Tam Diferansiyel Denklemler Örnek 3

Tekrar hoşgeldiniz. Size tam diferansiyel denklemlerin çözümü ile ilgili mümkün olduğunca çok örnek göstermek istiyorum. Bir, denklemin tam olup olmadığını bulmak. Ve tam olduğunu bilirseniz, psi yi nasıl bulacaksınız ve diferansiyel denklemin çözümü ne olacak? Kitabımdaki diğer örnek şu: 3 x kare eksi 2xy artı 2 çarpı dx, artı 6y kare eksi x kare artı 3 kere dy eşittir 0. Tam yazıldığı gibi ,ama bu bizim istediğimiz şekil değil di mi? Bizim istediğimiz şekil nasıl? Biz x ve y nin bir fonksionu artı bir başka x ve y fonksiyonu çarpı y üstü ya da dy dx eşittir 0.şeklinde istiyoruz. Yaklaştık sayılır. Bu denklemi nasıl o şekle sokarız? Denklemin iki tarafını da dx ile böleriz. 3x kare eksi 2xy artı 2 çıkar. Biz dx e bölüyoruz onun için bu dx 1 olur. Artı 6y kare eksi x kare artı 3. Sonra dx e böleriz ve burası dydx olur, eşittir-- 0 bölü dx nedir? Sıfırdır. İşta burda. Denklemi istediğimiz şekle soktuk, ihtiyacımız olan şekle. Şimdi kendimize bunun tam denklem olduğunu ispat etmemiz lazım. Hadi bunu yapalım. M nin kısmisi nedir? M fonksiyonu bu di mi ? Bu burada bir artı dır. Bunun y ye göre kısmisi nedir? Bu 0 olur. Bu eksi 2 x olur ve sonra sadece 2. Bunun y ye göre kısmisi eşittir eksi 2 x. N nin x e göre kısmisi nedir? Bu 0 olur, bu da eksi 2x. İşte çıktı. M nin y ye göre kısmisi eşittir N nin x e göre kısmisi. M y eşittir Nx. O zaman bir tam denklemle uğraşıyoruz demektir. Şimdi psi yi bulmamız lazım. Psi nin x e göre kısmisi eşittir M. bu da eşittir 3 x kare eksi 2xy artı 2. Her iki tarafın da x e göre integralini alalım, ve elde ettiğiniz şudur:psi eşittir x in üçüncü kuvveti eksi x kare y--çünkü y bir sabittir--artı 2x artı bir y fonksiyonu. Doğru mu? psi nin x ve y ye bağlı bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. Onun için,türev alınca,x e göre kısmi türev alınca, sadece y ye bağli bir fonksiyon kaybolur.Bu tıpkı sabit değer gibidir, integralleri ilk öğrenmeye başladığımız zamanki gibi. Şimdi psi yi bulmak için h( y ye bağlı) fonksiyonunu bulmalıyız. Bunu nasıl yapıcaz? Hadi psi nin y ye göre kısmisini alalım. Bu burdakine eşit olacak. O zaman psi nin y ye göre kısmisi , bu 0 , bu ise eksi x kare. O zaman eksi x kare--- bu 0--artı h üstü (y ye bağlı) neye eşit olacak? Bu bizim n (x,y cinsinden) ye eşit olacak. Buna olacak. sonra bunun için çözebiliriz. Bu 6 y kare eksi x kare artı 3 e eşit olacak. Her iki tarafa da x kare eklersek bundan ve bundan kurtulmuş oluruz. Bize kalan h üstü( y ye bağlı ) eşittir 6y kare artı 3. İntegral --h fonksiyonu eşittir bu nedir --2y kübü artı 3y. Ve buraya bir artı c koyabilirsiniz ,ama bu artı c daha sonra biz differansiyel denklemi çözerken bir başka şeyle birleşecek, onun için fazla düşünmeyin. Psi fonksiyonumuz nedir? Yeni bir renk le yazacağım. Fonksiyonumuz psi ki x ve y cinsinden bir fonksiyondur eşittir x in üçüncü kuvveti eksi x kare y artı 2x. Artı y nin bir fonksiyonu olan h ki biz çözümünü bulmuştuk. h eşittir artı 2y nin 3. kuvveti artı 3y. Burda birde artı c olabilir ama göreceksiniz ki bunun fazla önemi yok. Aslında birşey yapmak istiyorum biraz farklı olacak. Problemin hemen içine dalmıycam. Sezgi kavramına dönmek istiyorum. Bunun tamamen mekanik olmasını