Güncel saat:0:00Toplam süre:4:49
1 enerji puanı
Studying for a test? Prepare with these 12 lessons on Seriler.
See 12 lessons

Dizi Limitinin ve Yakınsak Dizinin Tanımı

Video açıklaması
Bu videoda n sonsuza yaklaşırken bir dizinin limitinin kapsamlı bir tanımını göstermek istiyorum. - Ve bu tanımın bir fonksiyonun sonsuzdaki limitine çok benzediğini göreceksiniz, çünkü bir dizi indis cinsinden fonksiyon olarak düşünülebilir. - - Şimdi buraya herhangi bir dizi çizeyim. - - Böyle oradan oraya hareket eden bir dizi çizeyim n 1'e eşit olduğunda, a 1 burada olsun. n 2'ye eşit olduğunda a 2 şurada ve n 3'e eşit olduğunda a 3 burada. n 4 olduğunda a 4 burada, n eşittir 5 için. A 5 şurada. n değerleri 1, 2, 3, 4, 5. n büyüdükçe a n'nin değerleri bir sayıya yakınsıyor. - Gittikçe yaklaşıyor ve bu L değerine yakınsıyor gibi görünüyor. Şimdi ise L'ye yakınsamanın tanımını bulalım. - L'ye yakınsamanın matematiksel anlamı şudur. Herhangi bir pozitif epsilon değeri için öyle bir pozitif büyük M sayısı bulurum ki, n M'den büyük ise, a n'nin bu limitten, L'den, uzaklığı epsilondan küçüktür. - - - - - - Bunu herhangi sıfırdan büyük bir epsilon için yapabilirsek, a n ile limitimiz arasındaki uzaklığı, n büyüktür M için, epsilondan küçük yapan bir pozitif M sayısı bulabilirsek, o zaman n sonsuza giderken a n'nin limiti L'dir diyebiliriz. - - - - a n'nin L'ye yakınsadığını söyleyebiliriz. Şimdi bunu ayrıştıralım. Burada a n'nin bu L'ye yaklaştığını iddia ediyordum. - Bunu yatay bir doğru olarak çizmeye çalıştım. Yakınsamanın tanımı, sıfırdan büyük herhangi bir epsilon seçmemizi söyler. - Şimdi sıfırdan büyük bir epsilon seçeyim, L artı epsilonu bulacağım, bunu burada yapayım. Bu, L artı epsilon. - Ve şurası da L eksi epsilon diyelim. Bu iki sınırı çizeyim, şöyle. Burada bir epsilon seçtim. Şimdi herhangi bir epsilon için, pozitif bir M değeri bulabilmeliyim. M değerimiz şu olsun. - - n, M'den büyük olduğu sürece a n L'nin epsilon komşuluğu içinde olmak zorundadır. - L'nin epsilon komşuluğu, şu aralıktır. Yani burada söylenen şu. a n ile L arasındaki uzaklık, epsilondan küçük, yani buradaki değerlerden söz ediyorum, L eksi epsilon, L artı epsilon aralığından. - Bununla limitimizin arasındaki uzaklık epsilondan az olacak. Ve şurada görsel olarak, şu M'yi seçersek ve bu M'den büyük bir n değeri alırsak... - M 3'e eşit olsun. a n yeterince yakın olacak gibi. M 4 olduğunda a n daha da yakınlaşıyor. Epsilon komşuluğunda bulunuyor. - Eğer bu, seçtiğimiz her epsilon değeri için doğruysa, limitin var olduğunu ve a n'nin L'ye yakınsadığını söyleriz. - Bir sonraki videoda bu tanımı kullanarak bir dizinin yakınsadığını ispatlayacağız.