Ax = b'nin Çözüm Kümesini İnceleme

o r Kaleden R kareye doğrusal bir dönüşümü ele alalım Evet bu rekare ve bu da re Kerem TR Karenin bir elemanını bir başka elemanı ile eşleştiriyor derecede tanımlayalım doğrusal bir dönüşüm olduğunu söylemiştik ama tanımı için dönüşümün R Karenin bir elemanını aldığımızda bunu bir -3 Eksi 13 maddesiyle çarpmak olduğunu düşünelim dönüşümü biraz daha iyi anlamak için görüntü kümesinde alabileceği değerleri bulmaya çalışalım bir -3 -1 üç çarpı tanım kümesinden bir vektör bunu da X1 X2 olarak gösterelim görüntü kümesinde bir başka ve göre eşit olacak bu vektör edebe ismini verelim bere Karenin bir elemanı ve B1 B2 ye eşit Olsun buna da a matrisi diye burada yapmak istediğim şey Ağa bu Eşittir Ben eklemini sağlayan değerleri Evet bu denklemi sağlayan tüm olası B değerlerini bul bu istiyorum Bu denklemi belirli bir be değerine ulaşmak için çözdüğüm de bunu indirgenmiş eşelon formuna getirmem gerekir Öncelikle genişletilmiş bir matris oluşturacağız bir -3 -1 ve üçü yazalım bunu eşit olmaya çalıştığımız görüntü kümesinin elemanlarıyla yani B1 B2 ile genişletici sonra da bunu indir gelmiş eş olan formuna getireceğiz Peki bunu nasıl yapabiliriz Yani bunu indirgenmiş eş olan formuna nasıl getirebiliriz ilk satır aynı kalacak bir -3 ve B12 satır yerine de ikinci satır Arzı birinci satırı yazacağım -1 artı 10 eder üç artı eksi üçlü Evet bu da sıfır Burada da B2 artı B1 b16b 2 ne sırası bozulmamış olsun bunun çözümleri olacak evet ilgi çekici bir durumla karşı karşıyayız ve bunu daha önce de gördük elimizde sıfır lardan oluşan bir satır var Ve bunun çözümünün olabilmesinin tek yolu bunun Sıfıra eşit olmasıdır Evet bunun da sıfır olması gerekir Pre karenin elemanı olan beylerden çözüm olanlar iki terimini yani B1 ve B2 topladığınızda 0 elde edeceklerini izdir Bunu B 2'nin eksibe 1'e eşit olması olarak da yorumlayabiliriz görüntü kümesini çizecek olur ise katta gelin çizelim genel ifadelerle çalışmak daha faydalıdır ama zaman zaman örnek olması adına bir çizim yapmanın da faydalı olduğunu düşünüyorum açıkçası Bu R karedeki görüntü kümesi olsun eksenleri çiziyorum bu B1 Bu da B2 ekseni olsun ilk S7 diye bilirdik ama B1 ve B2 de olur görüntüsü 3D çözümü yani eşleşmesi olan elemanlar hangileri B 2'nin eksibe bir eşit olması lazım Öyle değil mi Bu da buna benzeyen bir doğru ile ifade edilebilir eğimi -1 olan bir doğru Evet bundan bahsediyorum çözümü olan beyleri veren doğru budur Eğer bu doğru üzerinde değilse ki görüntü kümesinin bir elemanı olduğumuzu düşünelim Bu görüntü kümesi Evet ve kare rekare aynı zamanda tanım kümesi de ama buraya çizdiğim görüntü kümesi yani eşleşmenin vardı küme Eğer bu doğru üzerinde değilsek yani terimleri toplamı sıfır olmayan ya da terimleri birbirlerinin ters işaretlisi olmayan birini seçersek mesela buradan birini seçer ve bu denklemi bunlarla çözmeye çalışırsak buradaki 00 olmayan bir sayıya eşit olur ve çözüm olmaz bundan bir önceki videoda bahsetmiştik bu da Bu görüntü Evet bu dönüşümün görüntüsüdür ev isterseniz şu şekilde düşünebiliriz bu görüntü küme miz hemen bir tanım kümesi çizim bre karenin buradaki elemanlarını aldığımızda Eğer Hepsi bu doğruyla eşleşiyor ise doğru üzerindeki her noktanın eşleştiği birden fazla vektör vardır Öyle değil mi Bu da örten bir dönüşümle karşı karşıya olmadığımız