Ters Dönüşüm Matrisi Oluşturmak İçin Bir Yöntem Türetme

o karşımızda bir ama adresi var Ve bunu indirgenmiş satır eş Elon ya da basamak formuna getirmek istiyorum Bu daha önce defalarca yaptığımız birşey ve birkaç satır işleminden ibaret olduğunu biliyoruz Bu videoda bu satır işlemlerinin anın sütün vektörleri ne uygulanan doğrusal dönüşümlerle eşdeğer olduklarını göstermek istiyorum Ve tabii ki de Bir örnek üzerinden gideceğiz ayı indirgenmiş satır basamak formuna getirmek için yapacağımız ilk şey buradaki girdilerin sıfır olmasının gerektiği öyle değil şuraya yazacağım birinci girdiği olduğu gibi tutacağız Evet sütun vektörlerinin birinci girdileri bu şekilde kalacaklar yazıyorum bir -1 -1 aynı zamanda dönüşümüz de oluşturalım Az önce ne demiştim satır işlemleri sütün vektörleri ne uygulanan bir dönüşüme eşdeğerdir O halde bu dönüşüm bir sütün vektörünü alacak a1 a2 ve A3 diyelim Evet bunları doğrusal bir şekilde dönüştürecek sütunun ilk birisi olduğu gibi kalacak da demiştik O halde bu A bir buradaki de bir çizgi belki indirgenmiş satır basamak formuna getirmek için ne yaparız bunu sıfıra eşitlemeye çalışırız Öyle değil mi bunun içinde ikinci satır yerine ikinci satır artı birinci satırı yazabiliriz Çünkü böyle yaparsak bunların toplamından 0 elde edebiliriz hemen bunu da dönüşümü aktaralım ikinci satırın yerine ikinci satır artı birinci satırı yazacağız ikinci satır artı birinci satır şuraya yazayım -1 artı 10 eder iki artı eksi 1 1 ve 3 artı eksi bir değişik buna sıfır olmasını istiyoruz o halde 3. satırın yerine de üçüncü satır et bu birinci satır yazalım Evet 3. satırın yerine 3. satır -1 satırı yazacağım bir eksi 10 eder bir eksi eksi 1 2 ve dört eksi eksi bir deprem eş İşte bu kadar bunun doğrusal bir dönüşüm olduğunun farkındasınız değil mi ve bu da doğrusal dönüşümleri matris vektör çarpımları olarak ifade edebileceğimiz anlamına gelir mesela buradaki dönüşümü Evet dönüşüm matrisini bulmak için TX eşittir e11s matrisi çarpık x yazalım Ama adresini daha önce kullandığımız için farklı bir harf seçmem gerekiyor ve aklıma hep s harfi geldi tamam buradaki seyi nasıl buluruz dönüşümü sütün vektörleri ne ya da bilim adresi standart taban vektörleri ne uygulayarak hemen göstereyim bilim adresi çok küçük bir biçimde yazıyorum Evet bir ama sırf Ver Sefer 010 v001 Evet birim matris buna benzer şimdi dönüşüm adresini bulmak için bunu sütun vektörleri ne uygulayacağız Sonuç olarak bunu biraz daha büyümeme sütün vektörlerinin her birini uygulayacağız demiştim bir satır her zaman olduğu gibi kalacak O halde buraya 10 ve sıfır yazalım Bu arada bunu bütün Sütün vektörlerinin hepsini aynı anda uyguladığımda hemen ettiğim Evet bu sürtünmek türlerinin dönüşümünü alıyoruz ama birinci girdileri olduğu gibi kalır ikinci girdi ikinci girdi artık birinci girdi olacak Öyle değil mi yani 0611 eder bir artı 0da bir ve 0600 3. girdiğinin yerine de Üçüncü girdi -1 girdiği yazacak değil mi eve var yani 0-1 -1 eder sıfır ex200 ve 1 -0 da bir bu dönüşümü bilim adresi sütün