im(T): Dönüşümün Görüntüsü

bu elimizde R üzeri en de bir alt uzay olan bir ve kümesi olduğunu düşünelim Bunun ne anlama geldiğini hatırlıyorsunuz değil mi bu R üzerinin herhangi bir alt kümesi ve eğer Bunun iki elemanını alırsam bunlara vb olsun Evet bu ikisi alt uzayın elemanları olacaklar bunun 16 uzay olmasına bağlı olarak bu iki vektörün toplamını aldığımız da not edeyim a artı B de alt uzağımızda olur bu toplamaya göre kapalı olma anlamına geliyor bu bir alt uzay olduğu için alt uzayın herhangi bir elemanını bir skalerle çarptığımızda da bu ikisi alt uzayın elemanı olacak bunlardan birini Örneğin ağrıyı alıp biz kalelerle çarparsam bunun da alt uzayın bir elemanı olacağını biliyoruz Buna da skaler bu göre kapalı olma evet evet böyle denir belki gereksiz bir ifade olacak ama ve sıfır Görünürde içermek zorunda bu tüm alt uzaylar için doğrudur şöyle yazayım sıfır vektörü wayne'in bir elemanıdır VR üzerinin bir alt uzayı olduğu için 0 vektörünün en tane bileşeni olacak Az önce gereksiz dememin sebebi bu vektörlerin Herhangi bir katı da eğer wee'nin elemanı ise skaler i0 eşit diyebiliriz Öyle değil mi başka bir değişle bu ifade zaten bunu da anlatıyor Ama birçok ders kitabında sıfır vektörünün wee'nin elemanı olması gerektiği de verilir ama skaler çarpımı na göre kapalı olmak demek zaten bunu hesaba katan bir ifade Anlaştık mı Bunu söylemeye çalıştım Şimdi bir de bir te dönüşümüz olduğunu düşünelim bu daire üzeri enden R üzeri e mehbir eşleşme yapıyor olsun ve bu videoda üzerinde durmak istediğim konu şimdi burada bir alt uzay var ve Evet ben alt uzayın dönüşümünün buna ne ad vermiştik alt uzayın görüntüsü demişti dönüşümdeki Ve nin görüntüsü olarak da not ediyorum Son videoda gözünüzün önüne getirmenize yardımcı olmak amacı ile R üzeri enin buna benzeyen bir alt kümesi olduğunu söylemiştik buna benzeyen bir üçgende Evet bu R üzeri en de hatta rekare değdi buna benzeyen bir üçgen vardı Ve bunun te dönüşümündeki görüntüsünü bulmuştuk R kâr eden R Kariye gitmiştik ve dönüşümü uygulamıştı Sonuç olarak buna benzeyen bir şey elde etmiştik eğer doğru hatırlıyorsan aslına bakarsanız Tam da hatırlamıyorum ama sanırım onun gibi hafif çarpık bir üçgen elde etmiştik tam olarak böyle miydi Bilmiyorum galiba böyleydi Evet azıcık sağa çarptık bir üçgende Ama bu noktada bir ön Bu videoda tam olarak neler olup bittiğini çok da önemli değil Burada Önemli olan dönüşümdeki bir görüntünün ne anlama geldiğini anlamanız R Karenin bir alt kümesini alıyoruz Bunlar buradaki üçgeni tanımlayan vektörler ve az önce de söylediğim gibi renk ailenin bir alt kümesi hepsini dönüştürdüğümüz de görüntü kümesinde bir alt küme elde ediyordum Öyle değil mi buna görüntü diyebiliriz Çünkü bu üçgenin dönüşümü Şimdilik buna s diyelim s dönüşümüne eşittir bunun sekmesinden bahsediyorum Ama eğer gözünüzün önüne gelebilmesi açısından daha rahat olacaksa bunun te dönüşümündeki üçgenin görüntüsü olduğunu da düşünebilirsiniz ya da buradaki çarpık üçgenin bu dik açılı üçgenin te dönüşümündeki görüntüsü de diyebiliriz Evet sanırım en açığı bu Bu arada bundan önceki videoda bu üçgenler alt uzay değillerdir Bu üçgenin elemanı olan baz o gözlerin skaler katlarını aldığımızda bunların bu üçgenin elemanları olmadıklarını görüyorduk başka bir deyişle bu 16 Uzay değil R Karenin bir alt kümesi idi tüm alt kümeler alt uzay değildir ama tüm alt uzaylar kesinlikle alt kümedir bazı şeyler kendilerinin alt kümesi olabilirler tabi konudan da çok uzaklaşmak istemiyorum Neyse ama tüm bunlar size görüntünün ne anlama geldiği hakkında daha iyi bir bilgi veriyor olabilir al kümenin elemanlarından eşleşen tüm vektörler Şimdi biz de