Ana içerik

Konu: Cebirin Temelleri > Ünite 7

Ders 8: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare

"Tamkare" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²+6x+9'u (x+3)² olarak yazmayı öğrenelim.

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.

Bu makalede, tamkare üç terimlileri özel formülleri kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağımızı öğreneceğiz. Bu, bir iki terimlinin karesini alma sürecini tersine çevirir, dolayısıyla devam etmeden önce bunu iyice anlamak isteyeceksiniz.

Giriş: Tamkare üç terimlileri çarpanlarına ayırma

Herhangi bir iki terimliyi açmak için, aşağıdaki formüllerden birisini uygulayabiliriz.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Dikkat ederseniz, formüllerde

a

b

herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin,

(x + 5)^{2}

'yi açmak istediğimizi varsayalım. Bu durumda,

a = x

b = 5

'tir ve bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Bu formülü, çarpmayı kullanarak

(x + 5)^{2}

'yi açarak kontrol edebilirsiniz.

Bu açma sürecinin tersi, çarpanlara ayırmanın bir türüdür. Eğer denklemleri ters sırayla tekrar yazarsak,

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

formundaki polinomları çarpanlara ayırmak için formüller elde edeceğiz.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

x^{2} + 10 x + 25

'i çarpanlara ayırmak için ilk formülü kullanabiliriz. Burada

a = x

b = 5

'tir.

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Bu formdaki ifadeler tamkare üç terimliler olarak adlandırılır. İsim, bu tip üç terimli polinomların, bir tamkare olarak ifade edilebileceğini belirtir.

Bu formülü kullanarak tam kare üç terimlileri çarpanlarına ayırdığımız birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1: $x^{2} + 8 x + 16$ ‍'yı çarpanlara ayırma

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin:

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin:

2 (x) (4) = 8 x

Bu bize polinomun bir tamkare üç terimli olduğunu söyler, dolayısıyla aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü kullanabiliriz.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

Bizim durumumuzda,

a = x

b = 4

'tür. Polinomumuzu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Yaptıklarımızı

(x + 4)^{2}

'yi açarak kontrol edebiliriz:

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) $x^{2} + 6 x + 9$ ‍'u çarpanlarına ayırın.

2) $x^{2} - 6 x + 9$ ‍'u çarpanlarına ayırın.

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin:

x^{2} = (x)^{2}

9 = (3)^{2}

'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin:

2 (x) (3) = 6 x

Bu, polinomun bir tamkare üç terimli olduğu anlamını taşır. Bunu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Binomdaki işaretin negatif olduğuna, çünkü

x

teriminin katsayısının negatif olduğuna dikkat edin.

3) $x^{2} + 14 x + 49$ ‍'u çarpanlarına ayırın.

Örnek 2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍'u çarpanlara ayırma

Bir tamkare üç terimlinin başkatsayısının

1

olması şart değildir.

Örneğin,

4 x^{2} + 12 x + 9

'da hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin:

2 (2 x) (3) = 12 x

Bu yukarıdaki koşulları sağladığından,

4 x^{2} + 12 x + 9

bir tamkare üç terimlidir. Aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü tekrar uygulayabiliriz.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

Bizim durumumuzda,

a = 2 x

b = 3

'tür. Polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Yaptıklarımızı

(2 x + 3)^{2}

'yi açarak kontrol edebiliriz.

Evet! Ayrıca

4 x^{2} + 12 x + 9

'u gruplama yöntemini kullanarak da çarpanlara ayırabiliriz.

Bu sürece

4 \cdot 9 = 36

'nın toplamı

12

olan çarpanlarını bularak başlayalım. Bu iki sayı

6

6

'dır, çünkü

6 \cdot 6 = 36

6 + 6 = 12

'dir.

Şimdi

12 x

terimini

6 x + 6 x

şeklinde ayırabilir ve polinomu çarpanlara ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Terimleri gruplayın \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & EBOB çarpanlarını dışarı alın \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Common factor! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & 2x+3 çarpanını dışarı alın \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Dikkat ederseniz, bununla birlikte,

4 x^{2} + 12 x + 9

'un bir tamkare üç terimli olduğunu fark etmek size zaman kazandırır!

Anlamış olduğumuzu kontrol etme

4) $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

5) $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

25 = (5)^{2}

'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin:

2 (2 x) (5) = 20 x

Bu, polinomun bir tamkare üç terimli olduğu anlamını taşır. Bunu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Binomdaki işaretin negatif olduğuna, çünkü

x

teriminin katsayısının negatif olduğuna dikkat edin.

Zor problemler

6*) $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

7*) $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍'yi çarpanlarına ayırın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Erol Yurt
2 ay önce önce paylaşıldı. Erol Yurt kullanıcısının ''Zor problemler kısmındaki'...' gönderisini görmek için direkt link
Zor problemler kısmındaki sorularda "toplam-çarpım yöntemi" veya "başkatsayı x sabit terim" yönteminin uygulanamadığını fark ettim. Dolayısıyla bir konuya ne kadar farklı yaklaşım uygulanabilirse, ne kadar farklı yaklaşım bilinirse sanırım o kadar iyi:D
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(1 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebirin Temelleri

Konu: Cebirin Temelleri > Ünite 7

Giriş: Tamkare üç terimlileri çarpanlarına ayırma

Örnek 1: x2+8x+16‍ 'yı çarpanlara ayırma

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Örnek 2: 4x2+12x+9‍ 'u çarpanlara ayırma

Anlamış olduğumuzu kontrol etme

Zor problemler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $x^{2} + 8 x + 16$ ‍'yı çarpanlara ayırma

Örnek 2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍'u çarpanlara ayırma