anlamına gelir Bunu bir önceki videoda görmüştük birşeyin örten olması için indirgenmiş eş olan formuna getirdiğimizde bir satırın tüm terimleri sıfır olamaz Başka bir değişle indirgenmiş eşelon formunda satırların her birinde bir pivot Erim olması gerekir isterseniz çözümü olan Beyler odaklanalım Evet bu beyler odaklanalım ve bir artı B2 aldığımızda Sıfıra eşit olması lazım sözgelimi Mesela 5 -5 Evet bunu alabiliriz 100 da işe yarar bir eksi birde işte böyle Evet az önce dediğim gibi şimdi bunları odaklanalım ve tanım kümesinin kaç elemanının bunlarla eşleştiği ne Bakalım bunu alırsak ve bu denklemi uygularsak sadece tek bir koşulu muz olur Bunun Sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz o halde görüntüdeki değer hesaba kattığımızda var sayabiliriz Evet çözümü olan bir şey değerlendirdiğimiz iyi yani B1 artık B 2'nin Sıfıra eşit olduğunu var sayacağız bu durumda koşullar ne olur değerlendirdiğimiz bebek törü ne ile eşleşir buradaki denkleme el alacak olur ise bir Çarpı x bir renk değiştireyim Evet -3 çarpı X2 eşittir b bir bu satırdan ise bir şey elde edemeyeceğiz Çünkü burası sıfırla dolu bu durumda bu bu koşulu sağlayan ve seçtiğimiz b ile eşleşecek tanım kümesi elemanı için Elimizi bir tek koşup çözüm kümesini yazmadan bunu ix1 eşittir b bir artı üç X2 olarak yazayım Eğer çözüm kümesinin tamamını yazmak istersek buna benzeyen bir şey elde ederiz expere -2 eşittir b10b körü artık x2x bir B1 artık siki eşit olduğuna göre iki çarpı üç yazacağım -2 ikiye eşit olacak bu serbest bir değişken yani ix20 artık S2 çarpıp 1'e eşit olacak buna da söylemeye çalıştığım şey bu dönüşüm görüntü kümesindeki tüm vektörler için bu doğru ile eşleşme yapıyor ve bu vektörlerin terimlerin toplamı da Sıfıra eşit şimdi bu vektörlerden birine sahip olduğunuzu varsayalım öncelikle bu örten bir dönüşüm değildir ama bunlardan birini el aldığımızı düşünelim belirli bir beich o kardan belirli birini seçiyor Sak bunu not edeyim aaax eşittir b için çözümü olan belirli bir b için çözüm kümesi buna eşittir ax12 eşittir beğenin ilk terimi B10 artık S2 çarpı üç bir mektuptur düşünecek olursanız Eğer belirli bir beyi seçersek isterseniz çizim Evet bu şekilde daha iyi anlaşılacağını düşünüyorum Böyle çizer Sem daha iyi olacak bu defa kümeleri değil de eksenleri kullanıyorum Evet eksenler buna benzeyecek ler dönüşümün görüntüsünün eğimi -1 olan doğru olduğunu biliyoruz neden diyecek olursanız terimler birbirlerinin negatifi de ondan Evet çözümü olan belirli bir b seçelim Mesela bu çözüm olması için terimleri birbirlerinin negatif olacak değil mi terimleri Örneğin 5 bu -5 olsun be bu Az önce gördüğümüz gibi çözüm kümesi yani tanım kümesinden bununla eşleşen elemanlar Evet bunların hangilerinin bununla eşleştiğini düşünecek olur isek tanım kümesinin hangi elemanı bu noktayla bu b ile Evet bununla eşleştiğinde bakalım bunlar aaax eşittir 5 -5 sağlayan x değerleri direkt spirax ekibe 1'e eşit olacak yani 50 artık S2 çarpı 31 vektörü 31 vektörünün herhangi bir skaler katı çözüm kümesi 05 vektörünü alalım 05 vektörü bu konumu belirler Ve bu vektöre 31 vektörünün katlarını ekleyeceğiz 31 vektörü ise böyle bir iki üç ve bir birimde yukarı gidelim işte ben buna yani 055 börüne bu şekilde açılan ya da bu şekilde negatifle Şen katları eklersek buna benzeyen bir çözüm kümesi elde