Ana içerik

Konu: İstatistik ve Olasılık > Ünite 3

Ders 5: Örneklem Varyansı ve Standart Sapma

Poülasyon ve örneklem standart sapmasının bir daha gözden geçirilmesi

Popülasyon ve örneklem standart sapması

Standart sapma bir veri dağılımının yayılımını ölçer. Standart sapma, her veri noktasıyla ortalama arasındaki tipik uzaklığı ölçer.

Standart sapma için kullandığımız formül, söz konusu verilerin kendi başına bir popülasyon mu, yoksa daha büyük bir popülasyonu temsil eden bir örneklem mi olduğuna bağlıdır.

Elimizdeki veriler kendi başlarına bir popülasyon olarak kabul edilebiliyorsa, veri noktalarının sayısına yani $N$ ‍'ye böleriz.
Veriler daha büyük bir popülasyondan alınan bir örnekleme ait ise de, örneklemdeki veri noktalarının bir eksiğine yani $n - 1$ ‍'e böleriz.

Popülasyon standart sapması:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Örneklem standart sapması:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Her formüldeki adımlar, bir tanesi hariç aynıdır: elimizdeki veri bir örnekleme ait ise, veri noktası sayısının bir eksiğine böleriz.

Aşağıdaki örneklerde, her formülün üstünden adım adım geçeceğiz.

Neden $n - 1$ ‍ ile böldüğümüz oldukça karmaşık bir kavramdır. Bu konunun arkasındaki mantıkla ilgili daha fazla şey öğrenmek isterseniz bu videoyu izleyebilirsiniz.

Popülasyonun standart sapması

Popülasyon standart sapması formülünü tekrar verelim:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Popülasyon standart sapmasını böyle hesaplarız:

1. Adım: Formülde

μ

ile temsil edilen verinin ortalamasını hesaplayın.

2. Adım: Her veri noktasını ortalamadan çıkarın. Bu farklar, sapmalar olarak adlandırılır. Ortalamanın altındaki veri noktaları negatif sapmaya ve ortalamanın üstündeki veri noktaları da pozitif sapmaya sahip olacaktır.

3. Adım: Pozitif olmasını sağlamak için, her sapmanın karesini alın.

4. Adım: Sapmaların karelerini toplayın.

5. Adım: Toplamı, popülasyondaki veri noktası sayısının bir eksiğine bölün. Sonuç, varyans olarak adlandırılır.

6. Adım: Standart sapmayı elde etmek için varyansın karekökünü alın.

Örnek: Popülasyonun standart sapması

Dört arkadaş, yazdıkları son kompozisyon için aldıkları puanları karşılaştırıyorlardı.

Puanlarının standart sapmasını hesaplayın:

6

2

3

1

1. Adım: Ortalamayı bulun.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

Ortalama

3

puandır.

2. Adım: Her puandan ortalamayı çıkarın.

Puan: $x_{i}$ ‍	Sapma: $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

3. Adım: Her sapmanın karesini alın.

Puan: $x_{i}$ ‍	Sapma: $(x_{i} - μ)$ ‍	Sapmanın karesi: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$(0)^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

4. Adım: Sapmaların karelerini toplayın.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

Adım 5: Toplamı puan sayısına bölün.

\frac{14}{4} = 3, 5

6. Adım: 5. Adımda elde ettiğiniz sonucun karekökünü alın.

\sqrt{3, 5} \approx 1, 87

Standart sapma yaklaşık olarak

1, 87

'dir.

Popülasyonun standart sapmasıyla ilgili daha fazla şey öğrenmek isterseniz bu videoyu izleyebilirsiniz.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak isterseniz popülasyonun standart sapmasıyla ilgili bu alıştırmayı yapmayı deneyebilirsiniz.

Örneklem standart sapması

Örneklem standart sapması formülünü tekrar verelim:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Örneklem standart sapmasını böyle hesaplarız:

1. Adım: Formülde

\bar{x}

ile temsil edilen, verinin ortalamasını hesaplayın.

3. Adım: Pozitif olmasını sağlamak için, her sapmanın karesini alın.

4. Adım: Sapmaların karelerini toplayın.

5. Adım: Toplamı, örnekteki veri noktası sayısının bir eksiğine bölün. Sonuç, varyans olarak adlandırılır.

6. Adım: Standart sapmayı elde etmek için varyansın karekökünü alın.

Örnek: Örneklem standart sapması

Kaç tane kurşun kalem taşıdıklarını görmek için

4

öğrencilik bir örneklem oluşturulmuştur.

Cevaplarının örneklem standart sapmasını hesaplayın:

2

2

5

7

1. Adım: Ortalamayı bulun.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

Örneklem ortalaması

4

kurşun kalemdir.

2. Adım: Her puandan ortalamayı çıkarın.

Kurşun kalemler: $x_{i}$ ‍	Sapma: $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

3. Adım: Her sapmanın karesini alın.

Kurşun kalemler: $x_{i}$ ‍	Sapma: $(x_{i} - μ)$ ‍	Sapmanın karesi: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$(1)^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍

4. Adım: Sapmaların karelerini toplayın.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

5. Adım: Toplamı, veri noktası sayısının bir eksiğine bölün.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

6. Adım: 5. Adımda elde ettiğiniz sonucun karekökünü alın.

\sqrt{6} \approx 2, 45

Örneklem standart sapması yaklaşık olarak

2, 45

'tir.

Örneklem standart sapmasıyla ilgili daha fazla şey öğrenmek isterseniz bu videoyu izleyebilirsiniz.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak isterseniz örneklem ve popülasyon standart sapması ile ilgili bu alıştırmayı yapmayı deneyebilirsiniz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.