Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 9: Diverjans ve Rotasyonel (Makaleler)

Diverjans

Google Classroom

Diverjans belirli bir vektör alanına göre akan bir sıvıdaki yoğunluk değişimini ölçer.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Bir vektör alanını bir sıvı akışını temsil ediyor gibi yorumlama.
Diverjans, bu vektör alanını tanımlayan vektör alanını tanımlayan vektör değerli fonksiyonu alan, ve her bir noktada sıvının yoğunluğundaki değişimi ölçen skaler değerli bir fonksiyon veren bir işlemcidir.
Diverjans formülü budur:
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍
Burada $v_{1}$ ‍, $v_{2}$ ‍, $\dots$ ‍, $\vec{v}$ ‍'nün bileşke fonksiyonlarıdır.

Sıvı akışındaki yoğunluğu değiştirme

Aşağıdaki vektör alanına bakalım:

Dolayısıyla resim budur, ancak fonksiyon nedir?

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} 2 x - y \\ y^{2} \end{matrix}]$ ‍

\vec{v}

'nün girdileri iki boyutlu uzayda noktalardır,

(x, y)

, ve çıktıları, vektör alanında ilgili

(x, y)

noktasına bağlı olan, iki boyutlu vektörlerdir.

Vektör alanını düşünmenin güzel bir yolu, bunların temsil edebileceği sıvı akışını hayal etmektir. Özel olarak, iki boyutta her

(x_{0}, y_{0})

noktası için,

(x_{0}, y_{0})

'da duran, o noktaya bağlı vektörün,

\vec{v} (x_{0}, y_{0})

, yönünde akan bir parçacığı hayal edin. Ayrıca, bu parçacığın hareketinin süratinin bu vektörün uzunluğuyla belirlendiğini varsayın. Aşağıdaki animasyon, sadece kısa bir an için, verilen

\vec{v}

fonksiyonu için bunun neye benzediğini gösterir:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Dikkat ederseniz, bu sıvı akışında, bazı bölgeler parçacıklar uzağa aktıkça, daha az yoğun hale gelir, orta üst kısımda olduğu gibi. Öte yandan, bu bölgenin aşağısında ve solunda, parçacıklar birbirine doğru akar ve noktalar daha yoğunlaşır.

Önemli soru: Verilen bir

\vec{v} (x, y)

vektör değerli fonksiyonu için, bir

(x_{0}, y_{0})

noktası etrafında parçacıkların yoğunluğundaki değişimi bu parçacıklar

\vec{v} (x, y)

ile verilen vektörlerde akarken nasıl hesaplarız?

Bu soruyu, adına diverjans denilen bir türev varyasyonu kullanarak cevaplandırabiliriz. Aşağıda sıvı akışıyla ilgili daha fazla konuşacağız, ama önce bu kavramı ifade etmek için notasyonu ve formülü kuralım.

Diverjans için notasyon ve formül

Diverjans için notasyon, gradyandan hatırlayacağınız "

\nabla

" sembolünü kullanır. Gradyanda olduğu gibi, bu sembolün kısmi türev sembolleri gibi bir vektörü temsil ettiğini düşünürüz.

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] \end{array}

\vec{v} (x, y, \dots)

vektör değerli fonksiyonunun diverjansını böyle yazarız:

$\nabla \cdot \vec{v} \leftarrow \vec{v ’nin diverjansı}$ ‍

\nabla

aslında vektör olmadığı için, bu biraz saçmadır. Girdileri sayı değiş, işleçtir. Yine de, bu iç çarpım gösterimi diverjansı bulmak için çok faydalıdır, sadece bir bakın:

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 x - y \\ y^{2} \end{array}] \\ = \frac{\partial}{\partial x} (2 x - y) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{2}) \\ = 2 + 2 y \end{aligned}

Daha genel olarak, diverjans herhangi bir boyuttaki vektör alanlarına uygulanabilir. Bunun anlamı,

\vec{v}

'nün çıktısı aynı boyutlara sahip olduğu sürece, herhangi bir sayıda girdisi olabileceğidir. Aksi takdirde, bir vektör alanını temsil edemez.

\vec{v}

'yi bileşenlerine göre böyle yazabiliriz:

\begin{aligned} \vec{v} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ v_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{array}] \end{aligned}

Bu durumda

\vec{v}

'nün diverjansı böyle gözükür:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n}} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}] = \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial v_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}

Bunu hızlıca bir şemayla özetleyelim:

Diverjansın yorumlanması

Diyelim ki, bir

\vec{v}

fonksiyonunun

(x_{0}, y_{0})

boyunca diverjansını buluyorsunuz, ve sonuç negatif çıkıyor.

