Matris Çarpımlarının Dağılma Özelliği

A, B ve C adında üç matrisimiz var. B ve C m n matrisleri, A da n m matrisi olsun. Matris çarpımının dağılma özelliği olup olmadığına bakmak istiyorum. A çarpı B artı C'yi deneyelim. Bunların hepsi matris. B matrisi b 1, b 2, b n'ye kadar sütun vektörleri olarak gösterilebilir. C matrisi de sütun vektörleri şeklinde gösterilebilir. A matrisi de, ama henüz onu yazmam gerekmiyor. C matrisini c 1, c 2, c n'ye kadar sütun vektörleri şeklinde düşünebilirim. Peki, A çarpı B artı C nedir? Önce B artı C'yi bulalım. Bu, eşittir A çarpı, B artı C.B artı C'yi bulurken matris toplamı tanımına göre, karşılıklı sütunları topluyoruz. Bunun anlamı ise, karşılıklı elemanları toplamak. Yani ilk sütun eşittir b 1 artı c 1.İkinci sütun, b 2 artı c 2. n'inci sütuna kadar devam ediyorsunuz. b n artı c n olacak. Matris çarpımına göre ise, A matrisi ile B artı C'nin sütun vektörlerinin çarpımını almam gerekiyor. Bunların ikisi de m n matrisi.Zaten toplama işlemi için boyutlarının aynı olması gerekli. Yani bu da m n matrisi olacak. Size A'nın zaten n m matrisi olduğunu söylemiştim. Bu çarpımın tanımlı olduğunu biliyoruz, çünkü A'nın sütun sayısı, B artı C'nin satır sayısına eşit. Bu, tanımlı. Ve şuna eşit olacak: A çarpı b 1 artı c1 sütun vektörü. İkinci sütun, A çarpı b 2 artı c 2 sütun vektörü ve şuna eşit olacak.A çarpı b 1 artı c 1 sütun vektörü. İkinci sütun A çarpı B2 artı C2 sütun vektörü. A çarpı B n artı Cn sütun vektörüne kadar devam edeceğiz. Matris çarpımının tanımını uyguladık. Birinci matrisi ikinci matrisin sütun vektörleriyle çarpıyoruz. Önceden matris vektör çarpımını tanımladığımız için şöyle diyebiliriz. Sağdaki ifade neye eşit? Matris vektör çarpımının dağılma özelliğini biliyoruz. O videoyu ne zaman yaptığımı hatırlamıyorum, ama çoktandır bu özelliği zaten varsayıyoruz. İspatı çok kolay. Bunu baştan yazabilirim.Birinci sütun eşittir A çarpı b 1 sütun vektörü artı A çarpı c 1 sütun vektörü. Bu terim, şu terime eşit. Bir sonraki ifade, A b 2 artı A çarpı c 2 olacak. n'inci sütun, A çarpı b n sütun vektörü artı A çarpı c n sütun vektörü olacak. Şimdi bu matrisi iki farklı matrisin toplamı olarak yazabilirim.O zaman bu neye eşit olacak? A b 1 birinci sütun, A b 2 ikinci sütun, A b n n'inci sütuna kadar. Buradaki terimleri aldım.Şimdi de şu matrise bakalım: A çarpı c 1, A çarpı c 2, A çarpı c n'ye kadar. Bu iki matrisin toplamını aldığımda, karşılıklı sütun vektörlerini topladığım için, şu yukarıdaki matrisi elde ederim. Peki, bu neye eşit? Tanımsal olarak, bu, A çarpı B matrisi. Matris çarpımı tanımına göre, birinci matrisi ikinci matrisin sütun vektörleriyle çarpıyorsunuz. Aynı tanımı kullanarak, bunun A çarpı C'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz. Yani bunun tamamı eşittir A çarpı B artı C. Şunu kesin olarak ifade edebiliriz: Çarpımlar ve toplamlar tanımlı ve boyutlar uyumlu olduğu sürece, A çarpı B artı C eşittir A B artı A C. Yani matris çarpımı, en azından soldan, dağılma özelliği gösteriyor. Bunu belirtmemin nedeni, matris çarpımının değişme özelliğine sahip olmaması. Yani B artı C çarpı A'nın buna eşit olup olmadığını bilmiyoruz. Genelde bunlar birbirine eşit değil. Yani bunun tersini aldığımızda, hala dağılma özelliği gösterip göstermeyeceğini henüz bilemiyorum.Şimdi bunu deneyelim. Mantığını bildiğiniz için bu sefer daha hızlı gideceğim. B artı C çarpı A'yı alalım. A'yı sütun vektörleri cinsinden yazayım. a 1, a 2 A'nın m sütunu var, diye hatırlıyorum-a m'ye kadar. Matris çarpımı tanımına göre B artı C de bir matris, öyle değil mi? İki matrisin toplamı olarak ifade etsek de, sonuçta yine de bir matris. Bu, eşittir B artı C çarpı A'nın sütun vektörleri. B artı C çarpı a 1, B artı C çarpı a 2, B artı C çarpı a m'ye kadar. Matris vektör çarpımının dağılma özelliğini daha önce gösterdiğimize göre,bu vektörü bu iki matrise dağıtabilirim. Daha önce bu özelliği göstermediysem de, ispatı çok kolay demiştim.Yani bu eşittir B a 1 artı C a 1 diyebiliriz. Bu, birinci sütun. İkinci sütun B a 2 artı C a 2, B a m artı C a m'ye kadar. Peki, bu neye eşit? Yazayım. B a 1, B a 2, B a m'ye kadar, C çarpı a 1, C çarpı a 2, C çarpı a m'ye kadar, öyle değil mi? Bu, şuradaki terimleri veriyor, ve şu da sütun vektörlerinin ilk terimlerini temsil ediyor. Matris çarpımının tanımına göre, bu B A'ya eşit, bu da C A'ya eşit. Böylece matris çarpımının dağılma özelliğinin iki yönde de geçerli olduğunu görmüş olduk. B artı C çarpı A eşittir B A artı C A ve A çarpı B artı C eşittir A B artı A C. Dikkat etmeniz gereken önemli bir husus, bu iki şeyin birbirine eşit olmadığı. Dağılma özelliği iki yönde de geçerli, ama matris çarpımında sıralama çok önemli. Burada A ikinci sırada.Yani B A artı C A. Bu, A B artı A C'ye eşittir diyemeyiz.Bunları değiş tokuş edemeyiz, yerlerini değiştiremeyiz. Çünkü, size daha önce defalarca söylediğim gibi, matris çarpımının değişme özelliği yoktur. Bu çarpımların sırasını değiştiremezsiniz. Ama, en azından, dağılma özelliğinin iki yönde de geçerli olduğunu bu videoda göstermiş olduk.