Ana içerik

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 3

Ders 8: Topic B: Lessons 10-11: Multiplying & dividing rational expressions

Rasyonel İfadelerde Bölme

İki rasyonel ifadenin bölümünü nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bir rasyonel ifade, iki polinomun bir oranıdır. Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, ifadenin paydasını sıfıra eşitleyenler hariç tüm gerçek sayıları içerir.

Rasyonel ifadeleri, sayısal kesirleri çarptığımız gibi çarpabiliriz — çarpanlara ayırarak, ortak çarpanları yok ederek ve iç çarpım yaparak.

Eğer bu konu sizin için yeniyse, önce aşağıdaki makalelere göz atmak isteyebilirsiniz:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu derste, rasyonel ifadeleri nasıl böleceğinizi öğreneceksiniz.

Kesirlerde Bölme İşlemi

İki sayısal kesiri bölmek için, bölüneni (ilk kesir) bölenin (ikinci kesir) tersiyle çarparız. Örneğin:

\begin{aligned} \frac{2}{9} \div \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Tersiyle çarpın \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Payları ve paydaları çarpanlarına ayırın \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{1}{12} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Bu yöntemi rasyonel ifadeleri bölmek için de kullanabiliriz.

Örnek 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Tersiyle çarpın \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Payları ve paydaları çarpanlarına ayırın \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Her zaman olduğu gibi, kısıtlanmış değerleri düşünmeliyiz. İki rasyonel ifadeyi bölerken, aşağıdaki durumlarda bölüm tanımsızdır:

orijinal rasyonel ifadelerden herhangi birisini tanımsız kılan herhangi bir değer için,
ve böleni sıfıra eşit yapan herhangi bir değer için.

Özetlersek,

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}

'nin sonucu olan ifade,

B = 0

C = 0

veya

D = 0

olduğunda tanımsızdır.

Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim.

Bölünen $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ tüm $x$ ‍ değerleri için tanımlıdır.
Bölen $\frac{9 x}{10}$ ‍ tüm $x$ ‍ değerleri için tanımlıdır ve $x = 0$ ‍ için sıfıra eşittir.

Buna göre, elde edilen bölümün

x \neq 0

için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz. Nihai cevabımız budur:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍, $x \neq 0$ ‍ için

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) Bölün ve sonucu sadeleştirin.

\frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} =

x \neq

için

\begin{aligned} \frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} \\ = \frac{3}{10 x^{2}} \cdot \frac{15 x^{5}}{6} & Tersiyle çarpın \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Çarpanlara ayırın \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{3 x^{3}}{4} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim.

Bölünen $\frac{3}{10 x^{2}}$ ‍ $x = 0$ ‍ için tanımsızdır.
Bölen $\frac{6}{15 x^{5}}$ ‍ $x = 0$ ‍ için tanımsızdır.

Buna göre, elde edilen bölümün

x \neq 0

için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz. Nihai cevabımız budur:

$\frac{3 x^{3}}{4}$ ‍, $x \neq 0$ ‍ için

Örnek 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Her zaman olduğu gibi, bölüneni bölenin tersiyle çarparız. Sonra çarpanlara ayırır, ortak çarpanları yok eder ve iç çarpım alırız. Son olarak, kısıtlanmış değerleri yazarız.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Tersiyle çarpın \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Çarpanlara ayırın \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim. En kolay yol, bu ifadelerin çarpanlarına ayrılmış formlarını kullanmaktır.

Bölünen $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ $x \neq - 5, 2$ ‍ için tanımlıdır.
Bölen $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍, $x \neq 5$ ‍ için tanımlıdır ve $x = - 3$ ‍ için sıfıra eşittir.

Buna göre, elde edilen bölümün

x \neq - 5, - 3, 2, 5

için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

Bu nedenle,

x \neq 5, 2, - 3

olduğunu yazmalıyız. İfadeden anlaşıldığı için,

x \neq - 5

olduğunu yazmaya gerek yoktur. Son cevabımız budur:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍, $x \neq 5, 2, - 3$ ‍ için

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

2) Bölün ve sonucu sadeleştirin.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Sonuç ifadesinin tanım kümesinin kısıtlamaları nelerdir?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \cdot \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} & Multiply by reciprocal \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Çarpanlara ayırın \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim.

Bölünen $\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍ $x \neq 2, - 2$ ‍ için tanımlıdır.
Bölen $\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍ $x \neq - 2$ ‍ için tanımlıdır ve $x = 7, - 1$ ‍ için sıfıra eşittir.

Buna göre, elde edilen bölümün

x \neq - 2, - 1, 2, 7

için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

3) Bölün ve sonucu sadeleştirin.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Sonuç ifadesinin tanım kümesinin kısıtlamaları nelerdir?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} & Multiply by reciprocal \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Çarpanlara ayırın \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{x + 4}{x + 3} & İç çarpım yapın \end{aligned}

Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim.

Bölünen $\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍ $x \neq - 3, 3$ ‍ için tanımlıdır.
Bölen $\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍ $x \neq 3, 1$ ‍ için tanımlıdır.

Buna göre, elde edilen bölümün

x \neq - 3, 1, 3

için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY)

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 3

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Kesirlerde Bölme İşlemi

Örnek 1: 3x44÷9x10‍

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Örnek 2: x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5‍

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

Örnek 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