If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:3:59

Video açıklaması

Evet, bu soruda farklı şekillerde verilen ikinci dereceden denklemlerin maksimum değerlerini bulmamız ve bunları karşılaştırmamız isteniyor. Peki en kolayı ile başlayalım. Gelin, hx’in grafiğine bir bakalım ve aldığı maksimum değeri belirlemeye çalışalım. Maksimum nokta burada gibi duruyor. x, 4’e eşitken, y ya da hx eksi 1 değerini alıyor. O halde, hx’in maksimum değeri eksi 1’dir! Peki, gx’in maksimum değeri nedir? Burada gx’in değerlerini görüyorsunuz ve tüm bu değerler arasında en büyük olanı tabii ki 5! x, sıfıra eşitken, gx 5 değerini alıyor. Evet, gx’in maksimum değeri de 5’miş. fx içinse bize bir denklem vermişler. İşte şimdi maksimumu, maksimum değeri bulmak için biraz daha fazla çalışmak gerekecek. İkinci dereceden bir denklem ile bunu yapmanın en kolay yolu, verilen denklemi bir tam kareye tamamlamaktır. Evet, elimizde, fx eşittir eksi x kare artı 6x eksi 1 var. x karenin önündeki bu eksi işaretinden hiç hoşlanmıyorum, onun için gelin, tüm bu ifadeyi eksi parantezine alalım. Eksi parantez içinde x kare eksi 6x artı 1. Artı 1’i buraya yazıyorum çünkü bu ifadeyi tam kareye tamamlamaya çalışacağım. Şimdi hatırlayalım, tam kareye tamamlamak için, bu ifadeye aynı sayıyı ekleyip çıkarmam gerekiyor. Böylece, bu ifadenin bir bölümü tam kareye dönüşmüş olacak. Hangi sayıyı ekleyip çıkaracağımızı bulmak için de, x’in katsayısına bakalım, bu katsayıyı 2’ye bölelim ve karesini alalım. Eksi 6 bölü 2, eksi 3, eksi 3’ün karesi ise, 9 eder. Evet, 9 ekleyeceğiz. İfadenin değerinin değişmemesi için aynı zamanda, bu arada 9 çıkarmam gerekecek. Eksi 9. İşte böyle. Şimdi merak etmiş olabilirsiniz. Eğer ifadenin değerini değiştirmiyorsak neden 9 ekledik ve sonra neden 9 çıkardık? Bunu yapıyoruz çünkü bu sayede ifadenin ilk bölümü bir tam kareye dönüşmüş oluyor. Yani x kare eksi 6x artı 9, x eksi 3’ün karesine eşit! Şimdi denklemi baştan yazacak olursak, x eksi 3’ün karesi, Eksi 9 artı 1. eksi 8. Eksi 8’i başka bir renk ile yazayım. Evet, burası eksi 8’e eşit. Tüm bu ifadeyi eksi parantezine aldığımızı unutmayalım. Şimdi de eksi parantezini açalım, Eksi x eksi 3’ün karesi artı 8. Şimdi, bu denklemin alabileceği maksimum değeri düşünmeye başlayabiliriz. Bir bakalım, parantezin önündeki bu eksi olmasaydı, x eksi 3 ifadesi her zaman pozitif ya da sıfıra eşit olurdu. Ama parantezin önündeki bu eksi bize bu ifadenin değerinin hiçbir zaman pozitif olamayacağını söylüyor. Bir düşünün, x, 3’e eşitken, burası sıfır olur. Sıfırın karesi sıfırdır, eksi parantezi açıldığında da yine sıfır kalır. x’in 3’ten farklı her değeri için, ifadenin bu bölümü pozitiftir, Ama bu eksi sayesinde, pozitif olan bu değer her zaman negatife dönüşür. Ve negatif olan bu ifadeyi de 8’den çıkarır ve denklemin alacağı değeri bulmuş oluruz. Peki, bu bize neyi gösterir? En büyük yani maksimum değerin 8 olabileceğini! Bunun olabilmesi de ancak ve ancak x’li ifade sıfıra eşitken mümkündür. Neden mi? Unutmayın, denklemin bu bölümünü her zaman 8’den çıkaracağız. Maksimum değeri elde etmek istiyorsak da bu bölümün en küçük değerine yani sıfıra eşit olması gerekir. x, 3’e eşitken burası sıfıra, fx ise 8’e eşit olur. O halde fx’in maksimum değeri 8’dir. Peki, en küçük maksimum değer hangisi? hx, eksi 1 değeri ile yarışmamızı kazandı. Bravo!