Ana içerik

Konu: Cebirin Temelleri > Ünite 7

Ders 6: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım 2

Gruplama Yöntemiyle Çarpanlarına Ayıralım

"Gruplama" olarak adlandırılan çarpanlarına ayırma yöntemini, örneğin, 2x²+8x+3x+12'yi (2x+3)(x+4) olarak çarpanlarına ayırmak için gruplamayı nasıl kullanabileceğimizi öğrenelim.

Bu ders için bilmeniz gerekenler

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.

Şimdiye kadar, çarpanlara ayırmaya ilişkin pek çok örnek gördük. Bununla birlikte, bu makale için özellikle dağılma özelliğini kullanarak ortak çarpanları bulma konusunu iyi biliyor olmalısınız. Örneğin,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, gruplama adı verilen bir çarpanlara ayırma yönteminin nasıl kullanılacağını öğreneceğiz.

Örnek 1: $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍'yi çarpanlarına ayırma

Önce,

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

'de tüm terimlerde ortak olan bir çarpan olmadığına dikkat edin. Bununla birlikte, eğer ilk iki terimi ve son iki terimi gruplarsak, her grubun kendi EBOB'u veya en büyük ortak böleni olur:

İlk gruplamada

2 x

EBOB'u ve ikinci gruplamada

3

EBOB'u vardır. Bu çarpanları dışarı alarak, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

2 x

çarpanını

2 x^{2} + 8 x

'ten ayırabilmek için, her terimi

2 x

ile bölebiliriz:

Birinci terim budur: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
İkinci terim budur: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Buna göre,

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

3

çarpanını

3 x + 12

'den ayırabilmek için, her terimi

3

ile böleriz:

Birinci terim budur: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
İkinci terim budur: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Buna göre,

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Buna göre,

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

'tür. Hızlı bir çarpma yapmak, ortak çarpanların doğru şekilde parantezin dışına alınmış olduğunu doğrulamanızı sağlar.

Bunun iki terim arasındaki başka bir ortak çarpanı açığa çıkardığına dikkat edin:

x + 4

. Dağılma özelliğini kullanarak, bu ortak çarpanı parantezin başına alabiliriz.

Polinom artık iki iki terimlinin çarpımı olarak ifade edilmiş olduğundan, çarpanlarına ayrılmış formdadır. Yaptıklarımızı, çarparak ve orijinal polinomla karşılaştırarak kontrol edebiliriz.

Örnek 2: $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍'i çarpanlarına ayırma

Yukarıda başka bir polinomu çarpanlara ayırarak ne yapıldığını özetleyelim.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Terimleri gruplayın \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & EBOB’ları parantezin dışına alın \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Ortak bölen! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & x + 2 çarpanını parantezin dışına alın \end{aligned}

Çarpanlarına ayrılmış formu

(x + 2) (3 x + 4)

'tür.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

2) $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍'ü çarpanlarına ayırın.

3) $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍'ü çarpanlarına ayırın.

Örnek 3: $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍'i çarpanlarına ayırma

Katsayıları negatif olan bir polinomu çarpanlara ayırırken gruplama yöntemini kullanırken çok dikkateli olmalıyız.

Örneğin,

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

'i çarpanlara ayırmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir.

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Terimleri gruplayın \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & EBOB’ları parantezin dışına alın \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Sadeleştirin \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Ortak bölen! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & x - 2 çarpanını parantezin dışına alın \end{aligned}

Polinomun çarpanlarına ayrılmış formu

(x - 2) (3 x - 4)

'tür. Yaptıklarımızı kontrol etmek için iki terimlileri çarpabiliriz.

Yukarıdaki adımlardan bazıları ilk örnekte gördüğünüzden farklı gözükebilir ve dolayısıyla bazı sorularınız olabilir.

Gruplar arasındaki "+" işareti nereden geldi?

Adım

(1)

'de,

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

gruplarının arasına bir "+" işareti eklenmişti. Bunun nedeni üçüncü terimin

(- 4 x)

negatif olmasıdır ve terimin işareti gruplamaya dahil edilmelidir.

İkinci gruplamanın başındaki eksi işaretini korumak dikkat gerektirir. Örneğin, sık yapılan bir hata

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

şeklinde gruplamaktır. Ancak,

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

şeklinde sadeleşen bu gruplama, orijinal ifadeyle aynı değildir.

Neden $4$ ‍ yerine $- 4$ ‍ çarpanını dışarı aldık?

Adım

(2)

'de, terimler arasındaki

(x - 2)

ortak çarpanını açığa çıkarmak için bir

- 4

çarpanını dışarı aldık. Eğer bunun yerine bir pozitif

4

çarpanını parantezin dışına almış olsaydık, yukarıda görülen iki terimli ortak çarpanı elde etmeyecektik:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Bir gruptaki başkatsayı negatif olduğunda, genelde negatif bir ortak çarpanı parantezin dışına almamız gerekir.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍'yı çarpanlarına ayırın.

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 \\ = (2 x^{2} - 3 x) + (- 4 x + 6) & Terimleri gruplayın \\ = x (2 x - 3) + (- 2) (2 x - 3) & EBOB’ları parantezin dışına alın \\ 2 . gruptan - 2 çarpanını ayırın \\ since leading term negative. \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Sadeleştirin \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Ortak bölen! \\ = (2 x - 3) (x - 2) & 2 x - 3 çarpanını parantezin dışına alın \end{aligned}

Çarpanlarına ayrılmış formu

(2 x - 3) (x - 2)

'dir.

5) $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍'u çarpanlarına ayırın.

6) $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍'yi çarpanlarına ayırın.

Zor problem

7*) $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

Gruplama yöntemini ne zaman kullanabiliriz?

Gruplamalar arasında ortak bir çarpan olduğunda, polinomları çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemi kullanılabilir.

Örneğin,

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

'yı çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz, çünkü bu aşağıdaki gibi yazılabilir:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Ancak

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

'yi çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanamayız, çünkü bu gruplamaların her ikisinden EBOB'u parantezin dışına almak ortak bir çarpan vermez!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Üç terimlileri çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanma

Ayrıca,

2 x^{2} + 7 x + 3

gibi belirli üç terimlileri çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanabilirsiniz. Bunun nedeni, ifadeyi aşağıdaki gibi tekrar yazabilmemizdir:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Daha sonra,

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

'ü gruplama yöntemini kullanarak

(x + 3) (2 x + 1)

şeklinde çarpanlara ayırırız.

Bunlar gibi üç terimlileri gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırma hakkında daha fazla bilgi için, sonraki makaleyi okumanızı öneririz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebirin Temelleri

Konu: Cebirin Temelleri > Ünite 7

Bu ders için bilmeniz gerekenler

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Örnek 1: 2x2+8x+3x+12‍ 'yi çarpanlarına ayırma

Örnek 2: 3x2+6x+4x+8‍ 'i çarpanlarına ayırma

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Örnek 3: 3x2−6x−4x+8‍ 'i çarpanlarına ayırma

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Zor problem

Gruplama yöntemini ne zaman kullanabiliriz?

Üç terimlileri çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanma

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍'yi çarpanlarına ayırma

Örnek 2: $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍'i çarpanlarına ayırma

Örnek 3: $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍'i çarpanlarına ayırma