Ters Dönüşümlerin Doğrusal Olduğunu Kanıtlama

bu elimizde bir TL dönüşümü var ve T dönüşümünü tanım kümesinden birisi uyguladığımızda tanım kümesindeki ixion ya da vektörün bir ama adresiyle çarpımını elde ediyoruz Buna ek olarak doğrusal te dönüşümünün indirgenmiş eş olan formuna geldiğimizde bir Neye ne birim matris eşit olduğunu da biliyoruz Evet sadece buna bağlı olarak bile söyleyebileceğimiz birçok şey var Öncelikle bunu indirgenmiş eş olan formuna getirdiğimizde bir kare matris elde ederiz ve bu da orjinal matrisin deneyene bir matris olduğu anlamına gelir Buna ek olarak Tenin R üzeri enden R üzerine bir eşleştirme yaptığını da söyleyebiliriz bundan önceki videoda bunların hepsinin Özellikle de bunun Tenin ters döndürülebilir olmasının koşulları olduğunu görmüştür bunun doğru olduğunu Yani Tenin doğrusal bir dönüşüm olduğunu biliyorsak bu birim matris indirgenmiş eş o formada buysa Canon tersine bilir olduğunu biliyoruz isterseniz tersine bilir ya da ters döndürülebilir olmanın ne demek olduğunu da kısaca bir hatırlatayım tersine bilir olmak demek daha önce fonksiyonlarda bahsetmiştik şu anda dönüşümlerden bahsediyoruz ama aslında bunlar aynı şeyler ve başladığımız gibi devam etmek istiyorum Evet diyelim ki elimizde Tenin tersi adında bir dönüşüm var Tenin tersi ve tenin bileşkesi tanım kümesindeki birim dönüşümü eşit Buna ek olarak t ile Tenin tersinin bileşkesi de değer kümesindeki birim dönüşüme eşit olacak işte böyle bunun neye benzediğini görmek için isterseniz şu tanım ve değer kümelerini de hemen bir çizim size Evet tanım kümesi de değer kümesi Dere üzeri en olacak öyle değil tanım kümesinden bir vektör alıp de dönüşümünü uyguladığımızda değ bu Nesine gideriz buna bir de Tenin tersini uygularsak aynı 2x geri döneriz bakın önce teyiz sonra da Tenin tersini uyguladık ve başladığımız yere geri döndük Bu da birim dönüşümün ta kendisidir Evet şöyle göstereyim Bu da değer kümesinde iken önce ters dönüşümü uygulayıp sonra da dönüşüm uyguladığımızda değer kümesindeki noktaya geri dönmek anlamına da gelir bu da değer kümesindeki birim dönüşüme eşittir Bu örnekte tanım ve değer kümeleri aynı küme yani R üzeri en tersine birliğine olduğunu öğrendiğimize göre tersine birliğin koşullarına da bir göz atabiliriz O halde sıra bu soruya geldi bunun doğrusal bir dönüşüm olduğunu biliyoruz Ve aslına bakarsanız bu bunu bir matris olarak gösterebilme önünde koşullarından biridir ya da bir matris vektör çarpımı olarak gösterilebilen herhangi bir dönüşüm Rus bir dönüşümdür evet bu doğrusal dönüşümdür pek ya Tenin tersi doğrusal dönüşüm olmak için gerekli koşulları ne olduğunu da hatırlayalım Tenin doğrusal bir dönüşüm olduğunu biliyoruz te dönüşümünü iki vektöre uyguladığımızda Bunlar X ve Y vektörleri olsun te dönüşümünü bu iki vektörün toplamına uygular isek bir vektörün dönüşümü artı ikinci vektörün dönüşümünü elde ederiz Evet bu koşullardan biridir ve tüm doğrusal dönüşümleri için de geçerlidir tüm doğrusal dönüşümler için doğru olduğunu bildiğimiz ikinci koşulda dönüşümü tanım kümesindeki bir vektörün ölçeklendirilmiş haline uyguladığımızda ölçeklendirme faktörü çarpımı ve görün dönüşümünü elde ederiz Evet doğrusal dönüşümlerin koşulları Bunlar İsterseniz bu koşulların Tenin tersi için de geçerli olup olmadığına bak al var bunun içinde buradaki örnekten yola çıkalım K bileşke Tenin