3x3 Bir Matrisin Öz Vektörleri ve Öz Uzayları

Bu bir önceki derste 3600 olan bu a matrisinin Öz değerlerini bulmuştuk ne olması gerekiyordu ve Sıfıra eşit olmayan bir rektör olmak üzere anın Öz değeri olan lamdanın yazdığımı eşitliği sağlaması gerekiyordu değilim Sıfıra eşit olmayan bir ve vektörü için lan Tabu eşitliği sağlıyorsa bu eşitliği de sağlamalıdır demiştik ardından biraz vektör cebiri işlemi yapmıştık ve sonuca ulaşmıştır Dilerseniz o videoyu tekrar izleyebilirsiniz tabi Şöyle demiştik bunun Sıfıra eşit olmayan bir çözümün olabilmesi için bu matrisin aşikar olmayan 10 uzayı olması gerekiyor yalnızca tersinir olmayan adreslerin aşikar olmayan sıfır uzayı vardır şöyle diyebiliriz yalnızca de terminan tı0 eşit olan matrislerin aşikar olmayan 0u zayıf vardır Bu gördüğünüz işlem uygularsanız karakteristik polinom elde edersiniz ve bu söz değerleri bulursun Neydi o özdeğerler lamda eşittir 3 velanda eşittir -3 şimdi gelin Bence daha da ilginç olan bölüme geçelim özvektörleri veya Öz uzayları bulalım bu eşitliğe dönelim bu eşitlik herhangi bir öz değer için geçerlidir bu diğer eşitlikte geçerlidir Ama bu ilk eşitlik üzerinde işlem yapmak daha kolay herhangi bir Özdeğer için bu işaretlediğim matris ile özvektör ün çarpımı Sıfıra eşit olmalı ama adresi Bir önceki videoda ki işlemlerimiz den buraya kopyalayıp yapıştırdım Sarız kuralı uygulamak için bu çizgileri çekmiştim Onları görmezden gelen lütfen lan da çarpı birim matris eksi a işleminin sonucu İşte gördüğünüz bu matris oluyor lan atalarımızdan her birini bum adresi uygulayıp özvektörleri yani Öz uzayları da bulalım ilk olarak lamdanın ülke eşit olduğu durumu ele alalım ya da üç eşit sebum adresi nasıl yazarız lamda artı bir 4'tür lamda -2 bir dirlanda -2 bir diğer tüm terimler aynı kalacak öyle değil mi -2 -2 -2 1 -2 w1u matrisin özvektör ve ile çarpımının sonucu sıfırdır şöyle diyebiliriz Özdeğer 3'ün Öz uzayı yazdığımız bu matrisin sıfır uzayıdır dikkat edin a matrisinin değil umatrix İslam'da çarpı birim matris eksi aya eşit bu matrisin sıfır uzayı bir öz uzaydır Yani b yerine yazabileceğimiz tüm vektörler lan da eşittir Üçöz değerinin Öz uzağında bulunan özvektörler dir şimdi gelin onları bulalım Bu arkadaşın sıfır uzayı indirgenmiş satır basamaklı biçiminin sıfır uzayına eşittir o Hoş geldin bum adresin indirgenmiş satır basamaklı biçimini yazalım ilk olarak en iyisi aşağıya yazıyım ilk satırı Aynen yazacağım 4 -2 -2 ikinci satır yerine de ikinci satırın iki katı ile ilk satırın toplamını yazacağım -2 çarpı iki artı 40 eder bir çarpı iki artı eksi iki Bu da 01 çarpı iki artı eksi iki Evet bu da sıfır 3. satır ikinci satır yine aynı o nedenle o işlemleri orada uygulayabilirim -2 çarpı iki artı 401 çarpı iki artı eksi 201 çarpı iki artı eksi 20 3'teki eşitliğin çözüm kümesi altta Yazdığım Bu eşitliğin çözüm kümesiyle aynıdır yalnızca ve olarak Yazmak yerine Madrid gösterimini yazayım V1 V2 V3 10 vektör yani 000 farklı biçimde yazdık ikinci Satırlar 3. satır bize herhangi bir bilgi veremez bilgi verebilecek tek satır birinci satır buradan ilerleyelim 4x ve 1 -2 çarpı ve iklim bu aslında indirgenmiş satır basamaklı biçim değil ama öyle kabul edebiliriz üzerinde işlem yapmamız kolay sonuçta belki 4cm 1 -2 çarpı ve iki -2 çarpı ve 3 eşittir sıfır gelin bunları dörde bölelim Hazan cd4e böyle