Kenarortayların Üçgeni Eşit Alanlı Küçük Üçgenlere Bölmesi

Eğer herhangi bir ABC üçgenimiz olsa bu üçgenin medyanları ve bu medyanların özellikleri ne olurdu? Medyanların birbirleriyle bağlantılı olduğunu tahmin edebilirsiniz. Bu arada medyan nedir? Bir kenarın köşesinden karşı kenarın orta noktasına bir doğru çizince buna medyan denir. Buradan başladık ve karşı kenarı buradan kestik, evet. BD arası bu arada şuraya D diyelim. Evet, uzaklık BD arası uzaklık DC arası uzaklığa eşit oldu. Şimdi bunu her kenara uygulayalım. Şu noktaya E diyelim. Bir önce yaptığımız gibi ,AE arası uzaklık da EC'ye eşit olur. Şimdi başka bir medyan çizelim. Bu videoda kanıtlamayacağım ama bütün medyanlarınız bu arada ortada ortak bir nokta da kesişir . Hepsi ortadaki belirli bir noktadan geçecektir Buradaki uzunluk , şu noktaya F diyelim, buradakine eşittir. Bütün bu medyanların birleştiği noktaya ise sentroid adı verilir. Sentroide G diyelim. Bununla ilgili olan ilginç şey, bununla ilgili ilginç olan şey bu üçgenin ağırlığı eğer her yerine eşit olarak dağılmışsa üçgeni çevirdiğinizde üçgenin sentroidi çevresinde dönecek olmasıdır. Ancak bundan daha da ilginç olanı ise bu üçgeni 6 küçük üçgene bölmüş olmamız. İşte bunu bu videoda kanıtlayacağız. Bu 6 üçgenin alanı eşittir. Başlangıçta iki tanesine bakacağım. Şimdi bu iki üçgenin aynı alana sahip olduklarını göstermek için çok kolay bir kurala başvuracağız. Şu iki üçgeni çevirdiğinizi düşünün. Bunun gibi bir şeye benzeyecek. Şurası G noktası olacaktır. Burası şu kenar olur ve burası da C olur. Bu nokta B noktası olur. Burası ise medyanın ikinci bölümüdür. Burası da D olur. D. Bu uzunluğun bu uzunluğa eşit olduğunu biliyoruz. Bu iki üçgen de aynı tabana eşit. Biliyoruz ki alan 0.5 çarpı taban çarpı yükseklik. Aynı tabana sahipler. Peki ya yükseklikleri ne? Yükseklikleri de eşit. İkisinin de hem tabanları hem de yükseklikleri eşit. Burada geniş açılı ve dar açılı üçgenler var. Bunun gibi bir geniş açılı üçgeniniz varsa , geniş açılı diyorum çünkü bu açı 90 dereceden büyük yüksekliğiniz üçgenin . Bu iki üçgenin taban ve yükseklikleri eşit bu sebeple de aynı alana sahipler. Eğer bunun alanı x ise , bununkinin de aynı şekilde x'tir. Aynı mantığı kullanarak, bunun ve bunun taban ve yükseklikleri eşit bu sebeple aynı y alanına sahipler. Yani alanları eşittir. Son olarak aynısını bu ikisi için de uygulayabiliriz aynı taban ve aynı yüksekliklere sahipler. Bu , BF eşittir FA demek ve aynı yüksekliğe sahipler. Eğer yüksekliği şuradan çizersek bu alanı elde ederiz. Evet, bu alana da Z diyelim. Bu alana da Z dedik. Buraya kadar bunları aynı alana sahip üçlü üçgenlere ayırdık. Şimdi ise hepsinin alanlarının aynı olduğunu göstereceğiz. Bunu yapmak için ise aynı yönteme başvuracağız. Bunu şimdi farklı üçgenlerle uygulayacağız Şuradaki BAE üçgenine bakalım. BAE'nin alanı z artı z artı y'ye eşittir. Şimdi, BEC'nin alanına bakalım. Bu da x artı x artı y'ye eşit olur. İki üçgen de aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip. Buradan bir yükseklik indirebiliriz, evet. Bu geniş açılı bir üçgen, bu sebeple yüksekliğimiz yine üçgenin dışından indirilir ama aynıdır. Bu sebeple iki alan birbirine eşittir. Şimdi elimizde 2z artı y eşittir 2x artı y var. Peki İki taraftan da y çıkaralım. Ne olacak? 2z eşittir 2x oldu. İki tarafı 2 ile bölelim. z eşittir x. Buraya ve buraya x yazabileceğimizi söyleyebiliriz. Bunların alanı aynı ama şimdi buradakilerle ilgilenmemiz lazım. Bunun için buna olan bakış açımızı değiştirmeliyiz. Şimdi, ADC üçgenine bakın. ADC üçgeninin alanı 2y artı x. Şimdi ise ADB üçgenine bakalım. ADB üçgeni neymiş? O da 2z artı x. z'nin x'e eşit olduğunu biliyoruz. Yani aslında bu x artı x artı x. Yani ADB eşittir 3x. Burada da aynı mantığı kullanıyoruz. ADB'nin tabanı ADC'ninkiyle aynı. Yükseklikleri de aynı. Şuralardan birer yükseklik indirebiliriz. Evet, işte aynı yüksekliğe sahipler. Aynı kuralı tekrar tekrar kullanıyoruz. Bunlar birbirlerine eşit olmalılar o zaman. 2y artı x eşittir 3x. İki taraftan da şimdi x çıkartalım. 2y eşittir 2x yani y eşittir x imiş. Üçgenin her köşesinden karşı kenara gidip karşı kenarı ikiye bölüyorsunuz. Bunu üç kez yaptığınızda üç medyanınız oluyor. Bu çizgilere medyan deniyor ve medyanların kesiştiği yer sentroid. Ve sentroid üçgeni 6 eşit alanlı üçgene bölüyor.