Çizgi İntegrali Örneği 1

Bir önceki video, çok soyuttu.O yüzden bu videoda, gerçek bir soru çözelim. f fonksiyonunun, x çarpı y olduğunu düşünelim. Ve xy düzleminde bir iz tanımlayalım. İzi, x eşittir kosinüs t ve y eşittir sinüs t, olarak tanımladık. Limitlerimizi t cinsinden tanımlamamız lazım. Diyelim ki, t eşittir 0'dan, t eşittir pi bölü 2 radyana integral alıyoruz. Derece kullanıyor olsaydık, 90 derece derdik. Eğrimiz, bu şekilde ve bu tip bir eğrinin neye benzediğini biliyor olabilirsiniz.Şimdi bunu buraya çok hızlı bir şekilde çizeceğim ve görsellemeye çalışacağız. Bunu görsellememiz için daha önceden grafiğini çizdim. Bu eğriyi şimdi x y düzleminde çizsem, bu y, bu da x diyelim. t 0'a eşit olduğunda, x kosinüs 0 olacak. Kosinüs 0'da, 1'dir. y de sinüs 0, yani 0. O zaman t eşittir 0 için x 1 ve y'de 0 olacak. Yani bu nokta. Bu, y'nin eşit olduğu şey. t eşittir 0. Peki t Pi bölü 2'ye eşit olduğunda ne bulacağız? Açımız bu, kosinüs Pi bölü 2 eşittir 0. Sinüs Pi bölü 2 eşittir 1. Yani 0'a, 1 noktası. t Pi bölü 2'ye eşit olduğunda da bu noktayı bulduk.Şimdi çizeceğimiz şeklin birim çemberin ilk çeyrekteki kısmı olduğunu anlamışsınızdır. t Pi bölü 4 veya 45 derece olduğunda karekök 2 noktasında olacağız. Bunu siz de deneyebilirsiniz, şöyle bir eğrimiz olacak. Çemberin sağ üst kısmı olacak, birim çemberin sağ üst kısmı . Yarıçapı 1 olacak. t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye doğru bu yönde gideceğiz. Eğrimiz buna benzeyecek.Buradaki amacımız sadece parametrik denklem çizmek değil. Buradaki tabandan bir çit çıkarıyoruz ve bu yüzeye doğru uzatıyoruz. Öncelikle bunu görselleyelim, sonra da bir önceki videoda gördüklerimizi uygularız. Şimdi. Burada bu fonksiyonun grafiğini çizdim ve biraz döndürdüm. Buradaki x ekseni, bu arkadaki y ekseni ve düşey eksen de z ekseni. Bu, 2, buradaki 1. y eşittir 1 şurada. Yani, grafiği böyle çiziliyor. Bu şekli xy düzleminde çizmek istesem, bu grafiğin altında olurdu ve şöyle görünürdü. Bu aynı grafik f x y eşittir x y. Bu ikisi aynı, sadece döndürdüm. Bu durumda, şuradaki x ekseni. Sola doğru döndürdüm.Bu, x ekseni, buradaki y ekseni, burada da z ekseni var. Bu eğriyi şimdi döndürülmüş eksenler üzerinde çizmek istersem, şöyle olacak. t 0'a eşit olduğunda x eşittir 1, y eşittir 0. Ve böyle bir çeyrek çember çizilecek. t Pi bölü 2'ye eşit olduğunda ise, şu noktaya ulaşacağız. Böyle tanımlanmış bir perdenin alanını bulmak istiyoruz. Bu eğriden f x y'ye bir perde oluşturalım. Şimdi buradan x y'ye duvar çizmeye devam edersek, böyle bir duvarımız olacak. Şöyle renklendireyim de daha belirgin bir şekilde görünsün şurada. Şöyle bir duvar. Bu grafiğin üzerinde göstermek istersem, burası tavanın altında olurdu ve duvar şöyle bir şeye benzerdi.Şimdi bunun alanını bulmak istiyoruz. Tabanın bu eğriyle, tavanın bu yüzeyle tanımlandığı alanı bulmak istiyoruz. Küçük yay uzunluklarını, yay uzunluğu değişimini, o noktadaki yükseklikle çarpabilirim. Bir önceki videoda bu yay uzunluğu değişimine d s demiştik. Yükseklik de neydi f x y'idi. Bunların t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye sonsuz toplamını alırsak, bu duvarın alanını buluruz. Şimdi t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye integral alacağım için, f'yi x ve y cinsinde yazmak yerine şöyle yapayım. Böylesi daha somut olacak. f x y eşittir x y çarpı yay uzunluğu değişimi. Burası bir önceki videonun tekrarı olacak şimdi. Bir önceki videoda d s'yi d x d t kare artı d y d t karenin karekökü, çarpı d t olarak yazabileceğimizi görmüştük. Bir önceki videoda bulduğumuz formülü baştan oluşturalım. Şimdi t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye x y'nin integrali olarak