te dönüşümündeki beğenin görüntüsünün bir alt uzay olup olmadığına bakacağız 16 uzay olmak için bir dönüşüm alırsak ya da bundan önce tenini ki elemanını bulalım wayne'in herhangi bir elemanın dönüşümünü alırsak görüntünün elemanlarını elde ederiz Öyle değil mi Hemen not ediyorum anın dönüşümü ve beğenin dönüşümü te dönüşüm bu wayne'in görüntüsünün elemanlarıdır Evet bunların ikisi de bunun elemanıdır bu durumda bana anın dönüşümü artı beğenin dönüşümünün neye eşit olduğunu söyleyebilir misiniz Bunlar te dönüşümündeki wayne'in görüntüsünün 2 rastgele elemanı bunate büyük ve dersem daha iyi olacak Evet Sizce bu neye eşittir doğrusal dönüşüm özelliklerinden yola çıkarak iki vektörün dönüşümünün toplamı vektörlerin toplamının dönüşümüne eşittir diyeceğiz Evet peki bu yani artı beğenin dönüşümü TV'nin yani görüntünün bir elemanım Iğdır'a artı bebeğin bir eleman mıydı ve görüntü ve nin tüm elemanlarının dönüşümlerini içeriyor yani görüntü bunun dönüşümünü de içerir a artı B devenin bir elemanı wee'nin bir elemanın dönüşümü de tanım gereği tr dönüşümünde O benim görüntüsünün bir elemanıdır Evet bu kesinlikle doğrudur şimdi sıradaki soru geliyor te dönüşümündeki wayne'in görüntüsünün bir elemanın skaler bir katını alırsam Evet bu neye eşit olur doğrusal dönüşümlerin tanımına bağlı olarak bu skalerle vektörün çarpımının dönüşümüne eşittir Peki Sizce bu te dönüşümündeki wayne'in görüntüsünün bir elemanı mıdır C çarpanın wayne'in elemanı olduğunu biliyoruz Öyle değil bu doğrudan alt uzay tanımından Geliyor evet bu kesinlikle beğenin elemanıdır ve eğer bu beğenin bir elemanı ise dönüşümü de te dönüşümündeki wayne'in görüntüsünün bir elemanıdır Bu da wayne'in bir elemanı onu sıfır eşitleyin c0 vektörünün devenin bir eleman olduğunu buluruz buraya sıfır koyarsanız sıfır vektörün elde edersiniz Bu ne olursa olsun sıfırla çarpınca sıfır bekliyorum elde ederiz ve bu durum bu sektörde beğendim Bir elemanım Bu da te dönüşümündeki wayne'in görüntüsünün bir alt uzay olduğu sonucunu getirir bu ileride işimize yarayacak son derece faydalı bir özellik bu noktada şu ana kadar çalıştığımız Herşey ve Örneğin de alt uzay üçgen Örneğin dedeal kümedir pekte dönüşümündeki R üzeri enin görüntüsünü alırsak ne olur bu te dönüşümündeki R üzeri enin görüntüsüdür aynı biraz düşünelim R üzerinin herhangi bir elemanını aldığımızda tüm vektörlerin kümesine olur sonra dar üzeri enin tüm elemanlarının dönüşümünü alacağız Bunu hemen not edeyim bu tüm ilk seslerin dönüşümlerinin kümesine eşittir Bu arada ilk Serindere üzeri enin elemanı olduğunu not ediyorum Evet R üzeri en elemanlarının hepsini tek tek dönüştürdüğümüz de bu yeni kümeyi elde etmiş oluruz ve bu te dönüşümündeki R üzeri enin görüntüsüdür Bunu farklı şekillerde düşünebiliriz TR üzeri enden R üzeri em1 eşleşmedi bu durumda bu tanım kümesi olur ve dönüşüme tüm olası girdi değerleri buradan gelir Evet tanım kümesi bu ise görüntü kümesidir görüntü kümesinin dönüşüm ya da fonksiyonun tanımının bir parçası olduğunu ve eşleşmenin gerçekleştiği uzay olduğunu hatırlıyorsunuz değil mi Kısacası eşleşmeler in hepsi olmayabilir mesela t dönüşümündeki r üzeri enin görüntü süre üzeri Emin hepsi ya da bir alt kümesi olabilir Bundan ilk videoda bahsetmiştik ders kitaplarında hiç rastlamadım aslına bakarsanız benim incelediğim doğrusal Cebir kitapları dersem daha doğru olur evet bu şekilde hiç bahsedilmemiş Ama bunun Canon görüntü kümesi olduğunu da düşünebiliriz bunlar bu eşleştirildiği R üzeri Emin elemanlarıdır te dönüşümündeki R üzeri enin görüntüsünü ele alırsak isterseniz şöyle anlatayım R üzeri Emin buna benzediğini düşünelim her yöne ilerliyor olacak R