Kısmi İntegral

Kısmi integral alma konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Kısmi integral alma becerilerinizi bir daha gözden geçirin.

Kısmi integral alma nedir?

Kısmi integral alma, çarpımların integrallerini bulmak için bir yöntemdir:
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx\displaystyle\int \!\!u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int\!\! u'(x)v(x)dx
veya özetlersek:
∫u dv=uv−∫v du\displaystyle\int u\ dv = uv-\int v\ du
İki çarpandan birisini başka bir fonksiyonun türevi olarak düşünerek, "ters çarpım kuralı" olarak kabul edilebilecek bu yöntemi kullanabiliriz.
Kısmi integral almaya ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Has olmayan integrallerin kısmi türevleri

Örneğin, ∫xcos⁡xdx\displaystyle\int x\cos x\,dx belirsiz integralini bulalım. Bunu yapmak için, u=xu = x ve dv=cos⁡(x)dxdv=\cos(x) \,dx diyoruz:
∫xcos⁡(x)dx=∫udv\displaystyle\int x\cos(x)\,dx=\int u\,dv
u=xu=x, du=dxdu = dx olduğu anlamına gelir.
dv=cos⁡(x)dxdv=\cos(x)\,dx, v=sin⁡(x)v = \sin(x) olduğu anlamına gelir.
Şimdi kısmi integral alalım!
∫xcos⁡(x)dx=∫udv=uv−∫vdu=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x)dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Yaptıklarınızı daima sonucunuzun türevini alarak kontrol edebileceğinizi hatırlayın!
Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Belirli integrallerin kısmi türevleri

Örneğin, ∫05xe−xdx\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx belirli integralini bulalım. Bunu yapmak için, u=xu = x ve dv=e−xdxdv=e^{-x} \,dx diyoruz:
u=xu=x, du=dxdu = dx olduğu anlamına gelir.
dv=e−xdxdv=e^{-x}\,dx, v=−e−xv = -e^{-x} olduğu anlamına gelir.
Şimdi kısmi integral alalım:
=∫05xe−xdx=∫05udv=[uv]05−∫05vdu=[−xe−x]05−∫05−e−xdx=[−xe−x−e−x]05=[−e−x(x+1)]05=−e−5(6)+e0(1)=−6e−5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.
Yükleniyor