Matris Çarpımı Örnekleri

Bir önceki videoda iki matrisin çarpımının anlamını öğrenmiştik. Bir A matrisimiz var bir ve m n matrisi, m n matrisi bu A matrisi. Bir de B matrisi var bu da n k, n k matrisi. A B matris çarpımını tanımlamıştık. Çarpımı tanımlamadan önce, B'yi vektör kümesi olarak hemen buraya bir yazalım. b 1, b 2, b k'ye kadar sütun vektörleri olarak tanımlayalım. Bir önceki videoda, A B'nin çarpımını tanımlarken A'nın sütun sayısının B'nin satır sayısıyla aynı olması gerektiğini söylemiştik. Bu çarpımı, A çarpı B'nin sütun vektörleri olarak tanımlamıştık. Yani bu, eşittir A çarpı b 1, ikinci sütun A çarpı b 2, üçüncü çarpım A çarpı b 3, A çarpı b k'ye kadar gidecek. Bunu belki cebir dersinizde gördünüz ama bu tanımın güzel tarafı, çarpımın A ve B lineer transformasyonlarının bileşkesi olarak yorumlanması. Bir önceki videoda bunu size göstermiştim. Şimdi pratik olsun diye bir kaç matris çarpımı yapalım. Bir A matrisi yazalım şimdi. A matrisi eşittir 1 eksi 1, 2, 0, eksi 2, 1. İşin şimdi Aritmetik kısmı kolay olsun diye sayıları küçük tutuyorum. Diyelim ki, bir de B matrisi var. 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, eksi 1 ve 3, 1, 0, 2. A şimdi 2'ye 3 matrisi yani 2 satır 3 sütunu var. B de 3'e 4 matrisi. Tanımımıza göre A B çarpımı neye eşit olur? Çarpımın tanımlı olduğunu biliyorum, çünkü bunun sütun sayısı ile şunun satır sayısı aynı. Yani, matris vektör çarpımlarını alabiliyoruz. Buna göre A çarpı 1, 2, 3 sütun vektörünü bulacağız. Bu, çarpım matrisindeki ilk sütun olacak. İkinci sütun ise A çarpı 0, 0, 1 sütunu. Üçüncü sütun A çarpı A matrisi çarpı 1, 1, 0 sütun vektörü. Dördüncü sütun ise, A matrisi çarpı 1, eksi 1, 2 sütun vektörü. Böyle yazdığımızda, neden A'nın sütun sayısının B'nin satır sayısına eşit olması gerektiği anlaşılıyor zaten. Çünkü B'nin sütun vektörlerinin B'nin satır sayısı kadar bileşeni olacak. Yani b i'lerin her biri R 3'ün elemanı olacak. Bir matris vektör çarpımı, matrisin sütun sayısı vektörlerin boyutuna eşit olduğu zaman tanımlı. O nedenle bu sayı ve şu sayı aynı olmak zorunda. Yani matris matris çarpımını dört değişik matris vektör çarpımı sorusu olarak ifade etmiş olduk. Bu bizim için yeni bir şey değil o yüzden işlemleri yapalım. Peki bu neye eşitmiş? A B için, birinci sütun eşittir A matrisi çarpı 1, 2, 3 sütun vektörü. Peki bunu nasıl tanımladık? Şimdi A'nın satırlarının B'nin sütunlarıyla iç çarpımlarını aldığınızı düşünebilirsiniz. A'nın satırlarının B'nin sütunlarıyla iç çarpımları veya bunu bir matrisin devriği olarak da alabilirsiniz öyle değil mi? Şöyle yazayım. A'nın sütun vektörü 0, eksi 1, 2 ise A'nın devriğinde bu arada devrik matrislerden pek bahsetmedim ama anlıyorsunuz diye umuyorum, sanıyorum. Sütunları satıra çeviriyorum A'nın devriği yani 0, eksi 1, 2. Sütun vektöründen satır vektörüne dönüyoruz. Buna A'nın devriği dersek, A matrisiyle bu vektörün çarpımı, birinci satırla birinci sütunun iç çarpımı olur. Bu notasyonla yazayım. 