Basit Trigonometri ve Üslü Ters Türevler

Bu videoda, türevlerini bildiğimiz bazı temel fonksiyonların, ters türevlerini bulmaya çalışacağız. Amacımız, bu fonksiyonların türevlerine ne kadar alışıksak, ne kadar aşinaysak ters türevlerine de o derece aşina olabilmek. Ayrıca, bu videoda bir değişiklik yapıp, x’ten farklı değişkenler kullanacağım. Mesela, burada, t cinsinden bir fonksiyon var ve t’ye göre ters türev alacağız. t’ye göre ters türev alacağımız için de, buraya dx yazmayacağız. Belirli integral konusunu işlediğimizde bunun sebebini daha ayrıntılı olarak anlatacağım. Evet, şimdi soruya geri dönelim. Buradaki ifadenin ters türevini bulmak istiyoruz. Bu ifadenin ters türevi, sint’nin ters türevi ya da belirsiz integrali, artı, cost’nin belirsiz integrali ya da ters türevi olur. Şimdi de, tek tek bunların ters türevlerini bulmaya çalışalım. Trigonometrik fonksiyonların türevlerini almayı biliyoruz, öyle değil mi? Mesela, cost’nin, t’ye göre türevi, eksi sint’dir. Eğer burada sonuç olarak sint bulmak istiyorsak, eksi cost’nin türevini almamız gerekiyor, değil mi? Evet! Eğer, eksi cost’nin türevini alırsanız, sonuç, sint olur. Tekrar ediyorum, cost’nin, t’ye göre türevi, eksi sint’dir. Eksi sint... cost’nin başına eksi koyarsanız, yani eksi cost’nin türevini alırsanız, pozitif sint elde edersiniz. Buraya, sint’nin türevi olarak eksi cost yazabilirim. Eşittir, eksi cost, artı... Sırada cost’nin ters türevi var. sint’nin, t’ye göre türevinin cost olduğunu bildiğimize göre, cost’nin ters türevi, sint’dir. İşte bu ifadenin ters türevini bulduk. Bir örnek daha yapalım. Burada değişkenimiz t değil. Belirsiz integrali... Hatta bir saniye, burada bir hata var, bu t’nin a olması gerekiyor. Hemen düzeltelim. Buraya a gelmesi lazım ki a’ya göre belirsiz integral alabilelim. Eğer burada t olsaydı, tüm bu ifadeleri sabit sayılar olarak değerlendirmemiz gerekirdi. Neyse, kafanızı daha fazla karıştırmadan yanlışı düzeltelim ve buraya da yazalım. a’ya göre belirsiz integral ya da ters türev alacağız demiştik. Az önce yaptığımız gibi, bu ifadeyi parçalara ayıralım. e üzeri a’nın belirsiz integrali, yani e üzeri a da artı 1 bölü a’nın belirsiz integrali ya da ters türevi, 1 bölü a da. Evet, işte böyle. e üzeri a’nın ters türevi nedir? Üstel fonksiyonlar hakkında bildiklerimizi hatırlayalım. e üzeri x’in, x’e göre türevi, e üzeri x’tir ve bu e üzeri x’i, matematikteki en havalı, en çılgın sayı yapar. Peki, şimdi, x yerine a koyarsak ne olur? e üzeri a’nın türevi, yine e üzeri a’dır. e üzeri a’nın türevi e üzeri a’ysa, e üzeri a’nın ters türevi de, e üzeri a’dır. Belki sonuna bir sabit eklemeniz gerekebilir. Aklıma gelmişken, sabit sayıyı buraya da eklemem gerekiyor. Evet, sabiti sakın ama sakın unutmayın! Şimdi kaldığımız yerden devam edelim. e üzeri a’nın ters türevi neydi? e üzeri a! Peki ya, 1 bölü a’nın ters türevi? Bunu, bir önceki videoda görmüştük. 1 bölü a’nın ters türevi, ln yani a’nın mutlak değerinin doğal logaritmasıdır. Ve son olarak, sonuna sabiti de eklersek bu ifadenin de ters türevini bulmuş olacağız. Evet, bitti! Karşınızda bu iki ifadenin ters türevi!