bilirdim Tabi bu durumda şimdi bölmek zorunda kalmayacaktır Neyse 4'e bölersek ne olur ve bir eksi 1 bölü iki V2 eksi 1 bölü 2 ve 3 eşittir sıfır oradan ve bir eşittir 1/2 ve iki artı bir bölü 2 ve 3 ders bu iki Terim eşitliğin her iki yanına da ekledim diyelim ki ve 12 ne eşit olsun rastgele bir şey yazabilirim diyelim ki A olsun ve 3D Bey'e eşit olsun bu durumda ve bir de bir bölü iki artı bir bölü iki Bey'e eşit olur lan da eşittir 3'ün Öz uzayıda şuna eşittir V1 V2 V3 eşittir Ağa çarpıp ve iki Aynen şey söylediğimi O halde v2a çarpı bir eşittir V3 ün içinde hiç a yok O halde a çarpı sıfırlıdır artık be çarpım veya eşit ve ikinin içinde hiç be yok O halde sıfır yazarız ve 0/3 çarpa artı bir çarpı Bedir ve bir de 1/2 çarpı artı bir bölü iki çarpı Bedir 1/2 ve 1/2 ne diyoruz lan da eşittir 3'ün Öz uzayı bu yazdığımız koşulu sağlayan bu ve bir ve 2B ve 3B körlerinin kümesidir Tabii aile be Gerçek sayılar kümesinin birer elemanıdır bunu da unutmayalım her şeyi matematiksel olarak doğru ifade etmekte yarar var bu eşitliği sağlayan her Mac 41 özvektör lamda eşittir Üçöz değerinin Özbek türüdür Bu vektörlerden herhangi birine matris dönüşü işlem uygulamak istersek onları ütüle çarpma mız gerekir Hemen yazalım lan da eşittir 3'ün Öz uzayı eşittir Bu arkadaşıyla Bu arkadaşın tüm olası doğrusal kombinasyonlarının gerdiği uzaydır bir böyle 210 ve 1/2 01 Öz aylardan yalnızca biridir lan da eşittir Üçöz değerinin Öz uzayıdır Bir de lamba eşittir -3 için olanı yazalım Damla eşittir -3 ise buraya yaz Evet evet bu boşluk yetecek gibi lan da eşittir -3 için bu matrisi şöyle yazarız önce köşegeni yazayım -3 artı 1 -2 -3 -2 -5 -3 -2 -5 diğer terimler değişmeyecek -2 -2 1 -2 -2 ve bir bu matrisine ile çarpıcı ıslandı eşittir eksi 3'ün Öz uzağında bulunan vektörlerle çarpacağız eşittir sıfır bu gösterdiğim eşitlik üzerinden ilerliyorum bu eşitti de şu eşittir kullanarak tür etmiştik lamba eşittir eksi 3'ün Öz uzayı bu matrisin sıfır uzayıdır yani bu eşitliği sağlayan ve vektörleri dir Bu matrisin sıfır uzayı indirgenmiş satır basamaklı biçiminin sıfır uzayına eşittir Gelin bu matrisin indirgenmiş satır basamaklı biçimini de yazalım ilk satırı Aynen yazacağım Madem biraz daha küçük o zaman Çünkü buradaki boşluktan 2 yetmeyecek Evet -2 -2 eksiği Clear en iyisi şöyle bin bazı adımlar atlayarak gideceğim ilk satırı eksi ikiye bölelim ve böylece bir Bir web bir hile salıp Şimdi de birinci satırdan iki satırı çıkarıp sonucu ikinci satır olarak yazalım -2 eksi eksi 20 ederdi mi Evet -2 eksi eksi 5 artı3 -2 -1 ise eksi 3. satırı başka bir renkle yazıyım Aynı işlemi uygulayacağım birinci satırdan 3. satırı çıkarıp 3. satırın yerine yazacağım -2 eksi eksi 20 değer eksik -1 -3 ve -2 eksi eksi 5 artı3 eder Şimdi de buradan sonrasını iki aşamada yapalım ilk satır 111 Aynen kaldı 3. satır yerine değil bu kadarıyla 3. satırın toplamını yazalım Böylece tüm terimler bir birini götürür ve üçüncü satırın tümü sıfır olur ikinci satırın da üçe bölüp sonucu ikinci satır olarak yazalım Ne olur 01 ve eksi bir Mehmet çok az kaldı Bundan sonrasını turuncu renkle yazacağım birinci satırdan iki satırı çıkarıp sonucu birinci satır olarak yazayım ne olur 101 eksi eksi 12 eder ikinci satır 01 ve eksi bir son satırda 000 yukarıda eşitliği sağlayan ve vektörleri bu yeni eşitliği de sağlar matrescence