Doğrusal fonksiyonun türevi için limit ifadesi

g(x), eksi 4x artı 7’ye eşit olduğuna göre, x eksi 1’e giderken, bu ifadenin limitini bulmamız istenmiş. Evet, soru hakkında düşünmeye başlamadan, gelin, şu doğruyu çizelim ve neden bahsettiklerini bir görelim, anlamaya çalışalım. Evet, önce eksenleri çizelim. Bu dikey, bu da yatay eksen. Evet, bu eksende x değerleri olacak. g(x)’in y eksenini kestiği nokta pozitif olmalı, eğimi de eksi 4 olacağı için, Yaklaşık olarak buna benzeyen bir doğrumuz olacak. Eğimi, eksi 4. Bu denklem, eğim kesişim noktası şeklinde olduğu için, eğimi bulmamız oldukça kolay oldu. Evet, şimdi de, buradaki ifadenin, x, eksi 1’e giderken limitini bulmamız gerekiyor. Eksi 1’i grafikte işaretliyorum. Burası, eksi 1 virgül g(-1) olacak. Şunları da tamamlayalım. Bu y ekseni, bu da, y eşittir g(x)’in grafiği. Tamam... İfadeyi yakından incelediğinizde, rastgele seçilmiş bir, x virgül g(x) noktasıyla, bu nokta arasındaki eğimi sorduklarını anlayabilirsiniz. Gelin, biz de bunu yapalım ve burada rastgele bir x belirleyelim. Evet, işte x. Bu x’se, bu da, x virgül g(x) olur. Bakın, bu ifadede, y’deki değişim, Yani g(x) eksi g(-1), bölü x’deki değişim, x’deki değişim de bu uzaklıktır. Ve bu uzaklık da buna eşit olduğu için, tekrar ediyorum, yeşil noktanın varış noktası olduğunu kabul edersek, dikeydeki değişim bölü yataydaki değişim, dikeydeki değişimi de böyle yazdık, yataydaki değişim de, x eksi eksi 1 olacak. Gördüğünüz gibi, bu ikisi aynı şey. Eksi eksi 1 yerine, artı 1 yazarsak, tıpatıp aynı oldular. Eksi 1 virgül g eksi 1’le, rastgele seçilmiş bir x virgül g(x) noktası arasındaki eğimi, işte böyle gösterebiliriz. Bu doğru için, hangi x değerini seçerseniz seçin, seçtiğimiz x’le, eksi 1 virgül g eksi 1 noktaları arasında eğim hep sabittir ve hatta doğrunun eğimine eşittir. Yani eksi 4’tür. Evet, bu eksi 4’e eşit. x istediği kadar yaklaşsın, ister sağdan, ister soldan hiç fark etmez. Bunun için, bu ifadenin limitini alırsanız, eksi 4 elde edersiniz. Tekrar ediyorum, bu ifadenin, x, eksi 1’e giderken limitini alsanız bile, yani x’in değeri eksi 1’e yaklaştıkça, Bu noktalar birbirine yaklaşacak ama, eğim değişmeyecek. Her zaman eksi 4 bulacaksınız. Gelin, şimdi, aynı soruyu cebirle çözelim. Limit, x, eksi 1’e giderken, g(x), g(x)’in ne olduğunu biliyoruz, eksi 4x artı 7, eksi g(-1), Hemen g(-1)’i bulalım eksi 1 çarpı eksi 4, 4 eder, artı 7, 11. Bölü, x artı 1. Devam edelim. Limit, x eksi 1’e giderken, 7 eksi 11, eksi 4 eder. Eksi 4 parantezine alalım, eksi 4 çarpı x artı 1, bölü x artı 1. x eksi 1’e giderken limit alacağımız için ve burası, eksi 1 dışındaki bütün x’ler için sıfırdan farklı bir sayı olacağı için, bu ikisi birbirini götürecek ve böylece, geriye, Bakın ne kaldı, eksi 4. Soruyu iki farklı şekilde çözdük ve eksi 4 elde ettik. Aslına bakarsanız, bunları yapmadan da, yani bunun bir doğru olduğunu gördüğünüzde, Hangi iki nokta arasındaki eğimi aradığınız önemli değil, değil mi? Çünkü doğrunun eğimi doğru üzerindeki her noktada aynıdır.