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) < 0 \end{array}

\vec{v}

ile tanımlanan vektör alanında akan bir sıvının,

(x_{0}, y_{0})

noktasında daha çok yoğunlaşacağı anlamını taşır. Örneğin, aşağıdaki animasyon başlangıç noktasında negatif diverjansı olan bir vektör alanını gösterir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Diğer yandan, eğer bir

(x_{0}, y_{0})

noktasındaki diverjans pozitifse,

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) > 0 \end{array}

bu vektör alanı boyunca akan sıvı

(x_{0}, y_{0})

etrafında daha az yoğun olur. İşte bir örnek:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Son olarak, sıfır-diverjans kavramı, sıvı dinamiğinde ve elektrodinamikte çok önemlidir. Bir sıvı serbestçe aksa bile, yoğunluğunun sabit kaldığını gösterir. Su gibi sıkıştırılamayan sıvıları modellerken bu özellikle kullanışlıdır. Aslında, bir sıvının sıkıştırılamaz olması fikri aşağıdaki denklemle ifade edilebilir:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = 0 \end{array}

Böyle vektör alanlarına "diverjanstan uzak" denir. Bunun neye benzeyeceğinin bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Kaynaklar ve alıcılar

Bazen, negatif diverjanslı noktalar için, anlık bir sıvı hareketi sonrası bir sıvının daha yoğun hale geldiğini düşünmek yerine, bazı kişiler sıvının sürekli akarken o noktada boşaldığını hayal ederler. Bunun neye benzediğini burada görebilirsiniz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu nedenle, negatif diverjanslı noktalara genellikle "alıcı" denir.

Aynı şekilde, pozitif diverjanslı noktaları anlık hareket sırasında daha az yoğunlaşır şeklinde düşünmek yerine, bu noktalar sürekli daha fazla sıvı parçacığı üreten "kaynaklar" olarak görülebilir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Daha yüksek boyutlarda diverjans

Yaptığım tüm şemalar ve animasyonlar iki boyutlu olsa da, bu kavramların üç veya daha fazla boyut için de uygulanabildiğini anlamalısınız.

Diverjansın neyi temsil ettiğini anlayıp anlamadığınızı sınamak için bunu iyi bir zihinsel egzersiz olarak düşünün: Üç boyutlu bir vektör alanını hayal edin ve pozitif, negatif ve sıfır diverjanslı noktaların neye benzediğini zihninizde canlandırın.

Örnek 1: Diverjansı hesaplayın ve yorumlayın

Problem: Bir vektör alanını

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = (x^{2} - y^{2}) \hat{i} + 2 x y \hat{j} \end{array}

ile tanımlayın.

Diverjansı hesaplayın, ve

(1, 2)

noktasının daha çok bir kaynak mı, yoksa alıcı mı olduğunu belirleyin.

Adım 1: Diverjansı hesaplayın.

$\nabla \cdot \vec{v} =$ ‍

Adım 2:

(1, 2)

koyun.

$\nabla \cdot \vec{v} (1, 2) =$ ‍

Adım 3: Yorumla. Sıvı

(1, 2)

'de bir kaynak mıdır, yoksa çukur mudur?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Kaynak
(B şıkkı)
Lavabo
(C şıkkı)
Hiçbiri

Kafa karıştırıcı işaretler

Pozitif diverjansın yoğunlukta negatif bir değişim belirtmesi, ve negatif diverjansın yoğunlukta pozitif bir değişim belirtmesi beni hep şaşırtır. Bu kafa karıştırıcıdır, öyle değil mi? Kaynak/alıcı yorumunun biraz yardımı olur, çünkü pozitif diverjanslı noktalar daha fazla sıvı üretir, ve negatif diverjanslı noktalar bunları emmektedir.

Kişisel olarak, hatırlama yöntemim,

f

'nin birim fonksiyon olduğu durumdur,

(x, y)

noktasını

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

vektörüne taşır. Ortaya çıkan vektör alanında, vektörler başlangıç noktasından öteyi gösterir (neden?) ve

\nabla \cdot f

'yi hesaplamak kolaydır.

\begin{array}{r} \nabla \cdot f = \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 + 1 = 2 \end{array}

Diverjansı bir süre görmedikten sonra, her seferinde geri döndüğümde, ve "hmm, yoğunlukta azalmaya yol açan pozitif diverjans mıdır, yoksa negatif diverjans mı" diye düşündüğümde, bu küçük egzersizi yaparım ve hatırlarım ki, "Ah evet, pozitif diverjans dışarı doğru bir akışı gösterir."

Diğer kaynaklar

İzleyen makalede, diverjans formülünün neden sıvı akışıyla ilişkili olmadığını açıklayacağım.

Sonrasında, çizgi integralleri ve yüzey integralleri yapıldıktan sonra, diverjansın biçimsel tanımını anlatıyorum.

Özet

Bir vektör alanını bir sıvı akışını temsil ediyor gibi yorumlama.
Diverjans, bu vektör alanını tanımlayan vektör alanını tanımlayan vektör değerli fonksiyonu alan, ve her bir noktada sıvının yoğunluğundaki değişimi ölçen skaler değerli bir fonksiyon veren bir işlemcidir.
Diverjans formülü budur:
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍
burada $v_{1}$ ‍, $v_{2}$ ‍, $\dots$ ‍, $\vec{v}$ ‍'nün bileşke fonksiyonlarıdır.

Diverjansın sıvıyla ilgili olmayan her türlü bağlamlarda kullanıldığı aklınızda bulunsun. Örneğin, elektrodinamik büyük bir kullanım alanıdır. Sıvı akışı yorumlaması çok faydalıdır, ve sembollerin körü körüne kullanımından çok daha güçlü bir sezgi vere, ama zaman zaman ihtiyatla yaklaşılmalıdır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.