Green Teoreminin İspatı 2

Bir önceki videodakiyle aynı izi incelemeye devam edelim.y ekseni ve x eksenini çizelim şimdi. İzin de böyle göründüğünü varsayalım.Bir önceki videodakiyle aynı iz. Aynı görünmüyor olabilir ama, bir önceki videoda ne yaptığıma bakayım. Bir önceki videodaki böyleymiş, evet baya benziyor. Şimdi bir önceki videodakiyle aynı eğri olduğunu varsayalım ve bu eğriye c diyelim. Bir önceki videoda sadece i yönünde vektörleri olan bir vektör alanına bakmıştık. Şimdi sadece j yönünde veya düşey yönde vektörleri olan bir vektör alanı oluşturalım. Büyük Q vektör alanına bakalım, şimdi büyük Q x y çarpı j. c eğrisinin üzerindeki kapalı çizgi integralini q iç çarpım d r'nin integralini inceleyeceğiz. c eğrisinin üzerindeki kapalı çizgi integralini q iç çarpım d r'nin integraline bakacağız. Daha önceden gördüğümüz gibi, d r, d x çarpı i artı d y çarpı j olarak yazılabilir. Bu ikisinin iç çarpımını alırsak, bu çizgi integrali aynı ifade olacak. Bu, c eğrisinin üzerindeki q iç çarpım d r'nin kapalı çizgi integraliyle aynı olacak. 0 çarpı i, yani 0 çarpı d x eşittir 0 ve Q x y çarpı d y. Evet bunun i bileşeni yok, o nedenle iç çarpım Q x y çarpı d y olacak.İç çarpım bu. i bileşeni olmadığı için d x yok oluyor. Şimdi bu çizgi integralini üçüncü parametre t'ye ihtiyaç duymadan çözmeye çalışalım. Geçtiğimiz videoda yaptığımız gibi. Aslında aynı şeyi yapacağız, yani aynı işlemleri x yerine y'lerle yapacağız. Minimum ve maksimum y değerlerini bulabiliriz. Minimum y burada diyelim. Minimum y değeri a olsun. Maksimum y de şuradaki değer olsun. Ona da b diyelim. Size yine eğrinin yönünü söylemeyi unuttum.Bu, bir öncekiyle aynı iz, yani saat yönünün tersine hareket ediyoruz.Aynı eğri, aynı iz. Yani bu yönde gidiyoruz. Bir önceki videoda bunu x cinsinden 2fonksiyona ayırmıştık.Şimdi y'lerle aynı şeyi yapacağız.y cinsinden iki fonksiyona ayırıyoruz. Bu izi iki ize ayırırsak, ekstrem noktalarımız bunlar.Bu ize, ikinci iz veya c 2 diyebilirim. x eşittir x 2 y diyebiliriz.Bu iz, bu. Ve birinci iz, birinci iz olmak zorunda değil, nereden başladığına göre değişir.Neyse , istediğiniz yerden başlayabilirsiniz.Buna birinci iz diyelim, x eşittir x 1 y. x'in y cinsinden fonksiyon olması biraz karışık gelebilir, ama bir önceki videonun tamamen benzeri işlemler yapıyoruz. x ve y'leri değiş tokuş ediyoruz. x'i y cinsinden bir fonksiyon olarak yazıyoruz. Bu iki eğrimiz var.Şimdi bunu çevirdiğinizi düşünürseniz, bir önceki video ile aynı şeyi y cinsinden yapıyoruz. Şu şekilde bakarsak, bu çizgi integralinin şu integrale eşit olduğunu söyleyebiliriz. Önce c 2'yi yapalım. b'den a'ya bir integral.b'den başlayıp a'ya gidiyoruz. Büyük y değerinden küçük y değerine gidiyoruz. b'den a'ya Q'nun integrali, x yerine her şeyi y cinsinden isteyeceğiz. x eşittir x 2 y. Q x 2 y virgül y d y. Burası soldaki eğrinin çizgi integrali. Buna y eşittir a'dan y eşittir b'ye Q x 1 y'nin integralini ekleyeceğiz. x 1 y virgül y d y ve bir önceki videodaki işlemlerin aynısını yapabiliriz. Şimdi altta büyük sayı olmasını tercih etmiyoruz, o yüzden bu ikisini değiş tokuş edelim. Bunları şimdi değiş tokuş edersek, şunu a şunu da b yaparsak, integrali eksi 1'le çarpmış oluruz. Bu ikisini değiş tokuş edersek, yön değişir. Evet bir önceki video ile yaptığımızın aynısı, umarım çok karışık gelmiyordur. Şimdi bu iki belirli integralin limitleri aynı, onu yüzden tek belirli integral olarak ifade edebilirim değil miİ? a'dan b'ye, pozitif olduğu için ilk olarak bunu yazıyorum.Bunu yazacağım. Q x 1 y virgül y eksi bu.