Ana içerik

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 1

Ders 9: Topic C: Lesson 25: Properties of matrix addition

Matris skaler çarpımının özellikleri

Matris skaler çarpımının özelliklerini (değişme özelliği gibi) ve bunun gerçek sayılarla çarpma işlemiyle ilişkisini öğrenin.

Aşağıdaki tabloda

A

B

boyutları eşit olan matrislerdir,

c

d

skalerdir ve

O

sıfır matrisidir.

Özellik	Örnek
Çarpmada birleşme özelliği	$(c d) A = c (d A)$ ‍
Dağılma özelliği	$c (A + B) = c A + c B$ ‍
	$(c + d) A = c A + d A$ ‍
Çarpmada etkisiz eleman özelliği	$1 A = A$ ‍
Sıfırın çarpma işlemindeki özelliği	$0 \cdot A = O$ ‍
	$c \cdot O = O$ ‍
Çarpmada kapalılık özelliği	$c A$ ‍, $A$ ‍ ile aynı boyutlara sahip bir matristir.

Bu makale, bu özellikleri incelemektedir.

Matrisler ve skaler çarpım

Bir matris, sayıların satır ve sütunlar şeklinde dikdörtgensel düzenlenmesidir.

Matrislerle işlem yaparken, gerçek sayıları skaler olarak adlandırırız.

Skaler çarpım terimi, bir gerçek sayıyla bir matrisin çarpımını belirtir. Skaler çarpımda, matristeki her giriş verilen skalerle çarpılır.

\begin{aligned} 2 \cdot [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{ll} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Eğer bu konu sizin için yeniyse, devam etmeden önce aşağıdaki makalelere göz atmalısınız:

Boyutlara ilişkin dikkat edilmesi gerekenler

Bir skaler çarpı bir

2 \times 2

matrisin, başka bir

2 \times 2

matris olduğuna dikkat edin. Genel olarak, bir matrisin skaler bir katı, aynı boyuta sahip başka bir matris olacaktır. Skaler çarpımın kapalılık özelliği ile ifade edilen budur!

Matris skaler çarpım ve gerçek sayı çarpım

Skaler çarpım büyük ölçüde gerçek sayılarla çarpma işlemiyle benzer olduğundan, gerçek sayılarda doğru olduğunu bildiğimiz çarpım özelliklerinin çoğu skaler çarpım için de doğrudur.

Her bir özelliği tek tek bakalım.

Çarpmanın birleşme özelliği: $(c d) A = c (d A)$ ‍

Bu özellik, bir matrisin iki skalerle çarpılması durumunda, önce skalerleri çarpabileceğinizi ve sonra matrisle çarpabileceğinizi söyler. Buna alternatif olarak, matrisi skalerlerden birisiyle çarpabilir ve sonra elde ettiğiniz matrisi diğer skalerle çarpabilirsiniz.

Aşağıdaki örnek, bunu

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 8 & 1 \end{array}]

için göstermektedir.

Her sütunda birim matrisin bir tarafını tek bir matris olarak sadeleştirdik. Gerçek sayıların toplama işlemindeki birleşme özelliği sayesinde, elde edilen iki matrisin denk olduğuna dikkat edin. Örneğin,

(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)

Bu, iki orijinal ifadenin de birbirine denk olması gerektiğini gösterir!

Dağılma özellikleri:

$c (A + B) = c A + c B$ ‍

Bu özellik, bir skalerin bir matris toplamaya dağıtılabileceğini söyler.

Burada

c = 2

A = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}]

olan bir örnek var:

Eğer her sütundaki son matrisi karşılaştırırsak, gerçek sayılardaki dağılma özelliği dolayısıyla bunların denk olduğunu görürüz. Örneğin,

2 (5 + 3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3

Buna göre, orijinal iki ifade de birbirine denk olmalıdır!

$(c + d) A = c A + d A$ ‍

Bu özellik, bir matrisin bir skaler toplamaya dağıtılabileceğini söyler.

Burada

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 6 & 9 \\ 7 & 4 \end{array}]

olan bir örnek var:

Bir kez daha, her sütundaki son matrisin denk olduğunu görüyoruz; bunun nedeni gerçek sayılardaki dağılma özelliğidir, bu özellik orijinal ifadeleri arzu edilen şekilde denk kılar!

Çarpmada etkisiz eleman özelliği: $1 A = A$ ‍

Bu özellik, herhangi bir

A

matrisini

1

skaleriyle çarptığınızda, sonucun basitçe orijinal

A

matrisi olduğunu söyler.

Buna göre, örneğin eğer

A = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}]

ise, bunu elde ederiz:

\begin{aligned} 1 [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 1 \cdot 2 & 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] \end{aligned}

Herhangi bir

a

gerçek sayısı için

1 \cdot a = a

olduğundan,

1

skaleri her zaman skaler çarpımda etkisiz eleman olacaktır!

Sıfırın çarpma işlemindeki özellikleri:

$0 \cdot A = O$ ‍

Bu özellik, skaler çarpımda,

0

çarpı herhangi bir

m \times n

A

matrisinin,

m \times n

sıfır matrisi olduğunu belirtir.

Gerçek sayı sistemindeki çarpma işleminin özellikleri nedeniyle, bu doğrudur. Eğer

a

bir gerçek sayıysa,

0 \cdot a = 0

olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki örnek bunu göstermektedir.

\begin{aligned} 0 [\begin{array}{rr} 3 & 8 \\ 6 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 0 \cdot 3 & 0 \cdot 8 \\ 0 \cdot 6 & 0 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

$c \cdot O = O$ ‍

Bu özellik, herhangi bir skaler çarpı bir sıfır matrisinin, aynı sıfır matrisi olduğunu belirtir.

Gene, bu özellik gerçek sayı sisteminde sıfır sayısının çarpma işlemindeki özelliği dolayısıyla doğrudur. Burada

c = 3

O

'nun

2 \times 2

sıfır matrisi olduğu bir örnek bulunuyor.

\begin{aligned} 3 [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Artık skaler çarpım özelliklerinin hepsini öğrendiğinize göre, bunları denk matris ifadelerini belirlemek için kullanıp kullanamayacağınızı görelim.

Aşağıdaki problemler için,

A

B

2 \times 2

matrisler olsun ve

c

d

skalerler olsun.

1) Aşağıdakilerden hangileri $c (1 A + B)$ ‍ ile denktir?

2) Aşağıdakilerden hangileri $(c d) A + 0 A$ ‍ ile denktir?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY)