Çözümlü Örnek: İki Noktadan Eğimi Bulalım

(4,2) ve (eksi3,16) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. Bir hatırlatma yapacak olursak, eğim, yükselme bölü ilerlemeye eşittir. Yükselme y deki değişimdir. İlerleme ise x deki değişimdir. Üçgenler delta sembolüdür ve "değişim" anlamına gelir. Formulü daha farklı bir şekilde de ele alabilirsiniz ama bu biraz karışıktır. Ama sadece şu iki şeyi unutmayın. Bazen eğim "m" sembolü ile gösterilir ve m, yani eğim aynı şeydir. y2 eksi y1, bölü, x2 eksi x1 şeklinde yazılabilir. Bu gösterim daha da karışıktır ama, sadace y deki bitiş noktasından, y deki başlangıç noktasını çıkardığımızı, Ki bu size, y deki değişimi verir Ve x deki bitiş noktasından, x deki başlangıç noktasını çıkardığımızı gösterir. Bu da size x deki değişimi verir. Bu gösterimlerin hangisi size kolay geliyorsa onu kullanın. Şimdi bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulalım. Şöyle başlayabiliriz. Aslında her iki türlü de yapabiliriz. Bu noktadan başlayıp(4,2), şu noktaya (- 3, 16) giderek de eğimi hesaplayabiliriz. Ya da şu noktadan ( - 3, 16 ) başlayıp, bu noktaya (4,2) giderek de eğimi bulabiliriz. Fark etmez. Şimdi ikisini de yapalım. Diyelim ki başlangıç noktamız (4,2) Bitiş noktamız da,(eksi 3,16) X deki değişim nedir? Bu durumda x deki değişim ne? Bu durumda 4'ten eksi 3'e gidiyoruz. Eğer 4'ten eksi 3'e gidiyorsak değişim nedir? Peki, 0'a ulaşmak için 4 birim, 4 birim sola gittik, değil mi? Sonra eksi 3'e gitmek için 3 birim daha sola gittik. Yani x'deki değişim eksi 7'dir. Bunu şöyle yazalım: X'deki değişim eksi 3, eksi 4, bu da eksi 7'ye eşittir. Eğer bir şey eksi 3'ten 4'e gidiyorsa, eksi 7 birim hareket etmiştir. X'deki değişim eksi 7'dir. Şimdi aynı şeyi y'deki değişim için yapalım. y'deki değişim için yapalım. Ve fark ederseniz dolaylı yoldan bu formülü kullanmış oldum. X'deki değişimimiz bu değer, x'deki bitiş noktası, eksi, x'deki bitiş noktası, x'deki başlangı noktasına eşit oldu. Aynı şeyi y'deki değişim için de yapalım. Y'deki değişim şudur: Eğer bir şey 2'den başlayıp, 16'ya gidiyorsa 14 birim hareket etmiş demektir. Bunu şöyle de söyleyebilirsiniz. Y'deki bitiş noktasından, y'deki başlangıç noktasını çıkarın. Sonuç 14'tür. Y'deki bitiş noktasından, Yani buradaki eğim nedir? Peki onu bulacaktık. Eğim y'deki değişim bölü x'deki değişimdir. Y'deki değişimimiz 14'tür. X'deki değişimimiz ise eksi 7'dir. 14 bölü eksi 7, o da eksi 2'ye eşittir. Eğimimiz eksi 2'imiş o da eksi 2'ye eşittir. Şimdi, diğer türlü nasıl yapacağımızı görelim. Bunu başlangıç noktası, bunu ise bitiş noktası da yapabilirdik. Ve elimizde buradakilerin negatif değerlerini elde ederdik. Ama bunlar birbirini yine sadeleştirirdi. Ve cevap yine eksi 2 olurdu. Deneyelim. Diyelim ki başlangıç noktamız, ( eksi 3,16) ve bitiş noktamız da, (4,2). Bu durumda x'deki değişim nedir? X'deki değişim ne olur? Eğer bir şey eksi 3'ten 4'e gidiyorsa, 7 ilerlemiştir değil mi? Hesaplarsak 4 eksi ( eksi 3), eşittir 7. Yani 7 birim ilerledik. Peki y'deki değişim nedir? Y'deki değişim, diğer bir deyişle "yükseliş" , yükselişimiz ne olacak ? Peki, 16'dan başlayıp, 2'ye giderse, yine 14 birim hareket etmiş olur. 2 eksi 16, eşittir, eksi 14'de diyebiliriz. 14 birim yükseldik. Değil mi? Bu bizim yükselişimiz. Yükseliş bölü ilerleme, y'deki değişim bölü x'deki değişim ile aynı şey. Yükselişimiz eksi14 ve ilerlememiz 7. Ve fark ederseniz bunlar şuradaki değerlerin negatif halleri. İşaretleri değiştirdik. Bunun sonucu yine eksi 2. Şimdi bunu görselleştirelim. Böylece aşağı doğru bir eğimi olan doğrunun grafiğini göreceksiniz. Şuraya iki nokta çizelim. Bu benim y, Bu da x koordinatım. (4,2)'yi grafiğe yerleştirelim. 16'ya kadar da gideceğiz. 1, 2, 3, 4 virgül, virgül 2, 1, 2. evet, (4,2) burada oluyormuş. Ve diğer noktamız (eksi 3,16) var. Onu da şöyle yerleştireceğiz. eksi 1, eksi 2, eksi 3 Şimdi de 16'ya kadar gideceğiz. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, Evet, tam olarak buraya denk geliyormuş. Burası da, (-3,16). Bu iki nokta arasındaki doğru böyle bir şey olacaktır. Mümkün olduğunca da düz bir çizgi çekmeye çalışacalım. Evet bu doğru tabi devam edecektir. Evet, ve aşağı eğime dikkat edin, aşağı eğim. X'de ilerledikçe doğru, aşağı doğru iniyor. Sol yukarıdan sağ aşağıya doğru gidiyor. Yani x büyüdükçe, y küçülüyor. Aşağı eğimi olan bir doğru böyle görünür. Burada hesapladığımız, x'deki değişim ile y'deki değişimi görselleştirmiş olduk. (4,2) den başlayıp (-3,16) ya gitmek buradan başlayıp şurada bitirmek ile aynı şeydi. Ve x'deki değişimin eksi 7 olduğunu söyledik. yani sola doğru bir ilerleyişimiz var. Sola doğru 7 birim gittik. Bu nedenle eksi 7 oluyor. Daha sonra y ekseninde pozitif yönde 14 birim gittik. Bu nedenle yükselişimiz pozitif. Yani 14 bölü eksi 7, eşittir eksi 2. Diğer türlü yaptığımızda bu noktadan başladık ve bu noktada bitirdik. (-3,16) dan başladık ve şu noktada bitirdik. O durumda ilerleyişimiz pozitif 7 idi. (-3,16) dan başladık ve şu noktada bitirdik. Ve y ekseninde aşağı doğru inmemiz gerekti çünkü, başlangıç ve bitiş noktalarının yerlerini değiştirdik. Bu durumda aşağıya 14 birim indik. İlerlememiz pozitif 7 yükselişimiz ise negatif 14 oldu. Her iki şekilde de aynı eğimi bulduk.