Öyle değil mi?Arada eksi işareti var.Eksi Q x 2 y, y d y d y bunların hepsiyle çarpılıyor. d y'yi dağıtıyorum yani. Bir önceki videoda yaptıklarımızla aynı.Neyse anlamışsınızdır. a'dan b'ye, integralin içinde Q x y'nin limitlerdeki değerlerini buluyoruz, üst limit x eşittir x 1 y, alt limit x eşittir x 2 y. Öyle değil mi? x yerine bunu yazıyorum ve bundan x 2'yi koyduğum zamanki değeri çıkarıyorum. Yaptığımız aynen bu, belirli integralleri çözerken izlediğimiz yöntemin tam tersini uyguluyoruz. Genelde bu adımdan şu adıma ulaşıyoruz. Ama biz aksi yönde, ters yönde hareket ediyoruz, ikisi de aynı şey. Bunun tamamı çarpı d y. Bir önceki videoda gördüğümüz gibi, şimdi d y'yi biraz ileri yazalım. d y'yi şuraya yazayım evet. Bu ifade şununla aynı. x 2 y'den x 1 y'ye Q'nun x'e göre kısmisi çarpı d x'in integrali. Şimdi şunu net bir şekilde belirteyim. Bence bu ilk kısım biraz karışık.Şimdi böyle bir integral gördüyseniz, bu bir çift katlı integralin içi. Dışı ise, a'dan b'ye d y'nin integrali. Bunu çift katlı integralde gördüğünüzde, bunun x'e göre terstürevini alırız. Q'nun x'e göre kısmisinin x'e göre terstürevi eşittir Q x y. Belirli bir integral olduğu için, önce x 1 y'deki değerini bulup ondan x 2 y'deki değerini çıkarıcağız. Aynen bunu yapmıştık. Ve bir önceki sonuca çok benzeyen sonucu buluruz. Şimdi bu çift katlı integral neyi temsil ediyor? Bunu üç boyutta şimdi çiziyorum.Bu, neredeyse, bir önceki videonun tekrarı oldu. Şimdi, bu y ekseni, x ekseni ve z ekseni. Bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon, onun için uzayda bir yüzey olarak görselleyebilirsiniz.Bir yüzey. Şunu şimdi, Q'nun x'e göre kısmisi olarak isimlendiririz. Bu çift integral, bir bölge belirliyor, bu d x çarpı d y'yi bir alan diferansiyeli olarak düşünebilirsiniz değil mi?. Bu bölgenin sınırları, y, altta x 2 y'den, yani şöyle bir eğriden başlıyor.Küçük değerli y, bu ve burada iki boyutta çizersem, bu düşük y değerlerinin eğrisi. Üstteki y eğrisi de x 1 y, üstteki y eğrisi de şöyle. Şöyle bir eğri olacak. . Buna göre x alttaki y eğrisinden üstteki y eğrisine gidiyor, öyle değil mi? x alttaki y eğrisinden üstteki y eğrisine gidiyor. Burada böyle yapıyoruz. Ve y de a'dan b'ye gidiyor. Yani uzun lafın kısası,bu fonksiyonun bu bölgede çift katlı integralini alabiliriz. Bu tavan, bu sınır da duvar ise, bu hacim olur.Bu odanın hacmi olur. Bu tarafa doğru yükselirse ne olur bilmiyorum. Ama gözünüzde şöyle bir şey canlandırırsanız, bunun hacmi olacak.Bunu buluyoruz. Bir önceki videoda bulduğumuz sonucun yani aynısı. Q x y'nin sadece j yönünde vektörleri var, vektörler sadece yukarı ve aşağı gidiyor. Yatay bileşenleri yok. Ama böyle bir vektör alanla başladığınızda, bu kapalı eğrinin üzerindeki çizgi integralini alırsanız, bu q iç çarpım d r'nin kapalı eğri üzerindeki çizgi integrali Q x y d y'nin kapalı döngü üzerindeki integraline eşit olur. Bunun da bu bölgedeki çift katlı integrale eşit olduğunu şimdi bulduk.Burada ki bölge.Öyle değil mi?Burada yaptığımız aynen bu. Size bölgeyi verirsem, x bu fonksiyondan şu fonksiyona gidiyor, y de a'dan b'ye gidiyor. Evet şimdi kafanız karıştıysa, şu çift katlı integral videolarını tekrar seyretmeniz iyi bir fikir olabilir. Bu bölgede Q'nun x'e göre kısmisinin dx dy, veya d A ile çarpımının integralini alıyorum, öyle değil mi? Alan diferansiyelini, yani d A'yı d x d y olarak düşünebiliriz. Şimdi bu bulduklarımızı bir önceki videoda bulduklarımızla birleştirelim. Bir önceki videoda bunu bulmuştuk. Şunu kesip tahtamın boş bir yerine yapıştırayım ve böylece, esas sonuca ulaşmaya hazır olalım evet.