üzeri enide çizelim Evet Tenin RZ lienden R üzeri em1 eşleşme yaptığını biliyoruz R üzeri enin tüm elemanlarını alıp R üzeri Emre eşleştir dinimizde R üzeri Emin bir alt kümesini elde ettiğimizi düşünelim bu al kümede buna benzeyen bir şey olsun düzgün bir çizim yapmaya çalışıyorum Buradaki tüm noktaları eşleştiriyor duk ve eşleşme buradaki elemanların biriyle gerçekleşiyor Buradakilerin Buradakilerin eşleşmesi olduğunu düşünebiliriz ve hepsini eşleştirir sake buradaki alt kümeyi elde ediyoruz Anlaştık mı Bu alkü Mete dönüş bu fikire üzeri enin görüntüsüdür doğrusal Cebir de Pek sık karşılaştığımız bir terminoloji olmamasına rağmen bundan görüntü kümesi olarak da bahsedebiliriz evet Tenin görüntü kümesi bunun özel bir adı da var kafanızın karışmasını istemiyorum Ama buna Tenin görüntüsü adı verilir Evet Tenin görüntüsü Bu biraz kafanızı karıştırmış Olabilir Zaman zaman inte olarak yazıldığını da görebilirsiniz imeche eden geliyor daha önce al kümelerden bahsederken te dönüşümündeki R alt kümesinin görüntüsü demiştik ve eğer söz konusu olan bir alt küme ise bu doğru bir terminoloji dir ama bir anda en boyutlu Bir Uzay değerlendirmeye alıp bunun görüntüsünü bulursak bu dönüşümün görüntüsü olur O halde buradaki al kümeye DT nin görüntüsü adını verebiliriz Belki bu ne anlama gelir TR üzerine bu üzere Arman aslında bir eşleşme yapıyordu o halde teksi ya da herhangi bir doğrusal dönüşümü bir matris ve bir vektör çarpımı olarak ifade edebiliriz bu vektörlere üzeri en elemanları olacaklar Belki bu nedir farklı şekillerde yazayım p dönüşümündeki ve üzeri enin görüntüsünü şöyle yazayım TR üzeri en ya da Tenin görüntüsü Evet böyle yazabiliriz bu Herhangi bir dönüşümde değil Çünkü dönüşümün kendisinden bahsediyoruz imte olarak da ekliyorum Peki ya bunlar neye eşittir Bu tüm ilk dönüşümlerinin kümesine eşittir ikisinin dönüşümleri değil X'in R üzeri enin bir elemanı olduğu AKSE eşit olacak bu durumda Eksen boyutlu olur ve elemanların hepsi de reel sayıdır Bu nedir desem ne dersiniz hemen ama Ne yazalım birkaç tane sütün vektörü yazacağım a1 a2 bunlarda en tane Yani en tane sütünü olacak Buna göre de a çarpı herhangi bir x bunu R üzeri enine elemanı olan ilk sizlerle çarpmaktan bahsediyorum Xperia X2 böyle böyle iste ne kadar devam edecek Onu daha önce defalarca görmüştük ve bu çarpımın sonucu skaler olan ix1 çarpa bir artık S2 çarpa A2 artı nokta nokta nokta ilk sen çarpı a e n eşittir ikisinin Reis Ören'deki herhangi bir bekler olduğu bu sütün vektörlerinin toplam kümesini bulmak istiyordun Öyle değil mi ilksin elemanları bu durumda sadece reel skaler değerler alabilirler bu durumda bunların kümesi de anın tüm sütunlarının tüm doğrusal kombinasyonlarına eşittir Bunu Bunlar herhangi bir diğer alabilecekleri için söylüyorum pek ne ya bu ne ya eşittir Bu da daha önce de gördüğümüz gibi ya da Fikri size İlk tanıdığında bundan da kısaca bahsetmiştim Bu anın sütün uzayına eşittir Bunu zaman zaman c a olarak da gösteririz Evet bu oldukça faydalı bir sonuçtur neredeyse kendiliğinden de anlaşılıyor diyeceğim ama herhangi bir doğrusal dönüşümü Evet bir matris vektör çarpımı olarak gösterebiliriz herhangi bir doğrusal dönüşümün görüntüsü de ya da görüntü kümesinin alt kümesi tanım kümesindeki elemanların hepsini görüntü kümesiyle eşleştirildiği nizde dönüşümün görüntüsünü elde etmiş olursunuz bu dönüşümü gösterebileceğiniz maddesi sütün uzayına eşittir sütün uzayıda matrisin tüm sütun vektörlerinin kapsamı oluyordu sütün rektörlerinin kapsamı ya da tüm doğrusal kombinasyonları Tam da burada yaptığımız gibi um Ben size bunu ilgi çekici bulmuşsunuz dur ve bu sonuçları ileride kullanabilirsiniz