If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:11:33

Video açıklaması

Elimde ABC üçgenim var Yapmak istediğim ise ABC'nin her kenarının orta noktasını bulmak bunlardan biri BC'nin orta noktası BC'nin orta noktasına D diyelim AC'ninkine E AB'ninkine de F diyelim. Biliyoruz ki bunlar orta noktalar oldukları için BD eşittir DC. Aynı şekilde AE'nin uzunluğu eşittir EC ve AF eşittir FB. Köşelerden orta noktalara medyanlar çizmek yerine orta noktaları birleştirmek istiyorum. Eğer bu doğrusal olmayan noktaları birleştirirsek bir üçgenimiz daha olacak, değil mi? Orta noktaları birleştirerek oluşturduğumuz bu üçgene ise medyal üçgen adını veririz.Evet, medyal üçgen. Bu videoda medyal üçgenin özelliklerini göreceğiz. Medyal üçgen her üçgeni 4 eşit parçaya böler. Bu 4 üçgen birbirlerine eşittir ve büyük üçgene de benzerdirler. Bunları üçgenin alanının 1 bölü 4'ü yani 4'te 1'i alanında üçgenler olarak da düşünebilirsiniz. Evet, bunu kanıtlayalım. CDE üçgeni CBA üçgenine benzer bir üçgendir. İkiside buradaki açıyı paylaşır. CBA ve CDE aynı açıyı paylaşırlar. Şimdi kenarların oranlarına bakalım. CDnin CB'ye oranı 1 bölü 2'ye eşittir. Bu şu gösterdiğim kenarın yarısıdır Bu oran CE bölü CA içinde geçerli olacak. CE CA'nın yarısıdır. Bunun nedeni, E'nin orta nokta olmasıdır. Elimizde benzer açılar var ve aldığımız oranlar aynı. Aradaki açı da eşit. kenar açı kenar yani KAK benzerliğinden CDE'nin CBA'ya benzer olduğunu anlayabiliriz. Ayrıca kısa kenarların uzun kenarlara oranının 1 bölü2 olduğunu biliyoruz Bu benzerlikten AB'nin yarısının FA olacağını da çıkartabiliriz. Biliyoruz ki buradaki uzunluk FA veya FB'ye eşittir Bu benzerlikten DE bölü BA'nın da diğer kenarlar gibi 1 bölü 2 oranına sahip olduğunu biliyoruz. Güzel şimdi bu üçgene bakalım. BDF üçgenini ilk olarak ABC ile kıyaslayalım. İkisi şuradaki açıyı paylaşıyorlar, evet. Aynı savı burada da uygulayalım. BF bölü BA oranı 1 bölü 2'dir Bu oran BD bölü BC için de geçerlidir. BD bütün uzunluğun yarısı olduğu için BF de öyledir. Gördüğünüz gibi ilişkin kenarlar aynı orana sahipler ve üçgenler bir açı paylaşıyorlar. Kenar açı-kenar benzerliğinden görüyoruz ki DFB üçgeni ABC üçgeni ile benzer. Yine aynı savı kullandık. Eğer benzerlik söz konusu ise kenarların oranları eşit olmalı. Bu örnekte FDnin AC'ye oranı 1 bölü 2 olmalıdır AC'nin uzunluğunun yarısı AE'ye eşittir. Aynı şekilde, benzerlikten dolayı açılar eşit olmalıdır Büyük üçgenin sarıyla çizilmiş açısı olduğunu biliyoruz. Şu sarı açımız var ve bu açı sebebiyle buradaki üçgen büyük üçgenle benzer. Buradaki aynı açıya sahipler. Şimdi bunları üçüncü üçgene uygulayalım. Sanırım örüntüyü gördünüz. AF bölü AB oranı da AE bölü AC oranına eşit olur. AE bölü AC de 1 bölü 2'ye eşittir. Elimizde iki benzer kenar var ve biri ötekinin iki katı. Bir ortak açıları var ve bu açı kenarların ortasında. Kenar-açı-kenar benzerliği artık tekrarlamaya başladı. EFA üçgeni CBA üçgenine benzer. Kenarların oranı da 1 bölü 2'ye eşit. fed dead bird aged FB bölü BC de 1 bölü 2'ye eşit ve FE eşittir BD. Ayrıca şuradaki konuşmadığımız üçgenler de büyük üçgene benzerler. Yani küçük üçgenlerin hepsi birbirine benzer ve hepsinin açısı da benzer. Yani büyük üçgenin buradaki sarı açısı varsa bu açı bütün buradaki üçgenlerde de olacaktır. Eğer büyük üçgenin buradaki mavi açısı varsa bu açı diğer küçük üçgenlerde de olacaktır. Bu üçgenlerin açısının köşe noktası ise burada gördüğünüz mavi olan olacak. Evet burada gösterdiğimiz hepsi benzer. Ortadaki üçgenle ilgili henüz konuşmadık. Eğer bu da diğerlerine benzerse bunun da açısı şu köşe noktasında olacaktır. Bunun nedeni, bu noktanın benzerlikten ötürü açının köşe noktasına denk gelmesidir. Şimdi üçgenleri birbirleriyle karşılaştıralım. Bütün bu üçgenlerin kenarlarının aynı olduğunu gösterdik; buradaki mavi kısım(veya tek çizgili kısım) var iki çizgili kısım var ve üç çizgili kısım var. Bu , en ortadaki üçgene de uyuyor. Kenar-kenar-kenar'dan eşitliği görebiliriz. CDE üçgeni DBF üçgenine denktir bunu biliyoruz. CDE denktir DBF'ye ve bu da denktir EFA'ya. Unutmayın ki doğru kenarları aldığımızdan emin olmak için açıları düşünmeliyiz. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Biliyoruz ki mor açı artı mavi açı artı sarı açı 180 derece. Mavi açı ve mor açı burada ve buranın 180 derece etmesi için burası mavi açı olmalı. Aynı sav burada da var. Sarı açı artı mavi açı burada gözüküyor. Demek ki , burayı 180 dereceye tamamlamak için bu açının mor açıya eşit olması gerekli. Bütün bu açılar 180 dereceye tamamlanacak. Burada ise mor ve mavi açı var yani eksik olan açı sarı açı. Şimdi benzerliği buraya yazdık, evet. CDE'den başladık sarı-mor mavi açı şeklinde açılarımız var. Şimdi artık hep sarı-mor-mavi açı sıralamasına uyarak gideceğiz. Bu üçgen FED üçgenine denk. Evet, bunun bütün açılarını gösterdik. Bu üç üçgen benzer üçgenler ve hepsi bu büyük üçgenle aynı orana sahipler. Hepsi ABC üçgenine benzer ve kenarlar arasındaki oran 1 bölü 2'ye eşit. Aynı şekilde , açılara baktığımızda da hangi açıların hangisine eşit olduğunu gördük. Eğer DC ve BC'ye bakarsak FD ve AC'nin paralel olduğunu görürüz. Bunun nedeni de açıların benzer olmasından kaynaklanıyor. Diyebilirsiniz ki , bu kenar buradakine paralel. Aynı savı kullanarak bu kenarlar ve bu açının benzer olduğunu gösterebilirsiniz. DE BA'ya paraleldir. Bu da medyal üçgenlerin başka bir özelliğidir.