Şu, bir önceki videoda bulduğumuz sonuç. Bu videoda da bu sonucu bulduk. Şimdi nereye varacağımızı tahmin etmiş olabilirsiniz.Şimdi de herhangi bir vektör alanı düşünelim. F vektör alanı, x y düzleminde tanımlanmış olsun. F eşittir P x y i artı Q x y j. F'yi son iki videoda kullandığımız P ve Q'nun toplamı olarak da düşünebilirsiniz. Q'yu bu videoda kullandık, P'yi de bir önceki videoda. Ama bu, herhangi bir vektör alanı.Şimdi bu vektör alanının bir iz üzerindeki çizgi integralini almak istediğimizi düşünelim. Şimdi düşünün ki bu vektör alanının bir iz üzerinde çizgi integralini almak istiyoruz. İzimiz, herhangi bir iz olabilir. Şuraya herhangi bir iz çizeyim. Rastgele izimin şu olduğunu varsayalım. Saat yönünün tersine gidiyor. Şimdi F iç çarpım d r'nin bu eğri üzerindeki kapalı çizgi integralini bulmak istiyorum.Kapalı çizgi integralini bulacağız bu eğri üzerinde. Bunu birçok kereler daha önce bir çok kez gördük. d r eşittir d x i artı d y çarpı j. Yani bu çizgi integralini şöyle yazabiliriz. c eğrisinin üzerindeki F iç çarpım d r, bu terim çarpı d x, yani P x y çarpı d x, artı bu terim, Q x y çarpı d y. Bu da eşittir, P x y d x'in çizgi integrali artı Q x y d y'nin çizgi integrali. Peki, bunlar neydi? Bunu birinci videoda, şunu da şimdi bu videoda bulduk. Bununla şu aynı şey. Yani buradaki, bu bölge üzerinde eksi P'nin y'ye göre kısmisinin çift katlı integrali olacak d y d x yerine alan diferansiyeli diyebiliriz. Artı bu sonuç, Q. Buradaki ifadeyi bu videoda inceledik. Artı, Q'nun x'e göre kısmisinin aynı bölgedeki integrali. d A veya d y d x, sırayı da değiştirebilirsiniz, alan diferansiyeli. Bu iki integrali toplayabiliriz.Peki, topladığımız zaman ne buluruz? Evet çok görkemli bir sonuç çıkacak şimdi. Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi çarpı alan diferansiyelinin çift katlı integrali. Evet işte bu muhteşem, büyük, görkemli sonucumuz bu.Şuraya yazıyım. F iç çarpım d r'nin kapalı çizgi integrali, şu ifadenin çift katlı integraline eşit. x bileşeniyle ilgili fonksiyonu alıyoruz ve y'ye göre kısmisini buluyoruz. y bileşeniyle ilgili fonksiyonun ise, x'e göre kısmisini buluyoruz. Birincinin yani eksilisini alıyoruz.Belki bu şekilde kolay hatırlarsınız. Ve bu sonuç, Green Teoremidir. Vektör alanının kısmi türevleri olması durumunda, vektör alanının çizgi integralini bölgenin çift katlı integraline bağlamanın güzel bir yolu. Ayrıca, birkaç video önce, F konservatif ise, bir fonksiyonun gradyanı ise yani, izden bağımsız ve herhangi bir iz üzerindeki kapalı integralinin 0 olduğunu öğrenmiştik. Ve bu, hala doğru. Eğer F konservatifse, bu ifade 0'a eşit olmalı. Bu şekilde herhangi bir bölgede bu integralin 0'a eşit olmasını sağlamış olursunuz. Eminim birbirlerini götürdükleri örnekler düşünebilirsiniz ama bu her bölge için geçerli. Bunun doğru olmasının tek yolu bu. Bu iki ifadenin yani 0'a eşit olmasının tek yolu bu. Böylece Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi 0'a eşit olmalı veya bu iki ifade birbirine eşit olmalı. Bu, Green Teoreminin bir yan sonucu. Q'nun x'e göre kısmisi eşittir P'nin y'ye göre kısmisi. Diferansiyel denklemler konusunda tam denklemleri öğrenirken bu konuyu tekrar göreceksiniz. Bu konuya o yüzden daha fazla girmeyeceğim, ama şunu belirteyim. Şimdi çizgi integrallerinde gördünüz ifadenin diferansiyel şekli, eğer konservatifse, bir tam denklem oluşturuyor. Ama şimdilik bu konuya girmiyoruz dedik.Ama tam denklemler konusunu yaptıysanız, konular arasındaki paralelliği görmüşünüzdür. Bir sonraki videoda bu sonucu kullanarak daha fazla, daha çok örnekler yapacağız.Hoşçakalın..