rektörlerini uyguladığımızda buradaki satır işlemlerinin aynılarını yaptığımızı görüyorsunuz diyeyim satır işlemlerinin aynılarını buradaki Bir ima freze uyguladık ve bu dönüşüm adresine buradaki sütün vektörlerinin Ya da buradaki sütün rektörlerinin her biriyle çarptığımızda bu sütün vektörlerin elde edeceğimizi biliyorsunuz bunun da yani dönüşüm adresinin DS ye eşit olduğunu belirteyim yeni bir matris oluşturduk sütunlarını s çarpı bu sütün vektörü ile buluyoruz hemen yazıyorum s çarpı bir -1 bir İkincisi tütünse çarpı rengi istememiştim Tamam sese çarpı eksi 321 ve üçüncü sütunda s çarpı buna yani Eksi 13 dörde eşit olacak bu dönüşümü yani sevme adresini buradaki sütün vektörlerle uyguluyoruz bu dönüşümün matris gösterimidir buradaki buna dönüşecek Şurada gösterirsem daha iyi olacak ama buradakiler de ihtiyacım olabilir bunun için en iyisi birkaç tane o kullanıyorum bu matris buna dönüşecek buna bağlı olarak bunu farklı bir şekilde de gösterebiliriz Bu ne yetişir bir matrisi alıp bu sütün vektörler ile çarptığımızda matrescence sütün vektörlerinin dönüştürmüş oluruz ve bu damatris ile mahracen çarpımının tanımıdır Evet Buse matrisi eşittir s matrisi yani 100 110 eksi 101 çarpı ama ama yani bir -1 bir eksi 1 2 1 -1 3 ve 4 bunu iyice anladığınızdan emin olmak istiyorum Bu dönüşüm adresimiz yani SV Bu da ama adresi bunların çarpımını aldığımızda da bunu elde ediyoruz evet kopyalayıp yapıştıracağım kopyala ve yapıştır Tüm bunları buradaki satır işlemlerini yaptığımızda Buradaki sütunların her birine doğrusal bir dönüşüm uyguladığımız ve bunun da bum adresi başka bir matris olan seyle çarpmakta aynı şey olduğunu hatırlatmak için az öncesine matrisinin neye eşit olduğunu da bulmuştu Ama buradaki satır işlemlerini bir matris çarpımı olarak da yapabiliriz buradan yola çıktığımızda çok ilginç bir sonuca ulaşıyoruz bir matrisi indirgenmiş satır basamak formuna getirdiğimizde şuradan devam edeyim ama bu burada başladığımız şey bitirelim Tamam ve bunu indirgenmiş satır basamak formuna getirelim buna es1 adını Verelim bu durumda da espir çarpı Ay ah eşit oluyor değil mi doğru olduğunu az önce gördüm şimdi isterseniz bir dönüşüm daha uygulayalım Evet indir gelmiş satır basamak formuna getirmek için farklı satır işlemleri yapacağız ortadaki satır aynı kalacak 0121 satırın yerine birinci satır artı iki satır yazacağız Neden Çünkü bunun sıfır olmasını istiyorum farklı bir renk kullanayım bir artı 01 e eşit -1 artı 10 a -1 artık İkide bir 3. satırım yerine de üçüncü satır -2 çarpı iki satır yazalım Evet Böylece 02 -2 çarpı 10 ve 5 -2 çarpı Ben de birer çok az kaldı Bunlar da satır yaparsak işimiz tamamlanacak ama bu son yaptığımız neydi farklı bir doğrusal dönüşüm böyle değil mi Hemen bunu da not etmek istiyor Bu birinci doğrusal dönüşüm üzümü ve bunun üzerine ikinci bir doğrusal dönüşüm daha gerçekleştirdik Buna da tr2 adını verelim farklı bir göstereyim kullanacağım bir sütun vektörü X1 X2 vx3 Az önce ne yaptık Yani uyguladığımız dönüşüm Nasıl bir şeydi ilk