Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 5

Ders 6: Stokes Teoremi (Makaleler)

Stokes teoremi

Bu Green teoreminin 3 boyutlu versiyonudur, bir rotasyonel vektör alanının yüzey integralini, o yüzeyin sınırındaki çizgi integraliyle ilişkilendirir.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ancak daha iyi kavramaya yardımcı olur:

Üç boyutlu rotasyonelin biçimsel tanımı

Bu makale fiziksel sezgi içindir

Stokes teoremini hesaplamalarda kullanmaya örnekler isterseniz, bir sonraki makalede bunları bulabilirsiniz. Burada hedef, teoremin neleri ifade ettiğini anlayacak, ve neden doğru olduğunu hissedecek şekilde sunmaktır.

Neye ulaşıyoruz

Stokes teoremi Green teoreminin 3 boyutlu versiyonudur.

Bir vektör alanının rotasyonelinin yüzey integralini, aynı vektör alanının yüzeyin sınırındaki çizgi integraliyle ilişkilendirir:

$\overset{\begin{matrix} rotasyonel vektör alanının yüzey integrali \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S 3 boyutlu bir yüzeydir}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rotasyonel F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} yüzeyin sınırının etrafındaki çizgi integrali \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍
$F (x, y, z)$ ‍ üç boyutlu bir vektör alanıdır.
$curl F$ ‍ $\nabla \times F$ ‍ ile aynı anlamı taşır. Bu, bir vektör alanı olan, $F$ ‍'nin üç boyutlu rotasyonelidir.
$S$ ‍ üç boyutlu bir yüzeydir.
$\hat{n}$ ‍, $S$ ‍'ye doğru birim normal vektörleri veren bir fonksiyonu temsil eder.
$C$ ‍ $S$ ‍'nin sınırıdır
$C$ ‍'nin yönü, sağ el kuralıyla belirlenir; yani sağ elinizin baş parmağını $S$ ‍'nin kenarının yakınında $\hat{n}$ ‍ yönünde koyun ve parmaklarınızı kapatın, $C$ ‍'yi kavradığınızda parmaklarınızın gösterdiği yön, integral almanız gereken yöndür.

3 boyutta bir çizgi integralini yorumlama

F (x, y, z)

üç boyutlu bir vektör alanını temsil ediyor olsun.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu vektör alanını uzayda uçuşan bir gazın hız vektörü olarak düşünün.

C

bu vektör alanının içindeki bir kapalı eğri olsun.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

F

'nin

C

etrafındaki çizgi integralini nasıl yorumlayabilirsiniz?

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Öncelikle, bu integral eğri yönelimli değilse mantıklı değildir.

d r

diferansiyel vektörü bir adım boyunca minik bir adım temsil eder, ama hangi yönde? Üç boyutta, "saat yönünde" veya "saat yönünün tersine" diyemezsin, çünkü bu eğriye baktığında uzayda nerede olduğuna bakar. Matematiksel olarak yönelimi nasıl ifade ettiğimi size belirteceğim, ama şimdilik bir yönelimi çizmek daha kolaydır:

Bir kuş olduğunuzu hayal edin,

C

eğrisi boyunca uzayda uçarken, rüzgar

F

vektör alanına göre esiyor olsun. (Bu animasyon için, küre şeklinde bir kuşsunuz).

Khan Akademi video wrapper

Video metni

C

boyunca hareketinizin her bir adımını (kanat çırpmasını?)

d r

minik vektörü olarak düşünün.

d r

ile bulunduğunuz

F

alanından rüzgar hızı vektörünün iç çarpımını alın. Rüzgar size yardım ederken pozitif olur, yüzünüze çarparken de negatif olur.