sıfır uzayı onun indirgenmiş satır basamaklı biçimi olan bum adresinde sıfır uzayıdır V1 V2 V3 eşittir 000 bu eşitliği başka bir yere taşıyor Çünkü burada ve yarım kalmadı aşağıda yılında boş yarım var Evet oraya taşıyorum bu eşitliği klanda eşittir -3 için geçerli buraya yazayım ki hemen üzerinde yazdıklarımız da ilişkili olmadığı daha iyi anlaşılsın Evet belki bu eşitliği sağlayan tüm ve bir B2 ve B3 vektörlerin nelerdir diyelim ki ve 3D'ye eşit Olsun w3tc eşitse diğerleri için ne yazabiliriz 2. satıra bakarsak ve eksiğim v30a eşittir sıfır çarpı ve bir artı ve 2 eksi ve 3 eşittir sıfırdır Bu da şu demek ve 2 eşittir ve 3 Tabii ki İkisi de t70 ikinci eşitlik böyle 3. ettiğimizde yazalım ve bir Çantı bir artı 0xb iki artı iki çarpı ve 3 eşittir sıfır Bu da şu demek Ve bir eşittir eksi 2 ve 3 O da eşittir -2 tel anda eşit 13'ün Öz uzayı şu koşulu sağlayan tüm vektörlerin kümesine eşittir nedir okşul yazalım V1 V2 V3 eşittir te çarpıp ve 3 yerine te yazacağız ve 2'nin dth eşit olduğunu bulduk ve birinde eksi 2t olarak bulduk Öyle değil mi Tabii ete Gerçek sayılar kümesinin bir elemanı olmak koşuluyla bunu şöyle ifade edebiliriz lan da eşittir eksi 3'ün Öz uzayı şuna eşittir eksi 211 vektörünün geldiği vektörler dir Evet ilginç bir sonuç Çünkü bu vektör bu faktörlerden biridir çarparsanız sonucun sıfır çıkacağını düşünüyorum Öyle mi acaba -2 çarpıp 1/2 -1 Evet -1 eder Buradan da artı bir gelir toplarsak sıfır eder diğer bekle de bakalım Evet evet Her ikisiyle de Çar ama sonucu 0 ediyor halde bu doğru bu uzaya diktir çok ilginç değilim gelin gözümüzde iyice canlanması için grafiklerini çizelim elimizde 33 a matrisi vardı bum adresin dönüşü mürekkep uzağındadır Ayrıca matrisini ki Öz değeri var ve bu Öz değerlerin her birinin Öz Uzaylıları var Özdeğer 3'ün Öz uzayır ekipte bir düzlem dir özdedir 3'ün Öz uzayı İşte bu düzlem çizeceğim bu iki vektör de bu düzlemi gelir rastgele 2 ve 4 çiziyorum lan da eşittir eksi 3'ün ör uzayı bir doğrudur bu düzleme dik olan büyük olur O çizdiğime benzerdir bu görün geldiği doğru bu vektörü çizseydim böyle birşey Eğer bu kutuyu gelir bu doğrulandı Işık direkt sütün öz uzayıdır özdeğerleri ve özuz bu doğru bulmuşuz emin olmak için şuna bakacağız bu düzlem üzerinde herhangi bir Rektörlüğü alalım Bu ve görek sektörü diyelim Bu bektöre dönüşüm uygularsak onu aile çarparsak o ve görün üç katını elde ederim Çünkü bu durum da eşittir 3'ün uzayında bulunuyor Bu nedenle eksi aile çarpmak ve meksi 3 ile çarpmak demektir bu v4a çarpık sektörü bu tüm vektörler için geçerlidir diyelim ki ilk sektörü bu olsun a çarpık sektörü bu vektörün 3 katıdır Şimdi de bu vektörleri Bakalım lan da eşittir eksi 3'ün özür uzağında bulunan bir vektöre dönüşüm uyguluyor diyelim ki expect örü bu olsun ilkse dönüşüm uygularsak tam ters yönde ve 3 katı büyüklüğünde bir vektörel de ederiz yani yeni vektörde bu doğru üzerinde Yaralı bu ama yönü aşağı doğru olmuş işte bu ve gör a Çarpı x eşit olur eksiğinin 3 katı uzunluğundadır ama tersi yönündedir Çünkü lan da eşittir eksi 3'ün Öz uzağında bulunuyor Evet bence bu derste ep1 ilerleme kaydetti 3-1 metresini Öz değerlerini bulmakla kalmadık tüm özvektörleri de bu Gerçi sonsuz sayıda Özbek dur vardır ama özdeğerler olan üçe ve eksi 3 e karşılık gelen 2 adet Öz uzay olmuş pek sonraki derste görüşmek üzere bu