Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 1: Teğet Düzlemler ve Yerel Lineerizasyon

Teğet Düzlemler

Tek değişkenli türevin bir eğriye teğet doğruları bulmak için kullanılabilmesiyle benzer şekilde, kısmi türevler bir yüzeye teğet olan düzlemi bulmak için kullanılabilir.

Arka plan

Kısmi türevler

Neye ulaşıyoruz

İki değişkenli $f (x, y)$ ‍ fonksiyonuna teğet düzlem, bu fonksiyonun grafiğine teğet olan düzlemdir.

İki değişkenli $f (x, y)$ ‍ fonksiyonunun grafiğine belirli bir $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasında teğet olan düzlemin denklemi böyle gözükür:
$T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$ ‍

Görevimiz

İki koordinat girdili şöyle bir skaler değerli fonksiyonu düşünün:

f (x, y) = - x^{2} - y^{2} + 3

Sezgisel olarak, böyle bir fonksiyon genelde üç boyutlu grafiğiyle görselleştirilir.

Hatırlayın, bu grafiği, bunu üç boyutlu uzaydaki belirli noktaların kümesi olarak tanımlayarak, daha teknik şekilde tanımlayabilirsiniz. Özellikle, böyle gözüken noktaların tümüdür:

(x, y, f (x, y)) = (x, y, - x^{2} - y^{2} + 3)

Burada,

x

y

tüm olası gerçek sayılar olabilir.

Bu grafiğe teğet bir düzlem, grafiğe teğet olan bir düzlemdir. Hmmm, bu pek iyi bir tanım olmadı. Bunu kelimelerle tanımlamak zor, dolayısıyla size pek çok farklı teğet düzlemi içeren bir video izleteceğim.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Önemli soru: Üç boyutlu uzayda fonksiyonun grafiğine belirli bir

(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))

noktasında teğet olan düzlemi temsil eden denklemi nasıl bulursunuz?

Grafikleri düzlemler olarak temsil etme

İlk olarak, hangi

g (x, y)

fonksiyonlarının grafikleri düzlem gibi gözükür?

Bir düzlemin herhangi bir yöndeki eğimi tüm girdi değerleri için sabittir, dolayısıyla

g_{x}

g_{y}

kısmi türevlerinin ikisi de sabit olmalıdır. Sabit kısmi türevli fonksiyonlar böyle gözükür:

g (x, y) = a x + b y + c

Burada

a

b

c

birer sabittir. Bunlar doğrusal fonksiyonlar olarak adlandırılır. Teknik ismiyle söylemek gerekirse aslında bunlar afin fonksiyonlardır, çünkü doğrusal fonksiyonlar başlangıç noktasından geçmek zorundadır; ancak genelde bunların tümü doğrusal fonksiyonlar olarak adlandırılır.

Soru: Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinin uzaydaki belirli bir

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

noktasından geçeceğinden nasıl emin olursunuz?

Bunu yapmanın sağlam yolu, doğrusal fonksiyonumuzu

g (x, y) = a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + z_{0}

[Bekleyin, bu ax+by+c gibi gözükmüyor]

Kavram kontrolü:

g

bu şekilde tanımlandığında,

g (x_{0}, y_{0})

'ı hesaplayın.

[Açıklamayı göster]

g (x, y)

'yi bu şekilde yazmak

g (x_{0}, y_{0}) = z_{0}

olduğunu netleştirir. Bu,

g

grafiğinin

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

'dan geçmesini garantiler:

(x_{0}, y_{0}, g (x_{0}, y_{0})) = (x_{0}, y_{0}, z_{0})

Diğer sabitler

a

b

, biz hangi değeri istersek onu alabilir.

a

b

için farklı seçenekler,

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

noktasından geçen farklı düzlemler verir. Aşağıdaki videoda, biz

a

b

'yi değiştirdikçe bu düzlemlerin ne şekilde değiştiği gösterilmektedir:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bir teğet düzlemin denklemi

Elimizdeki işe geri dönelim. Bir

f (x, y)

fonksiyonuna

(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))

noktasında teğet olan bir düzlemi temsil eden bir

T (x, y)

fonksiyonu istiyoruz, dolayısıyla düzlemin genel formülüne

z_{0}

yerine

f (x_{0}, y_{0})

koyarız.

T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})

a

b

değerlerini değiştirdiğinizde, bu denklem istenen noktada

f

grafiğinden geçen farklı düzlemler verecektir, ancak bunlardan sadece bir tanesi bir teğet düzlem olacaktır.

(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))

'den geçen tüm düzlemler arasında,

f

grafiğine teğet olan düzlem $f$ ‍ ile aynı kısmi türevlere sahip olacaktır. Hoş bir şekilde, doğrusal fonksiyonumuzun kısmi türevleri

a

b

sabitleriyle verilmiştir.

Deneyin! Yukarıdaki denklemin $T (x, y)$ ‍ için kısmi türevlerini alın.
[Çözüm]

Bu nedenle,

a = f_{x} (x_{0}, y_{0})

b = f_{y} (x_{0}, y_{0})

olarak eşitlemek,

T

doğrusal fonksiyonumuzun kısmi türevlerinin

f

'nin kısmi türevleriyle eşleşmesini garantiler. Neyse, en azından

(x_{0}, y_{0})

girdisi için eşleşirler, ancak bu ilgilendiğimiz tek noktadır. Bunları birleştirdiğimizde, teğet düzlem için kullanılabilir bir formül elde ederiz.

\begin{array}{r} T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \end{array}

Örnek: Bir teğet düzlemi bulma

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Problem:

Aşağıdaki fonksiyon verilmiştir:

f (x, y) = \sin (x) \cos (y)

f

grafiğine

(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})

noktasının yukarısında teğet olan bir düzlemin denklemini bulun.

Teğet düzlemde şu formda olur

\begin{array}{r} T (x, y) = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) + f (x_{0}, y_{0}) \end{array}

Adım 1:

f

'nin kısmi türevlerinin ikisini de bulun.

f_{x} (x, y) =

f_{y} (x, y) =

[Cevap]

Adım 2: Hem

f

fonksiyonunun hem bu kısmi türevlerin ikisinin

(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})

noktasındaki değerini bulun:

f (π / 6, π / 4) =

f_{x} (π / 6, π / 4) =

f_{y} (π / 6, π / 4) =

[Cevap]

Bu üç sayıyı teğet düzlemin genel denklemine koyduğumuzda, nihai cevabı elde edebilirsiniz:

T (x, y) =

[Cevap]

Özet

İki değişkenli $f (x, y)$ ‍ fonksiyonuna teğet düzlem, bu fonksiyonun grafiğine teğet olan düzlemdir.

İki değişkenli $f (x, y)$ ‍ fonksiyonunun grafiğine belirli bir $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasında teğet olan düzlemin denklemi böyle gözükür:

T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.