Ana içerik

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Ders 1: Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim

Rasyonel İfadeler

Rasyonel ifadelerin ne olduğunu ve hangi değerler için tanımsız olduklarını öğrenelim.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu derste rasyonel ifadelerle tanışacaksınız. Bir rasyonel ifadenin ne zaman tanımsız olduğunu belirlemeyi ve bunun tanım kümesini bulmayı öğreneceksiniz.

Rasyonel ifade nedir?

Bir polinom

x

'in tamsayı kuvvetlerini içeren terimlerin toplamını içeren bir ifadedir, örneğin

3 x^{2} - 6 x - 1

Bir rasyonel ifade, iki polinomun bir bölümüdür. Başka şekilde ifade edersek, payı ve paydası polinom olan bir kesirdir.

Bunlar rasyonel ifadelere örnektir:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Payın bir sabit olabileceğini ve polinomlarım çeşitli derecelerden ve çeşitli formlarda olabileceğini hatırlayın.

Rasyonel ifadler ve tanımsız değerler

\frac{2 x + 3}{x - 2}

rasyonel ifadesini düşünün.

Bu ifadenin belirli

x

değerleri için değerini belirleyebiliriz. Örneğin, bu ifadenin

x = 1

için değerini bulalım.

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Buradan, ifadenin

x = 1

'deki değerinin

- 5

olduğunu görüyoruz.

Şimdi, ifadenin

x = 2

'deki değerini bulalım.

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = tanımsız! \end{aligned}$ ‍

Girdi

2

olduğunda, payda

0

olur.

0

ile bölmek tanımsız olduğundan, bu ifade için

x = 2

olası bir girdi değildir!

Rasyonel ifadelerin tanım kümesi

Herhangi bir ifadenin tanım kümesi, tüm olası girdilerin kümesidir.

Rasyonel ifadeler söz konusu olduğunda, paydayı sıfıra eşit kılanlar hariç girdi olarak herhangi bir değeri kullanabiliriz (zira

0

ile bölme tanımsızdır).

Başka şekilde ifade edersek, bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, paydayı sıfıra eşit kılanlar hariç tüm gerçek sayıları içerir.

Örnek: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍'ün tanım kümesini bulma

Paydayı sıfıra eşitleyen değerleri bulalım ve sonra bunları kısıtlayalım:

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 veya x + 4 = 0 & Sıfırla çarpım özelliği \\ x = 3 veya x = - 4 & x ’i bulun \end{aligned}$ ‍

Buna göre, tanım kümesinin * $3$ ‍ ve $-4$ ‍ hariç tüm gerçek sayılar veya basitçe

x \neq 3, - 4

olduğunu yazarız.

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

1) $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍'nin tanım kümesi nedir?

2) $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍'in tanım kümesi nedir?

Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, paydayı sıfıra eşitleyen sayılar hariç olmak üzere tüm gerçek sayılardır.

Paydanın sıfırlarını bulalım:

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 & İki taraftan da 1 çıkarın \\ x & = - \frac{1}{2} & İki tarafı da 2 ile bölün \end{aligned}$ ‍

- \frac{1}{2}

paydayı

0

'a eşit yaptığı için, tanım kümesinde bunu hariç tutmalıyız.

Tanım kümesi, $- \frac{1}{2}$ ‍ hariç tüm gerçek sayılardır. Başka şekilde ifade edersek,

x \neq - \frac{1}{2}

'dir.

3) $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍'in tanım kümesi nedir?

Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, paydayı sıfıra eşitleyen sayılar hariç olmak üzere tüm gerçek sayılardır.

Paydanın sıfırlarını bulalım:

$\begin{aligned} x (x + 1) = 0 \\ x = 0 veya x + 1 = 0 & Sıfırla çarpım özelliği \\ x = 0 veya x = - 1 & x ’i bulun \end{aligned}$ ‍

Paydayı sıfır yapan değerler

0

- 1

olduğundan, tanım kümesi bu değerleri kapsamayacaktır.

Tanım kümesi, $0$ ‍ ve $- 1$ ‍ hariç tüm gerçek sayılardır. Başka şekilde ifade edersek,

x \neq 0, - 1

'dir.

Zor problemler

4*) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍'in tanım kümesi nedir?

Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, paydayı sıfıra eşitleyen sayılar hariç olmak üzere tüm gerçek sayılardır.

Bu durumda, payda çarpanlarına ayrılmış formda değildir. Buna göre, ya paydayı çarpanlara ayırmalı ya da sıfırlarını bulmak için başka bir yöntem kullanmalıyız.

x^{2} - 2 x - 8 = 0

'ın kolayca çarpanlarına ayrılabildiğine dikkat edin. Böylece, bunu elde ediyoruz:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 veya x + 2 = 0 & Sıfırla çarpım özelliği \\ x = 4 veya x = - 2 & x ’i bulun \end{aligned}$ ‍

Paydayı sıfır yapan değerler

- 2

4

olduğundan, tanım kümesi bu değerleri kapsamayacaktır.

Tanım kümesi, $- 2$ ‍ ve $4$ ‍ hariç tüm gerçek sayılardır. Başka şekilde ifade edersek,

x \neq - 2, 4

'tür.

5*) $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍'ün tanım kümesi nedir?

Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, paydayı sıfıra eşitleyen sayılar hariç olmak üzere tüm gerçek sayılardır.

Bununla birlikte, bu durumda payda asla sıfıra eşit olmayacaktır. Bunun nedeni, gerçek sayı olan tüm

x

değerleri için

x^{2} + 4 > 0

olmasıdır.

Bunu düşünmenin başka bir yolu, paydayı sıfıra eşitleyerek

x

'i bulmaya çalışmaktır.

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & Gerçek bir sayının karesi daima pozitiftir! \end{aligned}$ ‍

Ancak burada bunun imkansız olduğunu görüyoruz, çünkü gerçek bir sayının karesi asla negatif olamaz!

Payda

0

olamayacağı için, tanım kümesinde kısıtlama yoktur. Buna göre, tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Rasyonel ifade nedir?

Rasyonel ifadler ve tanımsız değerler

Rasyonel ifadelerin tanım kümesi

Örnek: x+1(x−3)(x+4)‍ 'ün tanım kümesini bulma

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

Zor problemler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍'ün tanım kümesini bulma