Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)

Rotasyonel ısınma, iki boyutta sıvı döndürme

Rotasyonel bir vector alanı boyunca bir sıvının döndürmesini ölçer. Biçimsel olarak, rotasyonel sadece üç boyutta geçerlidir, ama burada ısınma için kavramı iki boyutta yapıyoruz.

Arka plan

Not: Bu makale boyunca şu kuralı kullanacağım:

$\hat{i}$ ‍, $x$ ‍ yönündeki birim vektörü temsil eder.
$\hat{j}$ ‍, $y$ ‍ yönündeki birim vektörü temsil eder.

Neye ulaşıyoruz

Rotasyonel bir vektör alanındaki "döndürme"yi ölçer.
İki boyutta, eğer bir vektör alanı $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍ fonksiyonuyla verilirse, bu döndürme şu formülle verilir:
$2 boyutlu rotasyonel \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Sıvı akışında döndürme

İçinde küçük girdaplar olan, hoş bir vektör alanımız olduğunu düşünün:

Bu belirli vektör alanı aşağıdaki fonksiyonla tanımlanmıştır:

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

Şimdi bu vektör alanının bir sıvı akışını, belki d bir nehrin kaotik bir kısmındaki sıvı akışını, tanımladığını hayal etmenizi istiyorum. Aşağıdaki video bunun neye benzediğinin bir simülasyonunu gösterir. Mavi noktalarla gösterilen bir sıvı parçacığı grubu, bu vektör alanı boyunca akacaktır. Bunun anlamı, herhangi bir zamanda, her noktanın en yakınındaki ok boyunca hareket edeceğidir. Çember içindeki dört bölgede neler olduğuna odaklanın.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Tüm kaosun ortasında, sıvının çember içindeki bölgelerde döndüğünü fark edebilirsiniz. Sol ve sağdaki çemberlerde, döndürme saat yönünün tersinedir, ve üstteki ve alttaki çemberlerde, döndürme saat yönündedir.

Önemli Soru: Bize bir vektör alanını tanımlayan bir $\vec{v} (x, y)$ ‍ fonksiyonuyla, uzayda belirli bir $(x_{0}, y_{0})$ ‍noktası verildiğinde, vektör alanında akan bir sıvı $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasında ne kadar döner?

Vektör analizi işlemi rotasyonel, bu sıvı döndürme fikrini bir formüle dönüştürerek bu soruyu cevaplar. Bir vektör alanını tanımlayan bir fonksiyonu alan ve her noktada bu vektör alanının verdiği sıvı döndürmeyi tanımlayan bir fonksiyon veren bir işlemcidir.

Teknik olarak, rotasyonel işlemi sadece üç boyutta geçerlidir. Bunun ne anlama geldiğini ve nasıl hesaplandığını bir sonraki makalede görebilirsiniz, ama bu makalede iki boyutta sıvı döndürmeyi bir formülle tanımlayarak ısınıyoruz.

İki-boyutlu döndürmeyi bir formülle yakalama

Dönen bir sıvıyı tanımlayan vektör alanlarının en basit örneklerinden biri

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] = - y \hat{i} + x \hat{j} . \end{array}

Bu şöyle görünür:

Hareketlendirildiğinde, sıvı parçacıklarının hepsi çemberler çizer.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bir anlamda, bu saat yönünün tersine dönmenin en mükemmel örneğidir ve sadece

\vec{v} (x, y) = - y \hat{i} + x \hat{j}

fonksiyonunun neden saat yönünde dönme verdiğini anlayarak iki boyutlu bir vektör alanındaki dönmenin genel formülünü anlayabilirsiniz.

$\hat{i}$ ‍ bileşeni

İlk olarak,

- y \hat{i}

bileşeninin neden saat yönünün tersine döndürme belirttiğini anlayalım. Sıvımızda,

y

eksenine paralel doğrultuda bulunan küçük bir dal olduğunu düşünelim. Daha da ayrıntılı olarak, bir ucunun başlangıç noktasında,

(0, 0)

, ve diğerinin

(0, 2)

noktasında olduğunu söyleyelim. Bu vektör alanının

- y \hat{i}

bileşeni, bu daldaki noktalardaki sıvı süratine ilişkin olarak neyi belirtir?

Bunun anlamı dalın üstündeki hızın

- 2 \hat{i}

, sola doğru bir vektör, ve dalın altındaki hızın

0

olduğudur.

Bu dal için, bunun anlamı, saat yönünün tersine döndürmenin önemli etkeninin vektör alanında yukarı hareket ettikçe vektörlerin daha sola doğru olmasıdır. Daha çok sembolle ifade edersek, buradaki önemli nokta,

y_{0}

artıkça,

(x_{0}, y_{0})

noktasına bağlı bir vektörün

\hat{i}

bileşeninin azalmasıdır.

Daha çok sembolle söylersek,

$\frac{\partial}{\partial y} (- y) = - 1 < 0$ ‍

Şimdi bu fikri biraz genelleştirelim.

Soru: Daha genel bir vektör alanını düşünün.

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

v_{1}

v_{2}

bileşenleri herhangi skaler değerli fonksiyonlardır. Küçük bir dalı bir

(x_{0}, y_{0})

noktasına,

y

eksenine paralel bir doğrultuda koyarsanız, sadece

v_{1}, v_{2}

(x_{0}, y_{0})

'a bakarak dalın dönüp dönmeyeceğini nasıl belirleyebilirsiniz?