istemiyorum. Size göstereceğim türev --sadece eski bilgilerimizle kısmi türev zincir kuralını öğrenmeden önceki bilgilerle yapıcaz-- psi nin x e göre türevi nedir? psi nin x e göre türevi nedir? Burda örtülü türev becerilerimizi kullanacağız. Bunun türevi -- yeni bir renk kullanıcam--3 x kare eksi --burda zincir kuralını kullanmamız lazım --ilk ifadenin x e göre türevi sadece eksi işaretini koyayım ve böyle yazabilirim-- 2x çarpı y artı ilk fonksiyon x kare çarpı ikinci fonksiyonun x e göre türevi. Bu sadece y üstüdür dimi? Y nin y ye göre türevi 1 dir,çarpı y nin x e göre türevi ki bu da y üstüdür. İyi. Artı bunun x e göre türevi ki kolay,2 dir. Artı bunun x e göre türevi. Şimdide bunun y ye göre türevini alalım Burda zincir kuralının örtülü türevini alıyoruz. Bu artı 6y kare. Ve sonra zincir kuralını kullanıyoruz,onun için y ye göre türev aldık. Sonrada bunu ynin x e göre türeviyle ki bu sadece y üstüdür çarparız. Artı bunun y ye göre türevi 3 kere --zincir kuralını uyguluyoruz--y nin x e göre türevine eşittir. Bu y üstüdür. Bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz? Bu eşittir 3 x kare eksi 2xy artı 2. Bu bu terim,bu terim ve bu terimdir. Artı --y üstünü dışarı alalım -- y üstü çarpı --bakalım burda dışarda bir eksi işareti var--eksi x kare artı 6y kare artı 3. Bu psi mizin türevidir. Buna dikkatlice bakın ve farkediceksiniz ki bu aynı-- ümit ederimki aynı--bizim baştaki problemdir. İlk baştaki çalışmaya başladığımız problem neydi? İlk baştaki problem 3x kare eksi 2 xy artı 2,artı 6 y kare eksi x kare artı 3,çarpı y üstü,eşittir 0 idi. Bu bizim baştaki problemimizdi. Dikkat ederseniz örtülü türev kullanarak psi nin x e göre türevini alırsak tam bu dur. Ümit ederim ki bu size şu konuda bir fikir vermiştir : Bu denklemi yeniden yazarsak,psi nin x e göre türevi ki psi x ve y nin fonksiyonudur eşittir 0 olur. Çünkü bu psi nin x e göre türevidir. Buraya yazdım. Aynı şey ,burdaki ile, di mi? Bu eşittir 0. Her iki tarafın da integralini alırsak, bu differansiyel denklemin cevabı nın psi x ve y cinsinden eşittir c olduğunu biliyoruz. Ve psi nin ne olduğunu bildiğimiz için c ye eşitliyoruz. Örtülü var--diferansiyel denklemin çözümünü örtülü bir şekilde tanımlayacağız. O zaman cevap-- bunu her zaman yapmanız şart değil. Bu adımı eğer bir test yapıyorsanız yazmak zorunda değilsiniz eğer ki hocanız özellikle y apmanızı söylemediyse Ben sadece ne yaptığınızı bildiğinizden emin olmak istedim her şeyi mekanik bir şekilde yapmadığınızdan. Gerçekten psi nin türevinin size gerçekten verdiğini--- psi yi bulduk. Size göstermek istedim ki psi nin x e göre türevi ,örtülü türevler ve standard zincir kuralını kullanarak, size denklemin ki bu bizim problem versiyonumuzdu sol tarafını verir. O zaman biliyoruz ki psi nin x e göre türevi eşittir 0 ,çünkü bizim orijinal denklemimiz sıfıra eşitti. Bunun iki tarafının da integralini alırsak, psi eşittir C differansiyel denklemin çözümüdür. Ya da eğer açık yazmak istiyorsanız psi budur. Differansiyel denklemimizin çözümü x in üçüncü kuvveti,eksi x kare y ,artı 2x,artı 2 y nin üçüncü kuvveti artı 3y eşittır c dir.bu orijinal denklemimizin örtülü tanımlanmış çözümüdür. Neyse yine vaktim kalmadı. Bir sonraki videoda görüşmek üzere...