Bir Dizinin Limitinin Biçimsel Tanımı

Bu videoda n sonsuza yaklaşırken bir dizinin limitinin, kapsamlı bir tanımını göstermek istiyorum. Ve bu tanımın bir fonksiyonun sonsuzdaki limitine çok benzediğini göreceksiniz çünkü bir dizi indis cinsinden fonksiyon olarak düşünülebilir. Şimdi şuraya herhangi bir dizi çizeyim. Böyle oradan oraya hareket eden bir dizi çizelim. n 1'e eşit olduğunda a 1 burada olsun. n 2'ye eşit olduğunda a 2 şurada n 3'e eşit olduğunda a 3 burada. n 4 olduğunda a 4 burada ve n eşittir 5 için. A 5 burada. n değerleri 1, 2, 3, 4, 5. n büyüdükçe a n'nin değerleri bir sayıya yakınsıyor. Gittikçe yaklaşıyor ve bu L değerine yakınsıyor gibi görünüyor. Şimdi ise L'ye yakınsamanın tanımını bulalım. L'ye yakınsamanın matematiksel anlamı şudur. Herhangi bir pozitif epsilon değeri için öyle bir büyük pozitif M sayısı bulurum ki n M'den büyük ise a n'nin bu limitten, yani L'den, uzaklığı epsilondan küçüktür. Bunu herhangi sıfırdan büyük bir epsilon için yapabilirsek, a n ile limitimiz arasındaki uzaklığı n büyüktür M için, epsilondan küçük yapan bir pozitif M sayısı bulabilirsek o zaman n sonsuza giderken a n'nin limiti L'dir diyebiliriz. a n'nin L'ye yakınsadığını söyleyebiliriz. Şimdi bunu ayrıştıralım. Burada a n'nin bu L'ye yaklaştığını iddia ediyordum ve bunu yatay bir doğru olarak çizmeye çalıştım. Yakınsamanın tanımı, sıfırdan büyük herhangi bir epsilon seçmemizi söyler. Şimdi sıfırdan büyük bir epsilon seçeyim L artı epsilonu bulacağım, bunu burada yapayım. Bu, L artı epsilon. Ve şurası da L eksi epsilon diyelim. Bu iki sınırı çizeyim, şöyle. Burada bir epsilon seçtim. Şimdi herhangi bir epsilon için, pozitif bir M değeri bulabilmeliyim. M değerimiz şu olsun. n, M'den büyük olduğu sürece a n L'nin epsilon komşuluğu içinde olmak zorunda. L'nin epsilon komşuluğu, şu aralık. Yani burada söylenen şu. a n ile L arasındaki uzaklık epsilondan küçük yani buradaki değerlerden söz ediyorum, L eksi epsilon, L artı epsilon aralığından. Bununla limitimizin arasındaki uzaklık epsilondan az olacak. Ve şurada görsel olarak, şu M'yi seçersek ve bu M'den büyük bir n değeri alırsak... M eşittir 3 olsun. a n yeterince yakın olacak gibi. M 4 olduğunda a n daha da yakınlaşıyor. Epsilon komşuluğunda bulunuyor. Eğer bu, seçtiğimiz her epsilon değeri için doğruysa, limitin var olduğunu ve a n'nin L'ye yakınsadığını söyleriz. Bir sonraki videoda bu tanımı kullanarak bir dizinin yakınsadığını ispatlayacağız.