Doğrusal Dönüşümlerin Birleşimleri 1

ve doğrusal dönüşüm fikrimizi biraz daha geliştirip geliştirmeye C imizi görmek istiyorum elimizde iki doğrusal dönüşüm olduğunu düşünelim bunlardan bir ise dönüşümü x kümesi ile ye kümesini eşleştiren bir dönüşüm olsun X'in R üzeri enin ve yeğenin Dere üzeri Emin bir alt kümesi olduğunu varsayalım senin doğrusal bir dönüşüm olduğunu da biliyoruz yani bir matris ve 4 çarpımı olarak temsil edilebilir hemen yazıyorum herhangi bir x vektörünün sesi bir a matrisi ile ilk sektörünün çarpımına eşit ama adresi içinde fonksiyonu hangi ikisi verirsek Verelim bu kümede olduğumuzu yani X'in R üzeri enin bir elemanı olacağını söyleyebiliriz Evet XR üzeri en bir elemanı olacak aslına bakarsanız bu R üzeri Emin bir alt kümesi olan X'in bir eleman olacak ama matrisin boyutlar ne olacağını bulmaya çalışıyorum Bunun en tane bileşen olacağı için a matrisinin de en tane sütunu olması gerekiyor Bu durumda a matrisinin de birem çarpı en matrisi olduğunu söyleyebiliriz harika Buna ek olarak doğrusal bir dönüşümüz daha olduğunu söylemiştim ya da önce şu ana kadar söylediklerimiz için bir çizim yapalım 1x kümesi var demiştik Evet bu şekilde çiziyorum bunun R üzeri enin bir alt kümesi olduğunu da biliyoruz R üzerinde etrafına çizebiliriz s Yani bu doğrusal dönüşüm ilk sileye kümesi arasında bir eşleştirme yapıyor yani yeni bir kümeye doğru hareket edeceğiz ye Dere üzeri Emin bir alt kümesi idi eşleştirmek için de doğrusal dönüşümü buradaki Bir elemana uyguladığımızda yere kümesinden bir değeri elde ettiğimizi biliyoruz da bu dönüşümün matris gösterimi demeye en bir matrisle yapılabiliyor neden diyecek olursanız en tane elemanı olan bir şeyle ya da R üzeri en bir elemanı olan bir vektörle başlıyoruz VR üzeri hem de bulunan bir vektörü elde ediyoruz da ondan belki ikinci doğrusal dönüşüm leke doğrusal dönüşüm musun bu da ye kümesiyle Z kümesini eşleştiren bir dönüşüm olsun bunu da hemen çizim Evet bu da bu daze kümesi olsun yeğenin elemanlarını Z'nin elemanlarıyla eşleştirmek için de T doğrusal dönüşümü devreye giriyor Anlaştık mı Evet az önce de yaptığımız gibi yeğenin R üzeri Emin bir elemanı olduğunu biliyoruz ye Aslında de üzere hemen bir al kümes elemanı değil Neyse bu arada bunların da rastgele seçilmiş harfler olduğunu bilmelisiniz Yani bu he rüzgarda 5 olabilir Her neyse elimden gel ve genel ifadeler kullanmaya çalışıyor Z'nin de bir bakalım elimizde harf kalmadı Bize de diyelim ki R üzeri leğenin bir elemanı Yani al kümesi Olsun buna bağlı olarak te doğrusal dönüşümünün matris gösterimi hakkında Evet ne söyleyebiliriz doğrusal olduğunu biliyoruz bu forumda gösterebileceğini de biliyoruz O halde Tee xxr üzeri Emin bir eleman Iy dıt Eee xb matrisi ile x'in çarpımına eşit olur peki ya be matrisinin boyutları eksere üzeri Emin bir elemanı olduğuna göre em tane sütunu olacak VR üzeri leğenin elemanı olan bir kümeyle eşleştirme yaptığı içinde yani R üzeri Emin elemanları ile R üzerlerinin elemanlarını eşleştirildiği için bir l y m matrisi ile karşı karşıyayız Ben bunu gördüğünüzde doğal olarak aklınıza bu soru gelmiş olabilir İlk kümesiyle zevk kümesini doğrudan eşleştirmek Mümkün olabilir mi ve belki de bunun SV Tenin birleşimi olmasını da sağlayabiliriz Evet e küçük bir yuvarlak çiziyorum vs Bu ilk zz yi doğrudan eşleştir ecek ve adına da TV senin birleşimi olacak yeni bir ifade et başka bir değişle x kümesinden doğrudan Z'ye kümesine varabilmek için bu iki fonksiyonlu birleştiriyoruz ama hala tanımını yapmadık Yani bunu nasıl oluşturabiliriz dersiniz öncelikle öncelikle s dönüşümünü uygulayarak x burada evet seyi uygularsak esxi elde ederiz Öyle değil mi vebuye kümesinin bir elemanıdır bu değere 1dt dönüşümünü uygularsak bu değeri alıp de dön o uygulayacağız ve bunun sonucunda da bu değere ulaştığımızı düşünelim bunun bu değere yani R üzeri Emin bir elemanı olan ye kümesindeki bir değere uygulanmış te dönüşümü olduğunu söyleyebiliriz bu değere yani ise uygulanmış s dönüşümüne 1dt dönüşümünü uyguluyoruz Anlaştık mı bu göstereyim size çok havalı ve karmaşık gelmiş