Riemann Toplam ve İntegralleri

Önceki videolarda, Eğrinin altında kalan alanı bulmak için, Bu alanı dikdörtgenlere ayırdık, dikdörtgenlerin alanlarını topladık, Ve böylece, toplam alanı tahmin etmeye çalıştık. Burada, ilk örneğimiz var. A ve b aralığını eşit olarak bölerek, tüm dikdörtgenlerin enlerini birbirine eşitlemiştik. Dikdörtgenlerin yükseklikleri, ya da sol uzun kenarlarının uzunlukları ise, fonksiyonun o noktada aldığı değere eşitti. Tüm bunları genel bir ifadede göstermek için de, Burada gördüğünüz sigma gösterimini oluşturmuştuk. Evet, örneklerden biri buydu. Daha sonra, dikdörtgenlerin sağdaki uzun kenarlarını Ya da uzun kenarların orta noktalarını kullanarak, Hatta yamuklar çizerek, Başka tahminlerde bulunduk. Tüm bunlar Riemann toplamının çeşitleridir! Mesela, Bu bir Riemann toplamı! Riemann toplamından bahsederken, genel olarak konuşuruz, yanı özellikle bir çeşidinden bahsetmeyiz. İsterseniz yamukları, isterseniz, değişik enlere sahip dikdörtgenleri kullanırsınız. Mesela, ben burada, işimi kolaylaştırdığı için eşit ene sahip dikdörtgenler kullandım. Ama bunu yapmak zorunda değildim! Burada, bu toplamlara ismini veren Bernhard Riemann’ın fotoğrafını görüyorsunuz. Matematiğe birçok katkıda bulunmuş. Ama bunların en çok bilineni, kuşkusuz, Riemann toplamı Newton da, Leibniz de, Kalkülüsü işlerken, integral fikrini bulmuşlar, Ama en kabul edilir, en kullanışlı integral tanımını, Riemann yapmıştır. Evet, tahmin edebileceğiniz gibi, Bu bir Riemann toplamı. N’i görüyorsunuz, öyle değil mi? N büyüdükçe, yapacağımız tahminin doğruluğu artar. Yani alan hakkında daha iyi bir tahmin yapabiliriz. Riemann’ın, integral tanımı, Ya da belirli integral tanımı, Bir eğrinin altında a ve b arasında kalan alandır. Bu arada alanı bulmak için, ille de bu toplamı kullanmak zorunda değilsiniz, Herhangi bir Riemann toplamını kullanabilirsiniz. Evet, ne diyorduk? Alanı bulmak için, Bir Riemann toplamının N sonsuza yaklaşırken, limitini alırsınız. Peki, n sonsuza yaklaşırken ne olur? Bir şekil daha çizelim. Bu y ekseni, bu x ekseni, bu da fonksiyon. Burası a, burası da b. Evet, bu araya bir sürü dikdörtgen çizebiliriz! Ve dikdörtgenlerin sayısı arttıkça, Yapacağımız tahmin de daha iyi bir tahmin olacak! Eğrinin altında kalan alanı, a ve b arasında, fx’in integrali olarak yazabiliriz. Bu iki gösterim arasındaki bağlantıyı nasıl kuruyorum ondan da bahsedeyim. Dikdörtgenlerin enleri delta x. Bu delta x, bu da, bu da. Dx’i ya da diferansiyeli konseptini, bu delta x’lerin, çok ama çok çok küçüldüklerinde, yaklaştıkları değer olarak tanımlayabiliriz. Yani bunu, sıfır olmayan ama sonsuz derecede küçük bir delta x olarak düşünebilirsiniz. Fonksiyonunuz bu küçük delta x’i çarpıp, bu çarpımı a ve b arasındaki tüm x değerleri için yapıp, sonuçları topladığınızdaysa da, alanı bulmuş olursunuz. Tekrar ediyorum, bu, bir Riemann toplamı! Hatta sol Riemann toplamı . Ama unutmayın, Tek Riemann toplamı, bu değil! Dikdörtgen kullanıyorsanız, sağ ya da orta değer Riemann toplamını da kullanabilirsiniz. Yamukları tercih ettiyseniz, yamuklu toplama yaparsınız. Her durumda, yani hangi toplamı tercih ederseniz edin, bu toplamın, n sonsuza yaklaşırken, limitini alırsanız, Riemann integralini elde edersiniz! Evet artık tanımı yaptığımıza göre, önümüzdeki videolarda, bunları nasıl değerlendireceğimiz hakkında konuşabiliriz.