Cevap: $y$ ‍ ilgilendiğimiz noktanın, $(x_{0}, y_{0})$ ‍, yakınında değiştikçe, $v_{1}$ ‍'in değişim hızına bakın:
$\frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \leftarrow Eğer negatifse saat yönünün tersine döndürmeyi gösterir$ ‍
Bu negatifse, $y_{0}$ ‍ arttıkça, vektörlerin daha sola doğru olduğunu gösterir, yani döndürme saat yönünün tersine olur. Pozitifse, $y_{0}$ ‍ arttıkça vektörler daha sağa doğru olur, yani döndürme saat yönündedir.

$\hat{j}$ ‍ bileşeni

Daha sonra, orijinal vektör alanının

x \hat{j}

bileşeninin de neden saat yönünün tersine döndürme belirttiğini görelim. Bu sefer,

x

-eksenine paralel bir dal hayal edelim. Özellikle, dalın bir ucunu başlangıç noktasına

(0, 0)

, ve diğer ucunu

(2, 0)

noktasına koyun.

Başlangıç noktasına bağlı vektör

0

'dır, ancak diğer uç olan

(2, 0)

'a bağlı vektör

2 \hat{j}

, yukarı doğru bir vektördür. Böylece, sıvı sopanın sağ ucunu yukarı iter ve soldaki uca kuvvet uygulanmaz, onun için saat yönünün tersine döndürme oluşacaktır.

Bu ikinci dal için, sağa gittikçe vektörlerin düşey bileşeni artar, bu da saat yönünün tersine döndürme belirtir. Yani,

x_{0}

arttıkça,

(x_{0}, y_{0})

noktasındaki vektörün

y

bileşeni artar.

Daha genel bir vektör alanı fonksiyonu söz konusu olduğunda,

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

x

değişirken

v_{2}

'deki değişikliğe bakarak, bir

(x_{0}, y_{0})

noktası yakınında bu etkiyi ölçebiliriz.

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \leftarrow Eğer pozitifse saat yönünün tersine döndürmeyi gösterir$ ‍

Bileşenleri birleştirme

Bu iki bileşeni bir araya koyduğumuzda, bir

(x_{0}, y_{0})

noktası yakınında bir

\vec{v}

vektör alanı boyunca akan sıvının dönmesi, aşağıdaki miktar kullanılarak ölçülebilir:

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

Bu miktarı hesapladığınızda, pozitif bir sayı

(x_{0}, y_{0})

etrafında saat yönünün tersine dönmeyi belirtecektir, negatif bir miktar bunun tersini yani saat yönünde dönmeyi belirtir. Eğer bu miktar

0

'a eşitse, sıvıda

(x_{0}, y_{0})

etrafında dönme yoktur. Eğer tam olarak hesaplamakla ilgileniyorsanız, bu formül sıvının

(x_{0}, y_{0})

yakınındaki açısal süratinin tam olarak iki katını verir.

Bazı yazarlar buna

\vec{v}

'nin "iki-boyutlu rotasyonel" derler. Bu standart değildir, ama bu formülü "2d-rotasyonel" bir işlemmiş gibi yazalım.

$2 boyutlu rotasyonel \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Örnek: 2d vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürmeyi inceleme

Problem: Şu fonksiyonun tanımladığı vektör alanı düşünün

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} \cos (x + y) \\ \sin (x y) \end{array}] \end{array}

Bu vektör alanına göre akan bir sıvının noktada saat yönünde mi, yoksa saat yönünün tersine mi döndürmesi olduğunu belirleme

\begin{aligned} p & = (0, \frac{π}{2}) \end{aligned}

Adım 1: Bu fonksiyonun

2 boyutlu rotasyonel

ini hesaplayın.

$2 boyutlu rotasyonel \vec{v} =$ ‍

Bulduğumuz 2d-rotasyonel formülünü bu fonksiyona uygularız. Bu bize her noktanın yakınındaki döndürmeyi belirten yeni bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Sonra, $(0, π / 2)$ ‍ noktasını yerine koyarak buradaki döndürmenin pozitif (saat yönünün tersine), sıfır, veya negatif (saat yönünde) olduğunu görün.
$\begin{aligned} 2 boyutlu rotasyonel \vec{v} & = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} \\ = \frac{\partial}{\partial x} (\sin (x y)) - \frac{\partial}{\partial y} (\cos (x + y)) \\ = \cos (x y) y - (- \sin (x + y)) \\ = \cos (x y) y + \sin (x + y) \end{aligned}$ ‍

Adım 2:

(0, π / 2)

noktasını koyun.

$2 boyutlu rotasyonel \vec{v} (0, π / 2) =$ ‍

Adım 3: Yorumlayın. Sıvı bu noktanın etrafında ne şekilde dönmeye meyillidir?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Saat yönünde
(B şıkkı)
Saat yönünün tersine
(C şıkkı)
Döndürme yoktur

Bu sıvı akışında bir parçacık örneğini izleyelim:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Tüm parçacıkların toplandığı üste doğru olan nokta,

p = (0, \frac{π}{2})

ile eşleşir.

2 boyutlu rotasyonel

hesaplamalarımızla tutarlı olarak, parçacıklar bu bölgede saat yönünün tersine döner.

Özet

Rotasyonel bir vektör alanındaki ''döndürme''yi ölçer.
İki boyutta, eğer bir vektör alanı $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍ fonksiyonuyla verilirse, bu döndürme şu formülle verilir:
$2 boyutlu rotasyonel \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Üçüncü boyuta!

Bir sonraki makalede anlatılan gerçek rotasyonel işlemi, bu fikri ve formülü üç boyuta taşır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Sıvı akışında döndürme

İki-boyutlu döndürmeyi bir formülle yakalama

i^‍ bileşeni

j^‍ bileşeni

Bileşenleri birleştirme

Örnek: 2d vektör alanında rotasyonel kullanarak döndürmeyi inceleme

Özet

Üçüncü boyuta!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

$\hat{i}$ ‍ bileşeni

$\hat{j}$ ‍ bileşeni