Şimdi, başlangıçta sorduğum çizgi integraline tekrar bakın:

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Uçuşunuz sırasında rüzgarın ne kadar faydalı veya külfetli olduğunu toplamak olarak düşünebilirsiniz. $C$ ‍ etrafında sıvının akış eğilimini ölçer. Pozitifse, rüzgar genelde faydalıydı, ve

C

etrafında belirtilen yöneliminizin yönünde dönme eğilimli olduğunu söyleyebilirsiniz. Negatifse, diğer yönde dönme eğilimi olduğunu söyleriz.

Bir yüzeyi doğrama

Green teoremi makalesini okuyanlara aşağıdaki bilgiler tanıdık gelecektir.

Uzayda sınırı

C

olan bir

S

yüzeyini düşünün,

C

sabuna batırdığınız bir tel döngüymüş, ve

S

döngüden çıkan bir sabun köpüğünün başlangıcıymış gibi.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu yüzeyi ortadan ikiye bölün, ve ortaya çıkan iki parçanın sınırlarına

C_{1}

C_{2}

deyin. Bunların ikisi de

C

'nin yönelimindeyse, (aynı vektör alanı

F

'nin) bu küçük eğriler etrafındaki çizgi integralleri yaptığınız dilim boyunca birbirlerini götürür:

C_{1}

C_{2}

'nin kalan kısımları

C

'nin orijinal sınırını oluşturur. Onun için, küçük parçaların etrafındaki çizgi integrallerinin toplamı,

C

'nin etrafındaki tam çizgi integraline eşit olur:

$\underset{S boyunca dilimi yok edin}{\underset{⏟}{\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Daha genel olarak,

S

'yi birçok gerçekten küçük parçaya ayırdığınızı gözünüzde canlandırın, sınırlarını

C_{1}, \dots, C_{n}

olarak adlandırın, ve hepsini

C

ile aynı şekilde yönlendirin. Bunu 3D'de çizmek biraz karışık olur, onun için 2D versiyonunu gösteren Green teoremi makalesinden bir görüntü çalıyorum, çünkü buradaki sezgi neredeyse aynıdır.

Bu küçük döngülerdeki çizgi integralleri

C

içindeki dilimlerde birbirini götürür, sadece

C

etrafında çizgi integraline eşit bir şey bırakır.

$\underset{Cancel out along slice through S}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Her parçadaki rotasyonel

S

'yi böyle parçalamanın bir nedeni, çok küçük bir döngü etrafındaki çizgi integralinin rotasyonel kullanılarak kestirilebilmesidir. Özellikle, bu parçalardan birine yakınlaşın. Yeterince küçükse, düz olarak düşünebilirsiniz.

Bu parçanın sınırına $‘ ‘ C_{k} "$ ‍ diyelim.
Bu küçük döngünün içinde, yüzeyde bir $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍ noktası seçin.
$\hat{n}$ ‍ yüzeye $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍ noktasında birim normal bir vektör olsun. "Hangi yöne doğru?", diye sorabilirsiniz. Sağ elinizin parmaklarını $C_{k}$ ‍ küçük döngüsü etrafında kıvırarak yönelimiyle hizalayın. Baş parmağını dışarı çıkarın, ve bu $\hat{n}$ ‍'nin yönü olur.
$d Σ$ ‍ bu küçük parçanın alanını temsil etsin (birazdan bir yüzey integrali için sonsuz küçüklükteki alanı kullanma beklentisindeyim).

Bu durumda,

F

'nin

C_{k}

etrafındaki çizgi integralinin yaklaşık değeri aşağıdaki gibi bulunabilir:

$\underset{\begin{matrix} Parçanın sınırının \\ etrafındaki integral \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Parçaya dik olan rotasyonelin bileşeni}{\overset{⏞}{((curl F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Parçanın alanı}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

Rotasyonelin anlamıyla ilgili bilginizden, veya bir vektörün rotasyonu nasıl edebileceği ile ilgili bilginizden emin değilseniz, rotasyonelle ilgili bu makaleyi tekrar etmeyi düşünün.

