Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)

Diverjans formülü için sezgi

Google Classroom

Bazı kısmi türevleri toplamanın dışa doğru sıvı akışıyla ilişkisi nedir?

Arka plan

Diverjans

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Bakışımızı iki boyutlu bir vektör alanıyla kısıtlayalım,

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} v_{1} (x, y) \\ v_{2} (x, y) \end{matrix}]$ ‍

Hatırlayın, diverjans formülü böyle gözükür:

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y}$ ‍

\vec{v} (x, y)

'ye göre sıvı akışındaki yoğunluk değişimiyle bu neden ilişkili?

Her bileşene ayrı ayrı bakalım.

Örneğin,

v_{1} (x_{0}, y_{0}) = 0

olduğunu varsayın; bu

(x_{0}, y_{0})

'a bağlı vektörün yatay bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

'ın pozitif olduğunu düşünelim. Bu,

(x_{0}, y_{0})

noktası yakınında, vektör alanının bunun gibi gözükebileceği anlamını taşır.

$x$ ‍ büyüdüğünde $v_{1} (x, y_{0})$ ‍'ın değeri yükselir.
$x$ ‍ küçüldüğünde $v_{1} (x, y_{0})$ ‍'ın değeri azalır.

Böylece,

(x_{0}, y_{0})

'ın solundaki vektörler biraz sola doğru olacaktır ve

(x_{0}, y_{0})

'ın sağındaki vektörler biraz sağa doğru olacaktır (yukarıdaki şemaya bakın). En azından

x

bileşeni söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışı gösterir.

Bunun aksine, eğer

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

negatifse, böyle gözükür:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın solundaki vektörler sağa bakar.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın sağındaki vektörler sola bakar.

Bu,

x

-bileşenine göre, içe doğru bir sıvı akışı belirtir.

v_{1} (x_{0}, y_{0})

sıfırdışı olduğunda da aynı sezgi geçerlidir. Örneğin,

v_{1} (x_{0}, y_{0})

pozitifse ve

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

da pozitifse, bunun anlamı

(x_{0}, y_{0})

etrafındaki vektörlerin hepsinin sağa doğru olduğudur, ama soldan sağa baktıkça büyüdüğüdür. Sıvının soldan yavaşça

(x_{0}, y_{0})

'a aktığını, ama sağa doğru hızlıca aktığını hayal edebilirsiniz. Girenden fazlası çıktığından dolayı, bu noktadaki yoğunluk azalır.

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

değerini analiz etmek de benzer şekilde yapılır. Vektör alanında yukarı ve aşağı hareket edildiğinde ve

y

değeri değiştiğinde, vektörlerin düşey bileşeni,

v_{2}

'deki değişimi gösterir.

Örneğin,

v_{2} (x_{0}, y_{0}) = 0

olduğunu varsayın; bu

(x_{0}, y_{0})

'a bağlı vektörün düşey bileşeni olmadığı anlamını taşır. Ayrıca

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

'ın pozitif olduğunu, yani yukarı doğru hareket ettikçe, vektörlerin düşey bileşenlerinin arttığını varsayın.

İşte böyle görünebilir:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın altındaki vektörler biraz aşağı bakacak.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍'ın üstündeki vektörler biraz yukarı bakacak

y

-yönü söz konusu olduğunda, bu dışarı doğru bir sıvı akışını belirtir.

Aynı şekilde,

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

negatifse,

y

-yönü söz konusu olduğu sürece,

(x_{0}, y_{0})

yakınında içe doğru bir sıvı akışı belirtir.

Diverjans bu iki etkiyi ekler

İki bileşeni

\frac{\partial v_{1}}{\partial x}

ile

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

birleştirmek,

x

y

yönlerindeki ayrı ayrı etkileri birleştirerek, belirli bir noktanın yakınındaki sıvı yoğunluğunun artıp azalmayacağını belirlememize yardımcı olur.

\nabla \cdot \vec{v} = \overset{\begin{matrix} Yoğunluktaki değişiklik \\ x -yönünde \end{matrix}}{\overset{⏞}{\frac{\partial v_{1}}{\partial x}}} + \underset{\begin{matrix} Yoğunluktaki değişiklik \\ y -yönünde \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{\partial v_{2}}{\partial y}}}

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Arka plan

Sezgi için ısınma

Diverjans formülünün arkasındaki sezgi

Diverjans bu iki etkiyi ekler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?