1, eksi 1, 2 satırını sütun vektörü olarak ifade ettim iç çarpım 1, 2, 3. Bu satırı veya satırın sütun versiyonunu aldım ve bununla iç çarpımını buldum. Böyle yazmamın sebebi ise, iç çarpımı sadece sütun vektörler üzerinden tanımlamış olmam. Satır vektörleri için de iç çarpım alabilirim ama yeni bir tanım yazmak istemiyorum. Yani bu matris vektör çarpımının ilk elemanı olacak. İkinci eleman ise, A'nın ikinci satırı ile bu vektörün iç çarpımı olacak. 0, eksi 2,1 ile 1, 2, 3'ün iç çarpımı. Buna devam ediyoruz şimdi A çarpı 0, 0, 1. A'nın birinci satırının sütun vektörü hali 1, eksi 1, 2 ile 0, 0, 1'in iç çarpımı. Sonra A'nın ikinci satırının bu sütun vektörüyle iç çarpımı. Yani 0, eksi 2, 1 ile 0, 0, 1'in iç çarpımı. İki satır kaldı evet biraz sıkıcı bir işlem ama dikkatsizlik yapmaya çok açık ama önemli olan süreci anlamanız. Bir sonraki işlem A'nın bu satırını sütun vektör yani 1 eksi 1, 2 olarak yazıp 1, 1, 0 vektörüyle iç çarpımını almak. Ve A'nın şu satırı 0, eksi 2, 1 ile 1, 1, 0'ın iç çarpımı. Son iki eleman ise A'nın üst satırı 1, eksi 1, 2 ile 1, eksi 1, 2 sütun vektörünün iç çarpımı ve son olarak 0, eksi 2 , 1 satırı ile 1, eksi 1, 2 sütun vektörünün iç çarpımı. Çarpım matrisimiz bu şekilde olacak. Şu anda biraz karmaşık göründüğünü biliyorum ama iç çarpımları hesapladığımızda baya sadeleşeceğini göreceksiniz. 1 çarpı 1. Yazayım. 1 çarpı 1 eşittir 1 artı eksi 1 çarpı 2 yani eksi 2 artı 2 çarpı 3 artı 6 eder pzitif 6. Şimdi bu terimi bulalım 0 çarpı 1 eşittir 0 artı eksi 2 çarpı 2 yani eksi 4 artı 1 çarpı 3, 3. Sıra şu terimde 1 çarpı 0 eşittir 0 artı eksi 1 çarpı 0, 0 artı 2 çarpı 1 eşittir artı 2. Bu terim 0 çarpı 0 eşittir 0 artı eksi 2 çarpı 0 şöyle yazayım 0 artı eksi 2 çarpı 0 eşittir 0 artı 1 çarpı 1. Yani artı 1. Burada da 1 çarpı 1 eşittir 1 artı eksi 1 çarpı 1 eşittir eksi 1 artı 2 çarpı 0 yani 0. Şurada da ne oldu bakalım 0 çarpı 1 eşittir 0 eksi 2 çarpı 1 eşittir eksi 2 ve 1 çarpı 0 eşittir 0. Neredeyse bitti. 1 çarpı 1 eşittir 1 eksi 1 çarpı eksi 1 eşittir 1 2 çarpı 2 eşittir 4. Ve son olarak son olarak 0 çarpı 1 eşittir 0 eksi 2 çarpı eksi 1 eşittir 2 ve 1 çarpı 2 de 2. Evet son düzlükteyiz, sadece bu değerleri toplamamız gerekiyor. Bu matrislerin çarpımı bir 2'ye 4 matrisi veriyor. 1 eksi 2, 1 eksi 2 artı 6 eşittir 5. Eksi 4 artı 3 eşittir eksi 1. Bu 2. Bu 1. 1 eksi 1 artı 0 eşittir 0 eksi 2 öyle değil mi? eksi 2 burası eksi 2. 1 artı 1 artı 4 eşittir 6 ve 2 artı 2 eşittir 4 ve tamamladık. A B çarpımı bu matrise eşit. A ve B'ye bir daha bakalım. Bu çarpımın neyi temsil ettiği hakkında şimdi biraz daha konuşabiliriz. Şunu kopyalayıp yapıştırayım işte. Bu A, bu da B idi. Çarpımını aldığımızda, bu matrisi elde ettik. Şimdi burada dikkatimizi çekebilecek başka ilginç şeyler de var. Eğer hatırlarsanız bu çarpımın tanımlı olması için A'nın sütun sayısının B'nin satır sayısına eşit olması gerektiğini söylemiştik. Bu durumda bu eşitlik mevcuttu. Sonuçta 2'ye 4 matrisi elde ettik. Bunlar A'nın satır sayısı ve B'nin sütun sayısı. 