ederiz buradan çözümü olan belirli bir b seçtiğimizde bu doğru üzerindeki her şey çözüm kümesindeki bu noktayla eşleştir başka bir nokta seçmiş olsaydık mesela -5 E5 bununla eşleşen çözüm kümesi ilk terim olan -5 burada Evet bunların hepsi de bu nokta ile eşleşecek bir Gençliğim şu ana kadar soyut şeyler gördük bunun yanında somut birşeyler görmenin de iyi olacağını düşünüyorum Sizce de öyle değil mi Bunların hepsini yapmanın da Elbette bir sebebi var bunun gibi homojen olmayan genel bir denklemin çözüm kümesinin neye benzediğini anlamak istiyorum biraz daha iyi anlamanız adına mesela bunu sıfır vektörünü seçecek olsam ki bu düğmesine olurdu buna bakalım bu durumda çözüm kümesi ne olur Eğer aaax eşittir sıfır dersek çözüme miz sıfır vektörü yani 00 artık S2 çarpı 31 vektörüne eşit olur Bakalım sıfır bekle üründen bahsediyoruz buradaki vektör burada ve 31 vektörünün katları buna benzeyen bir şeyden bahsediyorum işte böyle belki ya bu nedir aix eşittir sıfırın çözüm kümesi neye eşittir Bu sıfır uzayıdır Evet tanıma göre bu anın sıfır uzayıdır ve bu videodan almanız gereken en önemli ders geliyor dikkatli olun çözümü olan beyleri seçiyoruz Çünkü bu doğrunun üzerindekileri seçiyoruz onları görüntü kümesinin görüntüsünden seçiyoruz Ağa bu eşittir b denkleminin Bu arada çözümü olan beylerden bahsediyorum çözüm kümesi Aslında sıfır uzayının ötelenmiş bir versiyonuna eşit bu sıfır uzayıdır herhangi bir X2 reel sayısının sıfır uzayı Evet 31 bekliyordum herhangi bir skaler katı sıfır uzayına eşittir Aynen burada gösterdiğim gibi İşte bu bu durumda diğer tüm çözüm kümeleri belirli bir vektör Evet belirli bir x artı sıfır uzayıdır bu vektörde kendi başına aex eşittir beğenin bir çözümüdür Çünkü x20a eşitlemeye biliriz O halde genel bir ifadeyle bunun ispatını yapmadım ama ama umarım arkasında yatan mantığı anlamışsınızdır çözüm bunu bir sonraki videoda yapacağım Çünkü bu video Bayağı uzun oldu aex eşittir beğenin bir çözümü olduğunu varsayar isek Az önceki örnekteki gibi buradaki nokta a birini seçersek öyle olduğunu var sayabiliriz Evet çözüm olduğunu varsayarsak görüntü üzerinde olmayan bir nokta seçersek o zaman çözümümüz olmaz ama aix eşittir beğenin çözümü olduğunu varsayarsak çözüm kümesi belirli bir vektör bunu bir vektörde oluşan bir kümenin bu matrisin sıfır uzayı ile birleşimi olarak da düşünebiliriz Bonus patlamadı mama Umarım neden doğru olduğunun mantığını anlamışsınızdır bunu çözümü olan belirli durumlar için çözdük ve bu şekilde olur dedi size Bunun sıfır uzayı olduğunu gösterdim bunu yapmamızın sebebi ters çevrilebilirlik hakkında konuşuyor olmamız ters çevrilebilir olmak için de örten ve birebir olmak gerekliydi bile bir olmak için de belirli bir vektörle eşleşen en fazla bir çözüm olmalı hiç olmayabilir de a bu dediğim gibi en fazla bir tane olmalı en fazla bir tane çözüm olması ve çözüm kümesinin de buna eşit olması için çözüm her zaman bu olur ve en fazla bir çözüm olması için 0 uzayın içinde hiçbir şey olmaz ya da sadece 0b körü olur Bu da anın sıfır uzayının boş olması ya da sadece sıfır aktörü olması anlamına gelir Bunu bir sonraki videoda daha detaylı bir şekilde Göreceğiz Ama bazen detaya girince işin mantığının kaybolduğunu düşünüyorum Peki bu Önemli bir detay Ve sanırım bunun ters çevrilebilirlik ile ilgili koşullara varacağını anladınız