Bu kestirimin neden işe yaradığıyla ilgili sezgi şöyle olabilir:

rotasyonel F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

F

vektör alanı boyunca akan sıvının

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

noktasının yakınında nasıl döndüğünü veren bir vektördür. Örneğin, uzayda süzülen küçük bir tenis topunu gözünüzde canlandırırsanız,

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

merkezli,

rotasyonel F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

vektörü, etrafında esen rüzgara göre nasıl dönme şeklini tanımlar. Yani, vektör döndürme ekseni boyunca yönelir, ve büyüklüğü döndürme hızıyla orantılıdır.

Bu rotasyonel vektörüyle, yüzeyin birim normal vektörü

\hat{n}

arasındaki iç çarpımı alırsak, rotasyonel vektörün yüzeye dik olan bileşenini verir. Bu, yüzeyin kendisinde sıvı döndürme hızını tanımlar. Öte yandan, bu küçük sıvı döndürme miktarı, minik parçanın sınırındaki çizgi integraliyle de verilir:

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

Aslında, bu çizgi integrali çok küçük bir sayı verir (çünkü

C_{k}

çok kısadır), ama

rotasyonel F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

'yi içeren parçanın boyutundan bağımsız bir sayı verir. Bu nedenle, rotasyonelin ilgili bileşenini minik parçanın alanına göre ölçekleriz.

$\underset{\begin{matrix} Parçanın sınırının \\ etrafındaki integral \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Parçaya dik olan rotasyonelin bileşeni}{\overset{⏞}{((curl F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Parçanın alanı}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

(Bu yaklaşımı daha derinden anlamak için, üç boyutta rotasyonelin biçimsel tanımına bir bakın.)

Bir rotasyonelin yüzey integrali

Son iki bölümdeki fikirleri birleştirdiğimizde, bunu elde ediyoruz:

$\begin{aligned} \underset{\begin{array}{c} Tüm yüzeyin sınırının \\ etrafındaki integral \end{array}}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Küçük parçacıkların etrafındaki integrallerin toplamı}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Her parçaya rotasyonel kestirimi uygulayın}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} rotasyonel F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ}} \end{aligned}$ ‍

Bunları gittikçe küçük parçalara ayırırsak, bu son toplam

S

yüzeyindeki

(rotasyonel F \cdot \hat{n})

integraline yaklaşır. (Bu size mantıklı gelmiyorsa, yüzey integralleriyle ilgili makaleyi tekrar etmeyi düşünebilirsiniz).

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} curl F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ \\ ↓ As S daha ince ve daha çok kesilmiştir \\ \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ \end{aligned}$ ‍

Bunların tümünü bir araya getirdiğimizde, Stokes teoremi olarak bilinen aşağıdaki harika denklemi elde ederiz:

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Tamam, birkaçınız her bir parça etrafındaki çizgi integrali için bir kestirimle başladığım, ve şimdi kestirimsiz eşitlik kullanarak bir sonuca vardığım konusunda itiraz edebilir. Ve bunda haklı olurdunuz!

Green teoremi ile ilgili makalede, ki bu makale iki boyutta neredeyse aynı bir mantık içerir, kestirimin nasıl kaybolduğunun detaylarına girmek için birkaç bilgi sağladım. Merak ediyorsanız, aynı mantığı kullanmanızı ve Stokes teoremi ve yüzey integralleriyle nasıl çalıştığını düşünmenizi salık veririm.

Bu alıştırmanın daha da aydınlatıcı olması için, üç boyutta rotasyonelin biçimsel tanımını bilmeniz iyi olur.

Yönlendirmeyi hizalama

Yüzeyler birim normal vektörlerinin seçilen yönüyle yönlendirilir. Örneğin, sıklıkla bir yüzeyin dışa doğru birim normal vektörler kullanılarak yönlendirildiğini görürsünüz (her ne kadar tüm yüzeylerde dışa doğruya karşı içe doğru normal vektör düşüncesi olmasa da).