2'ye 4 matrisi çıktı. Peki, B A çarpımını alırsak ne buluruz? Buradaki tanımı uygularsak, neye eşit olur? B matrisi çarpı 1, 0 sütunu. Sonra, B matrisi çarpı eksi 1, eksi 2 sütunu ve B matrisi çarpı 2, 1 sütunu. Bu matris vektör çarpımını alabilir miyiz bakalım. Bu matris 3'e 4 matrisi. Bu vektör ise R 2 vektörü. Yani bu, tanımlı değil. Eleman sayısından fazla sütunumuz var. Böyle bir matris vektör çarpımı demek ki tanımlı değil. Bu hem buna eşit değil hem de tanımsız. 3'e 4 matrisinin 2'ye 4 matrisiyle çarpımı tanımsız. Bu iki sayı birbirine eşit olmadığı için tanımsız. Bu tanımlı bu da tanımsız olduğuna göre A B'nin B A'ya eşit olmadığını biliyoruz. Dikkatinizi çekmek istediğim son bir konu var tahminen cebir dersinde matris çarpımı konusunda öğrendiğiniz bir konudur bir hususdur. Bir önceki videoda iki transformasyonum varsa S, R 3'ten R 2'ye bir transformasyonsa S transformasyonunu uygulamak bu matrisle çarpmakla aynı şeydir diye öğrenmiştik. R 3 ve R 2'yi kullandım çünkü A matrisi 3 sütunlu. Yani A'yı üç boyutlu bir vektöre uygulayabiliriz. Aynı şekilde B matrisini de R 4'ten R 3'e tanımlı bir T transformasyonunun matrisi olarak tanımlayabilirim. R 4'te bir x vektörü verilirse bu vektörün B matrisi ile çarpımı R 3'te bir vektör olur. İkisinin bileşkesini düşünürsek burada R 4, şurada R 3 ve R 2 var. T, R 4'ten R 3'e bir transformasyon. T böyle bir transformasyon ve B çarpı x'e eşit. S de R 3'ten R 2'ye bir transformasyon. Yani S şöyle bir şey. S de A çarpı R 3'te bir vektöre denk. A çarpı B'yi şimdi görselleyebliriz. A ve B'nin çarpımı, şimdi düşüneyim, S'nin T ile bileşkesi neydi? S'nin T ile bileşkesi neydi? S T x'e eşit. R 4'ten R 3'e bir transformasyon alıyoruz, sonra da R 3'ten R 2'ye S transformasyonunu uyguluyoruz. Yani bu S T demek. S T, R 4'ten R 2'ye bir transformasyon. Şimdi bunun ilginç tarafı ise, bunların matris gösterimlerini bulursanız -bunu bir önceki videoda yapmıştık - bu, A matrisi çarpı B x vektörü olur. Matris vektör çarpımı tanımına göre, bunun da bir transformasyon olduğunu biliyorum. Yani S T x eşittir A B matrisi, yani A B çarpı x vektörü. Bunları göstermemin sebebi, burada matris çarpımı yapmış olmamız. A matrisi ile B matrisini çarptık ve şu sonucu bulduk. Umarım bir dikkatsizlik yapmamışımdır tabi. Ama buradaki anafikir bunu cebir dersinizde görmüşsünüzdür bunun S ve T transformasyonlarının bileşke matrisi olduğudur. Yani, S ve T'nin bileşkesinin matrisi. matris çarpımı böyle ezbere yapmanızı istemiyorum yani bu çarpımların anlamını bilmenizi istiyorum. A ve B'nin lineer transformasyon matrisi olduğu bir durumda bileşke transformasyonun matrisini bulmak için bu çarpımı kullanıyoruz. Neyse, umarım bunu faydalı buldunuz.