sin(ln(x²))'nin Türevi

Bu videoda, x karenin doğal logaritmasının sinüsünün... Okurken bile zorlandığım bu ifadenin, türevini almaya çalışacağız. Karşımızda, bir fonksiyonun bileşkesinin bileşkesi olan bir ifade var. Bu ne demek diye soracak olursanız... f(x), sinx’se; g(x), ln x; h(x) de, x kareyse, Bu, (fogoh)(x)’in, x’e göre türevini almakla aynı şeydir. Şimdi, zincir kuralının formülünü yazmadan, sanki bu soruyu aklımdan çözüyormuşum gibi, bu türevi almaya çalışacağım. Evet. Eğer bu soruyu aklımdan çözseydim, işe, Dıştaki fonksiyonun, yani sinx’in, İkinci seviyedeki fonksiyona, yani buna göre türevini alarak başlardım. sinx’in türevi, cosx’tir. O halde, buraya, cos... x yerine içerideki fonksiyonun tamamını yazacağım. cos(ln(x^2)) x karenin doğal logaritmasının kosinüsü. Burada da yukarıda kullandığım renkleri kullanalım. Güzel. Bu, (f'ogoh)(x)’in türevi. g(h(x)) Tekrar ediyorum, dıştaki fonksiyonun, içteki fonksiyona göre türevini aldık. Şimdi de sıra, içerideki fonksiyonun x’e göre türevinde. Ama burada ne var? Bir başka bileşke fonksiyon. O halde, az önceki gibi, zincir kuralını bir daha uygulayacağız. Ve çarpı, ln’in, x kareye göre türevini alacağız. ln x’in türevi 1 bölü x’tir ama burada x yerine x kare olduğu için, türev, 1 bölü x kare olacak. Evet, buraya yazdığım, g üssü, x değil. Unutmayın, x olsaydı, burası 1 bölü x olurdu ama x yerine, g(x) yani x kare var. O halde, bu, g üssü x karedir. Şahane! Son olarak, içteki fonksiyonun da türevini almamız lazım. x kare yerine h(x) yazıyorum. Ne demiştik, sırada, en içteki fonksiyonun, x’e göre türevi var. x karenin, x’e göre türevi, 2x’tir. Evet... Çarpı h üssü x. Bir tekrar daha yapalım. Şimdi, morla gösterdiğim bu ifade, bununla aynı şey. Biri somut diğeri soyut olarak gösterilmiş. Bununla da bu; bununla da, bu yine biri somut biri soyut olmak üzere aynı şey. Ve son olarak, bununla da bu, aynı şey! Ve bitti. Bunu biraz sadeleştirebilirsek, az önce okurken bile zorlandığımız bu ifadenin türevini almış olacağız. 2x’i başa alıyorum. 2x bölü x kare, 2 bölü x eder. 2 bölü x çarpı x karenin doğal logaritmasının kosinüsü. Kolaymış değil mi? Onun için, böyle karışık ve korkutucu görünen ifadelerle karşılaştığınızda korkmayın ve yavaş yavaş ilerleyin, düşünerek ilerleyin. En dıştaki fonksiyonun yani sinx’in, içindeki fonksiyona göre türevi, içerindeki fonksiyonun kosinüsüdür. Sonra, bir adım daha ilerleriz, ln’in, içindeki fonksiyona göre türevini alırız. ln’in, x kareye göre türevi, 1 bölü x karedir. Bu x ile bu x birbirini götürmüştü, sakın kafanız karışmasın. Ve son olarak da, en içteki fonksiyonun türevi alırsak, x karenin türevi, 2x’tir. Ve tüm bu ifadenin türevini almış oluruz. Umarım faydalı olmuştur.