Örnek: Bölünebilme Kurallarını Anlayalım

Bu videoda sınavlarda karşımıza çıkabilecek birkaç örnek soru çözeceğiz.Bu soruların size bölünebilme kuralları konusunda yardımcı olacak. Hemen, bir örnek verelim. Bölünebilme kuralları güzel. Hem 12 hem de 20 ile bölünebilen sayılar başka hangi sayılara bölünebilir? Buradaki püf nokta şu: Eğer bir sayı hem 12 hem de 20 ile bölünebiliyorsa, hem 12'ye hem 20'ye bölünebiliyorsa, o zaman bu sayıların asal çarpanlarına da bölünebilir. Asal çarpan evet bakalım neymiş bu asal çarpanlar, bulalım. 12'nin asal çarpanları, 2 çarpı 6'dır. Ama 6 hala asal değil, değil mi. ? 6 eşittir, 2 çarpı 3, bu asal. O zaman 12'ye bölünen her sayı, 2 çarpı 2 çarpı 3'e de bölünür. Asal çarpanlarımız neydi ? 2 çarpı 2 çarpı 3'tür. Şimdi 20 ile bölünebilen sayılara bakalım, önce yine asal çarpanlarını bulalım. 2 çarpı 10, 10'da nedir ? 2 çarpı 5. Demek ki 20 ile bölünebilen bir sayı, 2 çarpı 2 çarpı 5'ede bölünür. Başka bir şekilde düşünürsek, asal çarpanları arasında iki tane 2 ve bir tane 5 var. Demek ki sayı eğer 12 ve 20'ye bölünebiliyorsa iki tane 2, bir tane 3 ve bir tane 5 olması lazım. 12 için 2 tane 2 ve 3, 20 için 2 tane 2 ve 5. Bir kontrol edelim. 20 ile bölmek demek, 2 çarpı 2 çarpı 5 ile bölmek demek. Bu iki 2 sadeleşir, 5'ler de sadeleşir, geriye 3 kalır. 12'ye bölersek bu, 2 çarpı 2 çarpı 3'e bölmekle aynı şey. Bu 12 demek. Bunlar sadeleşir ve geriye 5 kalır. Demek ki her ikisine de bölünebiliyor. Buradaki sayı da 60. 4 çarpı 3, yani 12, çarpı 5. Yani 60, 12 ve 20'nin en küçük ortak katı oluyor. Bu sayı 12 ve 20 ile bölünebilen tek sayı değil. Bu rakamı bir grup çarpanla da çarpabiliriz. Bunlara a, b,c diyelim. Bu 12 ve 20 ile bölünebilen en küçük sayı. Daha büyük sayılar, bu küçük sayının bölündüğü her sayıya bölünür. Şimdi soruları cevaplayalım. 12 ve 20 ile bölünebilen tüm sayılar aynı zamanda şu sayılara da bölünür. Bu sayıların ne olduğunu bilmiyoruz. Onun için onları kullanamayız.Sayı 60 olabilir ya da 120 olabilir. Bu sayıyı bölebilen sayılar...Mesela 2 olabilir, 2 doğru bir cevap. 2 mutlaka 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 3 çarpı 5'i bölecektir. 2 çarpı 2 de böler. 3 de böler. 2 çarpı 3 de böler. Bu da 6 eder. 2 çarpı 2 çarpı 3 de böler. Yani kısacası buradaki sayıların bütün kombinasyonlarını sıralayabilirim. 3 çarpı 5, sayıyı böler. 2 çarpı 3 çarpı 5 de böler. Yani kısaca bu asal sayılara baktığımızda, bunların tüm kombinasyonlarının aynı zamanda 12 ve 20 ile bölünebilen tüm sayıları da böldüğünü görürüz. Eğer bu bir şıklı soru olsaydı ve şıklar 7, 9, 12 , 8 olsaydı, 7 bu asal çarpanlardan biri değil derdim. 9 eşittir, 3 çarpı 3 onun için iki tane 3 lazım, demek ki 9 da olmuyor. 7 olmuyor, 9 olmuyor. 12 eşittir, 4 çarpı 3 değil mi? 4 çarpı 3'de eşittir, 2 çarpı 2 çarpı 3. Bu iki sayının en küçük ortak katının asal çarpanları arasında 2 çarpı 2 çarpı 3 var. Bu da 12.Demek ki 12 oluyor. 8 eşittir 2 çarpı 2 çarpı 2, 3 tane 2 lazım. Ama bizim 3 tane 2'miz yok, o zaman 8 de olmuyor. Evet bir örnek daha çözelim ve konuyu daha iyi anlayalım. Yine aynı soruyu soralım. 9 ve 24 ile bölünebilen sayılar aynı zamanda hangi sayılarla bölünür? Yine burada bir kere daha asal çarpanları buluyoruz. 9 ve 24'ün en küçük ortak katını bulmamız lazım. 9'un asal çarpanlarını bulalım hemen. 3 çarpı 3. 24'ün asal çarpanları diyince 2 çarpı 12. 12 ise 2 çarpı 6 değil mi? 6 da 2 çarpı 3. Demek ki 9 ile bölünebilen her sayının çarpanları arasında 9 da var ve asal çarpanları 3 çarpı 3. 24 ile bölünebilen her şeyde üç tane 2, yani 2 çarpı 2 çarpı 2 ve en az bir 3 var. 9'un içinde 3 var. Buradaki sayı hem 9 hem de 24'e bölünür. Bu sayı 72 oluyor. 72 eşittir 8 çarpı 9. Ve diyelim ki bu sorunun cevapları çoktan seçmeliymiş. Cevapları da 16, 27, 5, 11 ve 9 olsun. 16'nın asal çarpanları 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2, yani 2'nin dördüncü kuvveti. Dört tane 2 gerekiyor ama bizde yok. Bu sayılar başka sayılar da olabilir tabi, ama biz bilmiyoruz. Bu sayılar bizim 9 ve 24 tarafından bölündüğünü varsayacağımız sayının asal çarpanları. 16'yı atabiliriz çünkü içinde dört tane 2 yok. 27 eşittir 3 çarpı 3 çarpı 3. Bizde ne var ? İki tane 3 var. Biraz daha sadeleştirelim. 5 bir asal sayı. Burada 5 yok, evet onun için o şık da elendi. 11... o da asal, onun için onu da eliyoruz. 9 eşittir 3 çarpı 3. Evet bu saçma bir cevap olmuş, çünkü 9 ve 24'e bölünebilen tüm sayılar 9'a zaten bölünür. Cevap 9 olacak ama onu şıklara koymamamız gerekiyordu, çünkü kendisi sorunun içinde. Ama neyse siz çaktırmayın 9 olur. Eğer 8 olsaydı şıkların içinde yani, o da olurdu. 8 eşittir 2 çarpı 2 çarpı 2. 2 çarpı 2 çarpı 2 uyarsa, 4 de uyar. 4 eşittir 2 çarpı 2 değil mi. ? 6 da uyar, o da 2 çarpı 3. 18 de olur çünkü 18 eşittir 2 çarpı 3 çarpı 3. Neyse kısaca bu asal çarpanlardan oluşan tüm sayılar, 9 ve 24'e bölünebilen sayılara bölünebilirler. Evet umarım aklınızı çok karıştırmamışımdır. Hoşçakalın..