olabilir ama bunun R üzeri Emin bir alt kümesi olan yerdeki bir vektör olduğunu aklınızdan çıkarmayın Evet bu vektörde xd bulunuyor eşleştirmeyi yaptığımızda yedeki bir başka vektörü elde ediyoruz bu ve ön EDT dönüşümünü uyguluyoruz ve zeki bir başka vektörü elde ediyoruz buna bağlı olarak TV senin birleşimini tanımlamak istersek Evet şimdi de bir tanım yapacağız TV senin birleşimi için öncelikle XT kibir ve drs bu uyguluyoruz 281 rektöre seyi uyguluyoruz buraya geliyoruz ve buna da teyi uygulayarak Z kümesine varıyoruz Evet teyze uyguluyoruz bu noktada bunun doğrusal bir dönüşüm olup olmadığını da merak ediyor olmalısınız Yani iki doğrusal dönüşümün birleşimi acaba Yine bir doğrusal dönüşüm müdür not ediyorum bu doğrusal bir dönüşümdür dönüşümün doğrusal olabilmesi için iki koşul vardı değil mi ilk olarak iki vektörün toplamlarının doğrusal dönüşümlerinin toplamı vektörlerin doğrusal dönüşümlerinin toplamına eşit olmalıdır Evet ne kadar da karmaşık bir cümle oldu öyle değil mi bunun için şimdi X2 iki vektörün toplamlarına TV senin birleşimini uyguladığımız ı düşünüp Olayı biraz netleştirelim bu vektörler mesela iks veye vektörleri olsunlar tanım en iyi bana bunun neye eşit olduğunu söyleyebilirsiniz değil mi bu te doğrusal dönüşümünün X ve Y nin toplamına uygulanan s dönüşümüne uygulanmasıdır Evet videonun başında size senin doğrusal bir dönüşüm olduğunu söylemiştim o halde buradaki tanıma göre SX artı yeğenin s x artı seye olduğunu biliyoruz Neden Çünkü s doğrusal bir dönüşüm Evet bunun doğru olduğunu biliyoruz O halde Bunun yerine bunu yazabiliriz Buna ek olarak değerinde doğrusal bir dönüşüm olduğunu biliyoruz yani iki vektörün toplamına uygulanan dönüşüm vektörlere uygulanan dönüşümlerin toplamına eşit olmalı Hemen not ediyorum kese x yani x uygulanan dönüşüm seye uygulanan dönüşüm te artı TS ye eşittir bunun sebebinin de Tenin do Bu bir dönüşüm olması olduğunu bir kere daha hatırlatmak isterim son olarak Peki bu ne eşit Tüm bu ifade TV senin birleşiminin x uygulanması artı yine TV senin birleşiminin ye ye uygulanmasına eşittir TV senin doğrusal dönüşümler olması sebebiyle birinci koşulu Yani iki vektörün toplamlarına uygulanan birleşim vektörlere ayrı ayrı uygulanan birleşimlerin toplamına eşit olması koşulunu sağladık doğrusal dönüşüm için sağlamamız gereken bir koşul daha vardı değil mi İkinci koşul için bunu ilk Seki bir vektörün skaler bir katına uygulamamız gerekecek K ve senin birleşiminin x kümesinde bulunan bir x vektörün skaler bir katına uygulandığında birleşimin tanımına göre bunun C Çarpı x vektörüne uygulanan s dönüşümüne uy e t dönüşümüne eşit olması gerekir Bu neye eşittir Bu doğrusal bir dönüşüm olduğu için evetse doğrusal bir dönüşüm olduğu için bunun C çarpı SX uygulanan Teye eşit olduğunu biliyoruz evetse doğrusal bir dönüşüm olduğundan x çarpıcı ve uygulanan doğrusal dönüşüm C Çarpı x uygulanan doğrusal dönüşüme eşittir Bunu daha önce de görmüştük Şimdi de elimizde bir vektörün skaler katına uygulanan te dönüşümü aynı mantıkla yani teninde doğrusal bir dönüşüm olduğunu bildiğimiz için bunu C çarpı 1x vektörüne uygulanan seye uygulanan T olarak yazabiliriz ve bu da CC çarpı TV senin birleşiminin x vektörüne uygulanması ile aynı şeydir doğrusal dönüşüm için ikinci koşulu da sağladık bu bu ve bu birleşim tanımladığımız şekliyle doğrusal bir dönüşümdür Diyebiliriz Çok iyi ve tüm bunlar TV senin birleşiminin şu şekilde yazayım ilk sektörüne uygulanan TV senin birleşiminden oluşan dönüşüm bir matrisle ilk sektörünün çarpımı şeklinde ifade edilebilir diyebiliriz bum adresin boyutlarına Gelecek olursak en boyutlu bir uzaydan başladığımız için en tane sütünü olacak L boyutlu Bir Uzay yaptığımız için DL tane satır Yani bu bir leğene matris bu videoyu burada sonlandırmak istiyorum 20 dakikaya Aşan çok fazla video yaptım ve bu pek de iyi bir şey değil Bir sonraki videoda bunun doğrusal bir dönüşüm olduğunu ve bir matris 4 çarpım olarak gösterebileceğini bildiğimize göre bum adresi SV Tenin dönüşümlerini tanımlayan matrisler türünden Nas bu verebileceğimizi inceleyeceğiz