tersinin iki vektörün mesela a ve b vektörlerinin toplamına uygulandığını düşünelim Tenin tersi değer kümesinden tanım kümesi ne doğru bir eşleşmeyi ve burada tanım kümesi de değer kümesi Dere üzeri en dediğim Canon tersi bundan buna bir eşleşme Hemen not edelim değer kümesinden Tanrım kümesine Evet aynı görünüyorlar Belki bu durumda bu neye eşittir Az önce tanımda Pers dönüşümün tanımından bahsediyorum değer kümesindeki dönüşüm olduğunu görmüştük Bunlar Eğer değer kümesinin elemanları ise yani R üzerinin buradan ağartı Bey elde ederiz Neden Çünkü tanıma bağlı olarak tenim tersiyle bileşkesi değer kümesindeki bilim dönüşüme eşit demek istediğim buraya ne koyarsak koyalım isteriz ki Bu elma X ve elmayı elde ederiz Çünkü bu birim dönüşüm Peki bu neye eşit aynı mantığı kullanarak bunun Ağrı uygulanan bilim dönüşüm olduğunu söyleyebiliriz birim dönüşüm yerine de Evet bunu yazıyorum Çünkü bunun birim dönüşümü eşit olduğunu biliyoruz Tenin tersiyle bileşkesine aya uyguladığımızda bunun da birim dönüşümü eşit olduğunu biliyoruz ki bu da Tenin tersi ile bileşkesinin Bey'e uygulanması ile aynı şeydir Evet o halde bunu da bu ikisinin toplamı olarak yazabiliriz aslına bakarsanız yazmamıza gerek yok bu dönüşüm buna eşittir a artı B yetenin tersinin Buna da Tenin uygulanmasının Evet aya Tenin tersinin Buna da Tenin artı Bey'e Tenin tersinin ve buna da Tenin uygulanmasına eşit olduğunu ya biz biliriz size hangisinin kolay geldiğini bilmiyorum ama hangisini değerlendirirsek değerlendirelim Tenin tersiyle bileşkesi gidecek Ve geriye a artı B kalacak Tenin tersiyle bileşkesini aldığımızda burada a kalacak burada da ve demek istediğim bu eşitliğin iki tarafında da geriye a artı B kalacak Tenin doğrusal bir dönüşüm olduğunu da biliyoruz te doğrusal bir dönüşüm seteni Nicky vektörün toplamına uygulanması vektörlere Tenin uygulanmış hallerin toplamına eşittir Öyle değil mi bunun tersini de düşünebiliriz teyi iki farklı vektöre uygularsak vektörlerden biri bu diğeri de bu olsun Evet teyyy bir vektöre uygulayıp bunu tekniğinin uygulandığı bir başka vektörde topluyoruz ve bunun da Tenin bu iki vektörün toplamına uygulanmasına eşit olduğunu da biliyoruz bu Tenin Tenin tersinin Ala uygulanmasına uygulanması ve artı Tenin tersinin be oy kullanması göze biraz karmaşık geliyor ama bunun buna çok benzediğini fark ettiniz değil mi ilksin Tenin tersi aya yeğenin de Tenin tersi Bey'e eşit olduğunu düşünelim böyle yapınca bunların ikisinin ne kadar çok benzediklerini görüyorsunuz diyemem te dönüşümünün bu iki vektörün toplamına uygulanması ve burada date t'nin tersia artı Tenin tersi Bey'e uygulanıyor Anladınız değil mi bu noktaya varabilmek için Canon doğrusal olması koşulunu kullandım peki buradan nasıl devam edebiliriz yazdıklarımı biraz daha kolay Anlaşılır bir şekilde ifade edeyim mesela buradaki Bununla aynı şey Tenin tersi ile bileşkesinin ağartı be uygulanması Tenin bu iki vektöre uygulanmasına eşit hemen yazıyorum Tenin tersia artı Tenin tersi ve şu ana kadar bu noktaya geldik bunun Bu dersi için de geçerli olduğunu buradaki tellerden kurtulur Sak anlayabileceğiniz ve bu tellerden kurtulmanın en iyi yolu da iki tarafın Tenin tersiyle bileşkesini almak bunu bu eşitliğin iki tarafına da Tenin tersi dönüşümün uygulanması olarak düşünebiliriz hadi bakalım Bu tarafın Tenin tersiyle bileşkesi Bu tarafın Tenin tersiyle