Limitin Özellikleri

Bu videoda limitin özelliklerini inceleyeceğiz ama bu özellikleri kanıtlamayacağız. Eğer kanıt yapsaydık, kanıt yapacak olsaydık limitin matematiksel tanımına ihtiyacımız olcaktı. Bu derste, bu videoda değil ama, limitin epsilon delta (ε-δ) tanımı videosunda kanıt yapacağız Bu videoda limitin özelliklerini kavramaya çalışacağız ve bu özelliklerin mantığını bir defa kavrarsak, bu, ileride karşılaşacağımız limit sorularını kolayca çözmemizi sağlayacak. f(x) fonksiyonumuzun x, c’ye giderken, yakınsarken limiti L olsun. ve g(x) fonksiyonumuzun ise x, c’ye giderken limiti M’ye eşit olsun. Bize sorulan şu: limit f(x) artı g(x)’in, x c’ye giderken değeri (〖lim┬(x→c) (f〗⁡〖(x)〗+g(x)) ne olur? Grafik üzerinde bu iki fonksiyonu birbirine eklediğimizde, nasıl bir fonksyon oluşacağını sezgisel olarak görebiliriz Ama dediğim gibi sadece özelliklerin üzerinden gececeğiz, kanıtlarına girmeyeceğiz. Bu toplam şu şekilde yazılabilir; limit f(x) x, c’ye giderken artı limit g(x) x, c’ye giderken, Bu kısım (〖lim┬(x→c) f〗⁡〖(x)〗) –aynı renk ile göstereyim- L’ye eşitti ve toplamda L artı, bu kısım da (〖lim┬(x→c) g〗⁡〖(x)〗) M’ ye eşitti, cevap L artı M olacak. Çok zor değil. Buna limitlerde toplama kuralı veya toplama özelliği diyoruz. Şimdiki özellik de öncekine benzer. Limit x, c’ye giderken f(x) eksi g(x). (〖lim┬(x→c) (f〗⁡〖(x)〗-g(x)) bu da ne olacak L eksi M olacak. Çünkü bu eşitlik f(x)’in x, c’ye giderkenki limitinden, g(x)’in x, c’ye giderkenki limitinin çıkarılmasına eşit, bu da L eksi M demek Bu özelliğe de limitlerde çıkarma/fark alma özelliği diyoruz. Toplama ve çıkarmayı yaptık, çarpmayla devam edelim. Limit f(x) çarpı g(x), x, c’ye giderken (〖lim┬(x→c) (f〗⁡〖(x)〗.g(x)) Bu da, limit f(x), x, c’ye giderken çarpı limit g(x) x, c’ye giderken’ e eşit olacak. Buna limitin çarpma özelliği diyoruz. Yani sorunun cevabı, burası L’ye eşit, L çarpı, bu kısım da M idi, L çarpı M. Burası (〖〖lim┬(x→c) f〗⁡(x)〗^' ı göstererek)) sabit bir sayı olsaydı da aynısı geçerli olacaktı. Mesela, limit sabit bir k sayısı çarpı f(x), x c’ye giderken k sayısı sabit olduğu için limit’in dışına çıkacak, k çarpı limit f(x) x’c ye giderken Burası (〖〖lim┬(x→c) f〗⁡(x)〗^' ı göstererek)) L, yani cevap kısaca k çarpı L. Bu özellik de sabit sayı çarpımı özelliği. Aynı şeyi bölüm için de yapabiliriz. limit x c’ye giderken f(x) bölü g(x) Tabi, g(x) sıfırdan farklı bir sayı olmalıdır. Bu da limit f(x), x c’ye giderken bölü limit g(x), x c’ye giderkene eşittir Burası L, burası M. Bu da L bölü M’ye eşittir. Evet böylece limitlerde bölme özelliğini de görmüş olduk. Son olarak limitin üs alma özelliğini görelim. Limit f(x) in, (r bölü s)’inci kuvveti, r ve s tam sayılar, x, c’ye giderken; bu, yine limit f(x)’in, x c’ye giderken, (r bölü s) kuvvetine eşit olacak. Burada r ve s tam sayılar olmalı ve s 0’a eşit olamamalı, yoksa belirsizlik durumu olur. Burası L’ye eşit, cevap L üzeri r bölü s. Bu özellikler fonksyonların grafiklerini çizerek, kolayca anlaşılabilir.