Eğriler, teğet vektörleri için seçilen yönde yönelimlenir.

Stokes teoreminin işe yaraması için, yüzeyin yönelimi ve sınırı aynı şekilde "eşleşmelidir". Aksi takdirde, denklemde

- 1

çarpanı eksik olur. İnsanların bu eşleşmenin nasıl göründüğünü tanımladığı birçok farklı yol vardır; hepsi aynı şeyi tanımlamaktadır:

Yüzeye birim normal vektörlerin hepsi size bakacak şekilde bakarsanız eğri saat yönünün tersi yönde durmalıdır.
Eğrinin yönelimi, sağ el kuralını izlemelidir, yani sağ elinizin baş parmağını yüzeyin kenarında bir birim normal vektör yönünde uzatırsanız, ve parmaklarınızı kıvırırsanız, eğride işaret ettikleri yön, yönelimiyle eşleşmelidir.
Sınır eğrisinde vücudunuz birim normal vektörün yönündeyken yürüdüğünüzde, yüzey sol tarafınızda şekilde yürümelisiniz.

Baloncuklar uçurma

Stokes teoremiyle ilgili işte şahane bir şey: Yüzeyin kendisi önemli değildir, tek önemli olan sınırıdır.

Örneğin, uzayda belirli bir döngüyü gözünüzde canlandırın, ve bu döngüyü sınır olarak alan bütün bu farklı yüzeyleri düşünün; bu döngüden çıkabilen farklı sabun köpükleri:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Verilen herhangi bir vektör alanı

F (x, y, z)

için,

\iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ

yüzey integrali bu yüzeylerden her birisi için aynı olacaktır. Bu çılgınca, değil mi? Bu yüzey integralleri uzaydaki tamamen farklı noktalardaki farklı değerleri toplamayı içerir, ancak gene de sonuçta aynı olduklarını görürüz; bunun nedeni bir sınırı paylaşıyor olmalarıdır.

Çoğu vektör alanında yüzey integrali söz konusu yüzeye kesinlikle bağlı olduğu için, bu durum rotasyonel vektör alanlarını ne kadar özel olduğunu gösterir. Konservatif vektör alanlarını öğrendiyseniz, bu, izden bağımsızlıkla benzerlik gösterir, ve gradyan vektör alanlarının ne kadar özel olduğuna işaret eder.

Hiç sınır olmasaydı ne olurdu?

Bir küre veya torus gibi kapalı bir yüzeyiniz varsa, sınır yoktur. Bunun anlamı, "sınır boyunca çizgi integrali" sıfırdır, ve Stokes teoremi aşağıdaki gibi okunur:

$\begin{array}{r} \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ = 0 \end{array}$ ‍

Yüzeyi birçok minik çizgi integrallerine ayırmayı düşündüğünüzde, bu küçük çizgi integraller sadeleşerek işle ilgili bir şey kalmaz.

Özet

Stokes teoremi Green teoreminin 3 boyutlu versiyonudur.

$\overset{\begin{matrix} Bir rotasyonel vektör alanının \\ yüzey integrali \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S 3 boyutlu bir yüzeydir}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (curl F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Yüzeyin sınırı etrafındaki \\ çizgi integrali \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

$\int_{C} F \cdot d r$ ‍ çizgi integrali, $F$ ‍ boyunca akan bir sıvının $S$ ‍ yüzeyinin $C$ ‍ sınırı boyunca ne kadar döndüğünü belirtir.
Yüzey integralinin sol tarafı, $S$ ‍ yüzeyinin üstündeki sıvı döndürmenin toplamı olarak görülebilir. $rotasyonel F$ ‍ vektörü her bir noktadaki sıvı döndürmesini tanımlar, ve yüzeyin birim normal vektörüyle iç çarpımını alırsak, $\hat{n}$ ‍, yüzeyin üstündeki sıvı döndürmesinin bileşenini çıkarır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.