bileşkesine eşit olacak Neden Çünkü bunların ikisi zaten birbirine eşit ve bir fonksiyona aynı değeri verdiğimizde iki tarafta da aynı şehirde deriz öyle değil Bakalım bunu yapınca sol taraftan elde ediyoruz evet Sizce bu neye eşit şöyle yazayım Tenin tersinin t ile bileşkesinin buna yani a artı B vektörüne Tenin tersinin uygulanmasına eşittir Evet sol tarafta bu var bu kısmı yani Tenin tersinin teyze uygulanmaz bu Tenin tersiyle Tenin bileşkesi olarak yazdım bu da zaten Buradaki ile aynı bu Tenin tersinin TL bileşkesi aynı renkte yazayım Pelin tersiyle Tenin bileşkesinin Yani bu kısmın burada yaptığımızın aynısı Evet bunun buna uygulanmasına eşit Tenin tersinin ağaya uygulanması artı Tenin tersinin Bey'e uygulanması Tenin tersinin tanımına göre bana bunun neye eşit olduğunu söyleyebilir misiniz Bu tanım kümesindeki bilim dönüşüm Öyle değil mi re üzeri endeki birim dönüşüm ve bu da öyle birim dönüşümü neye uygularsak uygulayalım o şeyi elde edeceğimizi de biliyoruz Hemen not ediyorum iki tarafta da yapalım Bu ifadenin sol tarafı t'nin tersinin a ve b vektörlerinin toplamına uygulanmasına sağ tarafı da bu bu dönüşümü eşit olduğundan pen'in tersi Nina vektörüne uygulanması artı Tenin tersinin bebek körüne uygulanmasına eşit olacak ve bu sayede Tenin tersi de doğrusal bir dönüşüm olmanın ilk koşulunu sağlamış oluyor o zaman sırada ikinci koşullar Yine benzer bir şey yapacağız Tenin tersiyle bileşkesini alacağız ve bunu da C çarpı a vektörüne uygulayacağız işte böyle bu R üzeri endeki birim dönüşüm olduğu için bunun sonucu olarak da C çarpı a elde edeceğimizi biliyoruz Peki anneye eşit veya nasıl yazabilirim Evet bundan bahsediyorum Şöyle kenara yazayım ama vektörünün Tenin tersi ile bileşkesinin a vektörüne uygulanması olduğunu söyleyebiliriz Öyle değil mi Neden diyecek olursanız bunun da birim dönüşüm eşit olduğuna dikkatinizi çekmek isterim bu durumda da o c çarpı Tenin tersi ile bileşkesinin A'ya uygulanması olarak ifade edebiliriz isterseniz bileşke iyi diğer şeklinde yazabiliriz Evet sol tarafı tetenin tersi c a olarak yazalım ve bu da buna eşit ve şimdi de bunu benzer şekilde yazacağım ya nice çarpı Tenin Tenin tersine bunun da aya uygulanması bileşkenin de tanımı budur zaten şimdi te doğrusal bir dönüşüm öyle değil demek istediğim C çarpı T çarpı bir vektörü değerlendirdiğimizde bu ten ince Çarpı x uygulanmasına eşittir dönüşümdeki koşullarımız dan biri buydu ve T söz konusu olduğunda bu her zaman geçerli olacak bu te uyguladığımız bir vektör ve bu da bir skaler Tenin doğrusal bir dönüşüm olduğunu bildiğimiz için bunu Tenin c ç bu Tenin tersi ninaya uygulanmasına uygulanması olarak yazabiliriz Peki ya şimdi iki tarafa da Tenin tersine uygulayalım baştan yazacağım Tenin ters inince çarpı A'ya uygulanması buradan elde edeceğimize de telin uygulanması ten ince çarpı Tenin tersi aya uygulanmasına eşit ve eğer bu tellerden kurtulabilir Seki bunu yapmanın en iyi yolu da iki tarafa Tenin tersini uygulamaktır e Hemen yapalım Evet iki tarafa da Tenin tersini uygulayalım şöyle yazıyorum Tenin tersinin TL bileşkesinin Tenin ters inince çarpı A'ya uygulanması Evet sol tarafı bu şekilde yeniden yazdım ve bu ikisini de bileşke gösterimini kullanarak bu hale getirdim sağ tarafta da benzer bir şey yapacağız Canon tersinin t ile bileşkesi a b c çarpı telin tersinin aya uygulanmasına uygulanması