satırın yerine ilk satır artı iki satır yazdık X1 artık s**** ikinci satılık olduğu gibi bıraktık ve üçüncü satın yerine de üçüncü satır -2 çarpı iki satır yazdı Bu da farklı bir doğrusal dönüşümden başka bir şey değil Ve bu doğrusal dönüşüm de yani te 2'nin 1x vektörüne uygulanmasında bir bu Düşünmek türlü eski Çarpı x olarak ifade edebiliriz bu durumda bu da bu dönüşüm adresini sütunların hepsine uyguladığımız için bu matrisle bu dönüşüm adresinin çarpımına eşit olur bunun ne olduğunu bilmiyoruz ama ne anlatmaya çalıştığını anladığınızı Düşünüyor bu matrise S2 çarpı buna yani Es bir çarpı aya eşit olacak hemen yazıyorum Eski Çarpı x bir çarpı Anlaşıldı mı bu eski Çarpı x bir çarpı anneye şiresi ki çarpı espri bulursak aile bunu çarparak buradan buraya da geçiş yapabiliriz ama bunu hala indirgenmiş satır basamak formuna getirmedi çok az daha işimiz kaldı burada yerim kalmadı için yukarıdan devam edeceğim Evet şöyle göstereyim Şimdi de üçüncü satırı olduğu gibi bırakalım 001 Bu ikinci satırın yerine ikinci satır -2 çarpı 3. satırı yazacağım sıfır Evet 1 -2 çarpı 0'dan 1 ve 2 -2 çarpı birden de 0 elde edeceğiz son olarak birinci satırın yerine de birinci sakın eksi 3. satırı yazalım bir -0 bir eder Sıfır ex200 ve bir eksi birde 01 yerler için yaptığımız gibi bu dönüşümün ne olduğunu da yazmak istiyorum burada P3 adını verelim morla yazacağım Evet bir ilk sektörüne uyguladığımız T3 dönüş x-back Görünürde bir sütun vektörü olarak X1 X2 vx3 şeklinde yazalım eşittir Az önce ne yaptı birinci satırın yerine birinci satır eksi 3. satır yazdım yani X1 eksik S3 ikinci satırın yerine ikinci satır bu iki çarpı 3. satılık koyduk yani ix2 -2 X3 ve üçüncü satırda olduğu gibi bıraktık bu dönüşümü de yani t3x de bir başka dönüşüm adresi olan esen üç Çarpı x olarak ifade edebiliriz bu sütunların her birine bu dönüşüm uyguladığımızda bunun bu dönüşüm adresiyle çarpımı elde ediyoruz evet 3. olduğunu henüz bilmiyoruz ama bunu Es üç çarpı çarpı buradaki matris yani eski Çarpı x bir çarpı olarak yazabilir Peki bu nedir bilim adres Öyle değil mi Bunu indirgenmiş satır basamak formuna getirdik ve bilim matrisi elde ettik Ve bunu daha önceki videolardan da hatırlayacaksınız eğer bir matrisin indirgenmiş satır basamak formu birim adresi eşitse tersine bilir bir dönüş ve tersine bilir bir matriste karşı karşıya olduğumuzu anlarız ve bu bir dönüşümün dönüşümü de olabilir mesela T diyelim mehteri daha önce kullanmıştım Ama bu da te0 olsun Hadi Evet bu dönüşümü biri x uygularsak Ağa çarpı iksiri elde edebiliriz durum buysa bunun tersine bilir olduğunu anlarız indir gelmiş satır basamak formuna getirdik Evet bu dönüşüm adresini indirgemiş satır basamak formuna getirdik ve birim matris elde ettik Bu bunun tersine bilir olduğu anlamına gelir anlaştık bunun yanında daha ilginç bir şeylerin gerçekleştiğinde görmüş olmalısınız buraya bir takım satır işlemleri yaparak geldik ve bu satış işlemlerinin başlangıçtaki dönüşüm adresimizi satın işlemlerimizi temsil eden dönüşüm adresleriyle çarpmakta