Özdeğer ve Özvektörler

R n'den R n'ye bir dönüşümle büyüklüğü artan veya azalan vektörler ilgimizi çekebilir. Vektörün dönüşümünün, vektörün farklı uzunluğa sahip bir versiyonuna eşit olmasını istiyoruz. Bu size tanıdık gelmiyorsa,hemen hatırlatmaya çalışayım. Doğuray vektörleri bulduğumuz zamanı hatırlayın. Hemen çizeyim. R 2'den R 2'ye. v 1 vektörünü 1 ve 2 olarak belirleyelim. Bu vektörün gerdiği doğrular vardı. Bu soruyu birkaç video önce yapmıştık. Sonra da bu doğruya göre yansıtma dönüşümünü görmüştük. Buna l doğrusu dersem, T dönüşümü vektörlerin bu doğruya göre yansımasını veriyordu. Hatırlarsanız, dönüşüm şöyle bir x vektörünü şu şekilde dönüştürüyordu. Bu doğruya göre yansıması x'in dönüşümüydü. Ve o videoyu hatırlarsanız, dönüşüm matrisini bulmamızı sağlayacak farklı bir doğuray arıyorduk. Böylece standart doğurayda dönüşüm matrisini bulacaktık. Doğuray olarak da dönüşümün fazla etkilemediği, sadece büyüklüklerini etkilediği vektörleri seçmiştik. Örneğin v 1'in dönüşümü v 1'e eşit çıkmıştı. Veya v 1'in dönüşümü eşittir 1 çarpı v 1 de diyebiliriz. Bu şablona uygun yazarsak, burada lambda 1 olur. Ve bu vektör de v 1 olur. Bu dönüşüm v 1'in uzunluğunu 1 ile çarpar. Bir başka vektörü de incelemiştik. v 2 vektörü, 2, eksi 1. Doğruya dik olduğu için, dönüşümü şöyle olmuştu. Bu da ilginç bir durum oluşturdu, çünkü v 2'nin dönüşümü neye eşi oldu? Eksi v 2 'ye eşit oldu. Veya v 2'nin dönüşümü eşittir eksi 1 çarpı v 2 de diyebiliriz. Bu vektörleri doğuray olarak kullandığımızda dönüşüm matrisini bulmak çok kolaylaşmıştı. Bu doğurayla işlem yapmak son derece basitti. Bu durumu ileride daha inceleyeceğiz. Umarım bu vektörler size de ilginç gelmiştir. Ayrıca bazı vektörlerin gerdiği düzlemleri de görmüştük. Düzlemden çıkan başka bir vektörü de incelemiştik. Ve buna göre yansımalar alıyorduk, bu kırmızı vektörlerin hiç değişmediğini görüyorduk. Bu arkadaş yansıyordu. Belki bunlar iyi bir doğuray oluşturur veya iyi doğuray vektörleri olabilir dedik. Ve öyle de oldu. Genelde bir dönüşümün uzunluğunu değiştirdiği vektörler ilgimizi çekiyor olmalı. Bu durum tüm vektörler için geçerli değildir, öyle değil mi? Burada çizdiğim vektörün, bu x vektörünün, sadece uzunluğu değişmiyor, yönü de değişiyor. Uzunluğu değişen vektörler tam ters yöne de dönebilir. Belki bu yönden, şu yöne.Belki bu x ve x'in dönüşümü şöyle daha uzun. Ama gerdikleri doğru değişmeyecektir. İşte biz bu durumları inceleyeceğiz.Bunların özel bir adı var. Bu vektörler faydalı olduğu için bu konuyu açık bir şekilde anlatmak istedim. Bu, rastgele bir matematiksel oyun değil. Bu vektörler hakikaten faydalı. Dönüşüm matrisini kolayca bulmamızı sağlayan doğuray vektörleri tanımlamakta kullanabiliriz. Bu doğurayı kullanan dönüşüm matrisleriyle işlem yapmak çok daha basit. Bu nedenle de bu vektörlerin özel bir adı var. Bu özelliğe sahip bir vektöre, T dönüşümünün özyöneyi diyoruz. Özyöney, özyöney... Ve lambda değeri de bu özyöneyin özdeğeridir. Buradaki örnekte v 1, yani 1, 2 vektörü dönüşümümüzün bir özyöneyi oluyor. 1, 2 özyöneydir. Ve özdeğeri de 1'dir. Bu arkadaş da özyöneydir eksi 2, eksi 1 vektörü O da özyöneydir. Çok havalı, çok fiyakalı bir sözcük, anlamı da şu; dönüşüm sonucunda yalnızca uzunluğu değişen vektör. Daha anlamlı bir değişime uğramayan vektör olarak da düşünebiliriz. Bu özyöneyin özdeğeri ise,eksi 1. Bu dönüşümün matrisini hatırlamıyorum.Uzun zaman önce bulmuştuk. Bu dönüşüm matrisini bir matris vektör çarpımında kullandığımda, bunu yapabilmemin nedeni doğrusal dönüşüm olması, v'nin dönüşümü eşittir lambda çarpı v derim. Ayrıca v'nin dönüşümünün A çarpı v'ye eşit olduğunu da biliyorum. Bu vektörler ayrıca A'nın özyöneyleridir, çünkü A, dönüşüm matrisidir. Ayrıca v'nin dönüşümünün A çarpı v'ye eşit olduğunu da biliyorum. çünkü A, dönüşüm matrisidir. Yani bu durumda, bu, A'nin özyöneyidir ve şu da bu özyöneyin özdeğeridir. Bana bir doğrusal dönüşüm matrisi verdiğinizde, bu özyöney ve özdeğerleri bulabilirim. Bir sonraki videoda bunları bulmak için bir yöntem oluşturacağız. Bu videodan almanızı istediğim şu: Vektörlerin fazla değişmediğini görüyoruz, evet, ama bunun anlamı nedir? Uzunlukları değişiyor, belki tam ters yöne dönüyorlar, ama gerdikleri doğrular değişmiyor. Bizim bu vektörleri incelememizin sebebi ise, doğuray vektörleri olarak aldığımızda dönüşüm matrisini bulmayı ve işlem yapmayı basit hale getirmeleridir.