ne yaptım anladığınızdan emin olmak istiyorum Bu buna eşit bu ise buna ve bileşkeleri de bu şekilde yazdım Bunu yapmamın sebebi bunun birim dönüşüm olduğunu bilmemiz Evet bu ve bu R üzerindeki bilim dönüşümü eşit ve birim dönüşümü neye uygularsak uygulayalım o şey elde ederiz Bu sayede Tenin ters inince çarpı A'ya uygulanmasının buna ya nice çarpı Tenin tersinin Ağa vektörüne uygulanmasına eşit olduğunu bulmuş olduk ve bu daha doğrusal olmanın ikinci koşulunda sağlandığı anlamına geliyor birinci koşulu burada sağlamıştır Bu arada iki koşulun onun için de geçerli olduğunu ispatlamak adına Tenin doğrusal olduğundan yola çıktığımızda hem Melek bu istiyorum O halde te Eğer doğrusal bir dönüşüm SV tersinir ST nin tersi de doğrusal bir dönüşüm olur diyebilirim bu son derece basit görünen Detay Aslında çok çok önemli bir et neden diyecek olursanız Tenin tersinin bir matris vektör çarpımı olarak ifade edilebileceğini biliyoruz da ondan Tenin tersini bir vektöre uygularsak bunu bir matris leixen çarpımı olarak ifade edebiliyoruz ve bu matriste anın tersinin matrisi bum adresi nasıl oluşturabileceğimiz henüz tanımlama dım ama te doğrusal bir dönüşüm olduğu için artık bunun var olduğunu biliyor şimdi gelin biraz daha ileriye gidelim tersine birliğin tanımına dayalı olarak Tenin tersinin t ile bileşkesinin R üzerindeki bilim dönüşümü eşit olduğunu biliyoruz size şöyle anlatayım t Ya sen açar x eşit olduğunu biliyoruz Tenin tersinin TL bileşkesini alırsak ve bunu bir vektöre uygularsak önce Ağa Çarpı x Bu arada bahsettiğim Ada buradaki a sonra buna bir de anın tersini uygulayacağız işte böyle bu bileşkeye aldığımızda Sonuç olarak karşımıza çıkan iki dönüşümün dönüşüm adresi bir matris matris çarpımına eşit bunu çok uzun zaman önce görmüştük Hatta matris matris çarpımı nın tanımının arkasında yatan mantıkta buydu ama İlginç olan bu bileşke Eğer buna eşitse aynı zamanda R üzeri endeki birim dönüşümün x vektörüne uygulanmasına ve birim matris inxile çarpımına eşittir Doğru değil mi Bu en bir matris tir ve bunu neyle çarparsanız Çarpın yine o şeyi elde edersiniz ilginç binanın tersinin aile çarpı bu maddesi eşit anın tersi ya da technion tersinin matris dönüşümünü Tenin matris dönüşümüyle çarptığımızda biri matrisi elde ediyoruz bu argümanın tersi de doğru demek istediğim Eğer bunun doğru olduğunu biliyor isek tersin ya da tersine bildiğin diğer tanımına bağlı olarak yani Tenin Tenin tersiyle bileşkesinin değer kümesindeki birim dönüşüme eşit olmasından yola çıkarak He bu da R üzerinde olacak Evet buna bağlı olarak önce Tenin tersini sonra teyze uyguladığımızda önce Tenin tersini sonra teyze uygulayacağız 1x vektörüne bu XL eneen biri matrisini çarpmakta aynı şey olacak sırasını değiştirirsek Ağa çarpı anın tersi de biri matrise eşit olur bu sonuçta son derece faydalı bir şey çünkü matris Madrid çarpımların da matrisleri bu Yarını değiştirdiğimizde her zaman aynı sonucu elde edemeyeceğimizi biliyoruz ama tersine bilir bir matris ve tersi söz konusu olduğunda bu sorun değil anın tersi çarp Ağa yada ağaç arpanın tersi ikisinin de sonucu birim adres bu noktaya geldikten sonra sırada bunu nasıl oluşturacağımız var bunun var olduğunu ve tersinde doğrusal bir dönüşüm olduğunu artık biliyoruz bunu dönüşüm maddesiyle çarptığımızda birim adresi elde ediyoruz evet sırada bunu nasıl oluşturacağımız var bu