un Gerilim Yasası'nı başka bir şekilde ifade edecek olursak: Gerilim artışlarının toplamıyla gerilim düşüşlerinin toplamı birbirine eşittir.

\sum v_{ç ı k ı ş} = \sum v_{i n i ş}

Kirchhoff'un Gerilim Yasası bazı faydalı özelliklere sahiptir:

Bir döngüyü incelemeye herhangi bir düğümden başlayabilirsiniz. Döngü etrafında yürüyün ve aynı düğüm noktasında yürüyüşünüzü sonlandırın, böylece gerilimler toplamı sıfıra eşit olacaktır.
Saat yönünde veya saat yönünün tersine fark etmeksizin döngüde istediğiniz yönde ilerleyebilirsiniz. Kirchhoff Gerilim Yasası iki durumda da geçerlidir.
Eğer bir devrede birden fazla döngü bulunuyorsa, Kirchhoff'un Gerilim Yasası her bir döngü için geçerlidir.

Voltajlar hep pozitif midir?

Eğer "Toplamları sıfıra eşit olurken nasıl olur da devre elemanlarının voltajı her zaman pozitif olabilir? "diye merak ettiyseniz bu çok normal. Gerilim yönleri ve kutup işaretleri gerilimin yönüne dair yalnızca birer referans yönü ifade etmektedirler. Devre analizi tamamlandığı zaman, voltaj işaretlerine bağlı olarak, döngü etrafındaki devre elemanlarının bir veya daha fazlasının gerilimi negatif olacaktır. Hesaplar tamamlandığında, asıl gerilimlerin işaretleri her zaman birbirini götürerek toplam gerilim sıfır olacaktır.

Kirchhoff'un Voltaj Yasası - kavram kontrolü

Problem 4: $v_{R 3}$ ‍ nedir?

Hatırlatma: Her bir devre elemanı voltajının ilk işaretini kontrol ederek döngüde ilerleyin.

Bu problemi çözmek için Kirchoff'un Voltaj Yasası'nı kullanın.

\sum_{n} v_{n} = 0

Başlamak için bir düğüm noktası seçin. Mesela bu nokta

A

düğümü olsun. Döngü etrafında saat yönünde ilerleyeceğiz.

Voltaj okları karışık şekilde verilmiş, döngü etrafında hepsi aynı yönü belirtmiyor. Bu sebeple denklemi kurarken döngüde bulunan her bir devre elemanının gerilim kutuplarını doğru şekilde atamak adına çok dikkatli olacağız. Döngü etrafındaki devre elemanı gerilimlerini toplama yöntemine başvurun ve kendinize hangi gerilim yönünün hangi işareti alacağını hatırlatın.

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- v_{R3}) + (- 1) = 0

Yukarıdaki denklemdeki zor kısım işaretleri doğru atamaktı. Bunu yapabiliyor olmak Kirchhoff'un Yasalarını uygulamak adına çok önemlidir.

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = v_{R3}

v_{R3} = + 6 V

R3'teki voltaj okunun yönüne bakın. Yukarıya doğru, yani

e

düğümünden

d

düğümüne doğru.

v_{R3}

için bulduğumuz bu pozitif değer,

d

düğümünün

e

düğümüne göre

6

Volt daha yüksek olduğunu ifade ediyor.

Ekstra alıştırma: Aynı problemi tekrar çözün, fakat bu sefer döngü etrafında tam tersi yönde ilerleyin. Yine aynı cevaba ulaşmanız gerekmektedir.

Özet

İki yeni arkadaşla tanıştık.

Bir düğüm noktasındaki akım kolları için Kirchhoff'un Akım Yasası,

\sum_{n} i_{n} = 0

Bir çevrimdeki bileşenlerin gerilimleri için Kirchhoff'un Gerilim Yasası,

\sum_{n} v_{n} = 0

Bu yeni arkadaşlarımız bazen kısaca KAY ve KGY diye de anılabilir.

Ve eğer ki doğru sonuca ulaşmayı istiyorsak gerilim ve akım işaretlerine dikkat etmemizin önemli olduğunu öğrendik. Bu, detaylara özen göstermeyi gerektiren yorucu bir süreçtir ve iyi bir elektrik mühendisinin sahip olması gereken temel bir yetenektir.

Kirchhoff'un Yasaları aslında Maxwell'in elektromanyetizma denklemlerinden türetilen tahminlerdir. Kirchhoff'un Yasaları, devre bileşenlerinin boyutlarının devreden geçen sinyallerin dalga boylarından çok daha küçük olması durumunda geçerlidir. Bu sadeleştirme, elektrik mühendisliği eğitiminizin başlangıcında denk geleceğiniz neredeyse her devre için uygulanabilir.

Bu çıkarım hakkında daha detaylı bilgi edinmek isterseniz aşağıda kaynaklardan ulaşabilirsiniz:

"Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits", Anant Agarwal ve Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Ek 2A.

"The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 2. Baskı, Thomas H. Lee, Cambridge Üniversitesi Yayınları, Bölüm 6, Distributed Systems.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

usaamekadar
2 yıl önce önce paylaşıldı. usaamekadar kullanıcısının ''Bu makale'nin bazi linkle'...' gönderisini görmek için direkt link
Bu makale'nin bazi linkler çalışmıyor masela "düğüm" , "dağıtılmış düğüm", "şube" ve "çevrim"
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(2 oy)
Cevap
Guven Acar
5 yıl önce önce paylaşıldı. Guven Acar kullanıcısının ''Problem 4 te R4 direncini'...' gönderisini görmek için direkt link
Problem 4 te R4 direncinin yönü yanlış belirtilmiş.
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(2 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.