Kısmi Entegrasyon ve Parçalı İntegral

Kısmi integral alma konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Kısmi integral alma becerilerinizi bir daha gözden geçirin.

Kısmi integral alma nedir?

Kısmi integral alma, çarpımların integrallerini bulmak için bir yöntemdir:
integral, space, space, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, space, space, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
veya özetlersek:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
İki çarpandan birisini başka bir fonksiyonun türevi olarak düşünerek, "ters çarpım kuralı" olarak kabul edilebilecek bu yöntemi kullanabiliriz.
Kısmi integral almaya ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Has olmayan integrallerin kısmi türevleri

Örneğin, integral, x, cosine, x, space, d, x belirsiz integralini bulalım. Bunu yapmak için, u, equals, x ve d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, space, d, x diyoruz:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, space, d, x, equals, integral, u, space, d, v
u, equals, x, d, u, equals, d, x olduğu anlamına gelir.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, space, d, x, v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis olduğu anlamına gelir.
Şimdi kısmi integral alalım!
∫xcos(x)dx=∫udv=uv−∫vdu=xsin(x)−∫sin(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Yaptıklarınızı daima sonucunuzun türevini alarak kontrol edebileceğinizi hatırlayın!
Problem 1.1
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Açıklamayı göster
Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Belirli integrallerin kısmi türevleri

Örneğin, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x belirli integralini bulalım. Bunu yapmak için, u, equals, x ve d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, space, d, x diyoruz:
u, equals, x, d, u, equals, d, x olduğu anlamına gelir.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, space, d, x, v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript olduğu anlamına gelir.
Şimdi kısmi integral alalım:
=∫05xe−xdx=∫05udv=[uv]05−∫05vdu=[−xe−x]05−∫05−e−xdx=[−xe−x−e−x]05=[−e−x(x+1)]05=−e−5(6)+e0(1)=−6e−5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Problem 2.1
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, start superscript, 3, end superscript, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Açıklamayı göster
Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.