aynı şey olduğunu söyledi Bu çarpımı aldığımızda birim matris bulduk Bir önceki videoda matrisin tersini nyada e t sıfırın tersinin diyelim Bu da doğrusal bir dönüşümdür Evet bunun a matrisinin tersi ise olarak da temsil edilebileceğini gördük ters dönüşüm adresi çarpı dönüşüm matrisi birim matris e eşittir Bunu daha önce gördüğümüz hatırlıyorsunuz değil mi ispatını yapmıştık şimdi buraya dönelim ve işin ilginç eleştiri noktaya gelelim elimizde bir seri matrisin bununla çarpımı var Ve bunun sonucunda da biri matrisi elde ettik O halde bu yani bu matrislerin çarpımı ters matrisi eşit olmalıdır Eğer dönüşüm adresi Aynen espri ne olduğunu bulduğumuz gibi istersek bunun ne olduğunu da bulabiliriz buna benzer işlemlerle eski vs 3'ünde ne olduğunu bulup çarpımlarını alırsak bulduğumuz şey canın tersine eşit Bunun yerine daha ilginç bir şey de yapabiliriz buradaki matris çarpımını birim adresi uygularsa bu ne olur dersiniz yani burada yaptığımız şeyleri mesela birinci satır işlemini bu A matrisi Bu da birim matris olsun Evet ıııı Ne diyordum yaptığımız ilk doğrusal dönüşüm burada kimden bahsediyorum Evet evet bu dönüşü mesh bir çarpı aya eşittir ilk satır işlemleri Bunlar da öyle değil mi ve sonucunda da bunu elde etmişti aynı satır işlemlerini bilim adresi uygularsak ne buluruz Es bir çarpı birim matris espri eşittir standart tabağa sütunlarının eyle çarparsanız Çarpın o şeyin kendisini elde edersiniz yani burada da geriye Es bir kalır isterseniz Es bir çarpıyı yazalım Ama sonuç Es bir iki satır işlemlerini de uyguladıktan sonra ne bulmuştuk eski çarpı es1 çarpı aynı işlemleri buna uyguladığımızda ne buluruz eski çarpı Bu bir çarpı birim matris uyguladığımız son satır işlemleri sonucunda da esse3 çarpı es2 Çarpı x bir çarpı a bulmuştuk aynı işlemleri buna yapınca essüt çarpı E8 Çarpı x bir çarpı birim matris elde ederiz Şimdi bu satır işlemlerini uyguladığımızda burada bilim matrisi elde ettik Öyle değil mi peki ya burada da ayağa bu satın işlemleri uygulayarak benim matrisi elde ettiği ise aynı işlemleri birim matris ve uygularsak ne elde ederiz işte bunu Az önce birim adresine ile çarparsanız Çarpın o şeyin kendisine elde edeceğinizi söylemiştim Peki bu nedir anın tersi O halde bunu Pers dönüşüm adresini bulmak için genel bir yöntem olduğunu söyleyebiliriz buna bağlı olarak elimizde bir dönüşüm adresi olduğunu düşünelim mesela a matrisi birim adresi buraya koyar Bu ilaveli bir matris elde edebilirim buna bir takım satır işlemleri uygularsak bunları da matris çarpımı olarak gösterelim bu satır işlemlerini hepsine uyguluyoruz Evet aynı uyguladığımız satır işlemlerini birim Adresi de uyguluyoruz a indirgenmiş satır basamak formuna geldiğinde birim adrese de aynı işlemleri uyguladığımız ın altına bir kere daha çizelim birim matris anın tersine dönüşür bunun ters matrisleri bulmak için çok faydalı bir yöntem olduğunu söyleyebilirim teoride Neden işe yaradığını gördü Bir sonraki videoda ise bir örnek göreceğiz Hatta belki de bu videoda başladığımızı çözeriz