yazılabilir. Ama ne yapmalıyız biliyor musunuz? Her şeyi t cinsinden yazalım. x çarpı y yazacağımıza parametrik denklemleri yerine koyalım. x yerine kosinüs t diyelim. Bu x.Bu eğride x eşittir kosinüs t. x'i t parametresi cinsinden böyle tanımlamıştık. Çarpı y, yani sinüs t. Bu y, x y'yi t cinsinden yazmış olduk. Çarpı d s. d s de x'in t'ye göre türevinin karesi artı y'nin t'ye göre türevinin karesinin karekökü. Evet bunun tamamı çarpı d t. Şimdi bu iki türevi bulmamız gerekiyor. Başta biraz zor görünse de, aslında bu türevleri bulmak gerçekten bizim için kolay ve hemen burada bulabilirim.Şimdi grafikleri şimdilik ortadan kaldıralım. x'in t'ye göre türevi, kosinüs t'nin türevi nedir? Eksi sinüs t. y'nin t'ye göre türevi nedir? Sinüs bir şeyin türevi kosinüs o şeydir. Yani kosinüs t. Bunları bu denkleme koyabiliriz. Bu eğriyi taban bu yüzeyi tavan alan perdenin alanını bulmaya çalışıyoruz. Şimdi burada integrali baştan yazıyorum. t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye kosinüs t sinüs t bu x y çarpı d s'nin integrali olur. d s de şu ifadeye eşit değil mi?. x'in t'ye göre türevi eşittir eksi sinüs t. Bunun karesini alıp y'nin t'ye göre türevini, kosinüs t'nin karesiyle toplarız. Şimdi karekök işaretini biraz büyüteyim, bunun tamamı çarpı d t. Bu şimdi zor bir ifade gibi görünüyor, ama eksili bir sayısının karesinin sayının artılısının karesine eşit olduğunu yani pozitifinin karesine eşit olduğuna anladığınız da ifade kolaylaşıcak. Şimdi bu işlemi burada yapalım.Eksi sinüs t kare artı kosinüs t kare eşittir sinüs t'nin karesi artı kosinüs t kare. Karesini aldığınızda, negatif pozitif olacak ve bu ikisi birbirine denk. Ve bu, en temel trigonometrik özdeşliktir. Birim çember tanımının bir sonucu: sinüs kare artı kosinüs kare eşittir 1. Karekök işaretinin altındaki ifadenin tamamı 1'e eşit. Yani 1'in karekökünü alıyoruz, ki bu da 1. Yani bunların hepsi 1 olarak sadeleşiyor. Bu integral iyice sadeleşiyor ve t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye sinus t çarpı kosinüs t d t'nin integrali haline dönüşüyor. Bunun tamamı 1 olduğu için yazmadım ve şunların sırasını değiştirdim.Çünkü bu değiş tokuş bu sıra değişimi bir sonraki adımı daha kolay anlatmanızı sağlayacak. Peki bu integralin, sinüs çarpı kosinüsün ters türevi nedir? Farkına varmanız gereken ilk şey, burada bir ifadenin ve onun türevinin bir arada bulunduğu. Sinüsün türevi, kosinüs t'dir.Yerine koyma yöntemini aklınızdan uygulayabilirsiniz, Türevini gördüğünüz ifadeye u diyorsunuz.Yani sinüs t'ye u dersek, d u d t, u'nun t'ye göre türevi, kosinüs t olur. Veya iki tarafı d t ile çarparsanız, d u eşittir kosinüs t d t çıkar. Dikkat ederseniz, burada bir u var.Ve kosinüs t d t ifadesi de d u'ya eşit. Kosinüs t d t ifadesi de d u'ya eşit. Şimdi limitleri tekrardan tanımlamamız kafi. t 0'a eşit olduğunda, u neye eşit olacak? Sinüs t eşittir 0 yani u eşittir 0. t Pi bölü 2 olduğunda, sinüs Pi bölü 2 eşittir 1. Yani t Pi bölü 2 olduğunda, u 1 oluyor. Yani integral, u eşittir 0'dan u eşittir 1'e gidiyor. Limitleri u'ya göre yeniden tanımladım. Ve şimdi sinüs t yerine u yazıyorum. Kosinüs t d t yerine de d u yazıyorum. Bu, u cinsinden çok kolay bir integral. u'nun terstürevi, 1 bölü 2 çarpı u kare üssü 1 artırıp oluşan yeni üsse böldük. 1 bölü 2 u karenin 0 ve 1 için değerlerini bulacağız 1 bölü 2 çarpı 1 karesi eksi 1 bölü 2 çarpı 0'ın karesi. Yani 1 bölü 2 çarpı 1 eksi 0, bu da eşittir 1 bölü 2. Bütün bu işlemlerin sonucu olarak böyle güzel basit bir cevap çıktı. Bir çizgi integrali çözdük ve bu perdenin bu eğri boyunca alanını 1 bölü 2 olarak bulduk. Bunun birimi santimetre olsaydı, cevabımız 1 bölü 2 santimetrekare olucaktı.