Vektör Değerli Fonksiyonun Diferansiyeli

Önceki birkaç videoda eğrileri konum vektör değerli fonksiyon olarak ifade edebileceğimizi gördük. Genel olarak, bu fonksiyonlarda, zaman cinsinden x konumu çarpı yatay yöndeki birim vektör artı zaman cinsinden y konumu çarpı düşey yöndeki birim vektörü alıyoruz. Bir parçacık ve t parametresinin zamanı temsil ettiğini düşünürsek, bu, bunu tanımlar. Herhangi bir zamanda, parçacığın nerede olduğunu tanımlar. Bu eğride, t a'dan büyük, b'den küçük. Bu da iki boyutlu bir eğri tanımlar. Şuraya çizeyim. Bu, son iki videonun tekrarı oldu. Bu eğri şöyle çizilebilir, burada t eşittir a. Burada da t eşittir b. Yani r a şu noktada biten bu vektör. t büyüdükçe, iz üzerinde farklı noktalara gidiyoruz. Bunu iki video önce görmüştük. Son videoda vektör değerli bir fonksiyonun türevinin anlamı üzerinde konuştuk. Bir tanım bulduk. Türevin, r üssü t'nin bir vektör olduğunu tanımladık. Vektör değerli bir fonksiyonun türevinde de türev olacak. Bu, x üssü t çarpı i artı y üssü t çarpı j'ye eşitti. Değişik şekildeki tüm ifadeleri yazayım da, siz de notasyona alışın. d r d t eşittir d x d t. Bu, standart bir türev. x t bir skaler fonksiyon. Yani bu, standart bir türev çarpı i artı d y d t çarpı j. Diferansiyel konusunu incelerken pek de ispata giremiyorum. Denklemin iki tarafını çok küçük bir delta t ile veya bu d t ile çarparsak, d r'yi elde ederiz. d x bölü d t çarpı d t. Bunları sadeleştiririm, ama önce bu şekilde yazayım. Çarpı i birim vektörü artı d y bölü d t çarpı d t çarpı j birim vektörü. Veya bunu baştan yazarız. Bunu yazılabilecek her türlü şekliyle göstermeye çalışıyorum. d r eşittir x üssü t d t çarpı i birim vektörü diye de yazabiliriz. Yani bu, x üssü t d t. Bu, x üssü t çarpı i birim vektörü. Artı y üssü t. Şuradaki. Çarpı d t çarpı j birim vektörü. Üçüncü bir yol ise, d r eşittir, bunları sadeleştiririz, d x çarpı i artı d y çarpı j. Bu, çok mantıklı. d r'ye bakarsak, şu vektörle bu vektör arasındaki farkı inceleyelim. Şuradaki çok küçük değişim, yani d r, d x'i yani x farkını kapsıyor. Bunu yatay yöndeki birim vektörle çarparak vektör haline çeviriyoruz. Artı d y çarpı düşey yöndeki birim vektör. Yani bu uzunluğu birim vektörle çarpınca bu vektörü elde ediyorsunuz. Sonra da bunu çarpınca - aslında buradaki y değişimi negatif- bu vektörü elde edersiniz. İkisini topladığınızda ise, konum vektörünün değişim vektörünü bulursunuz. Böylece temel bilgileri vermiş olduk. Bu, size ilerideki videolarda faydalı olacak. Burada bırakacağız, çünkü size notasyonu tanıtmayı amaçlamıştım. Bir sonraki videoda ise, bu türevin anlamı hakkında daha fazla bilgi vereceğim. Değişik parametrik denklemlere göre nasıl değiştiğini de göreceğiz. Aynı eğrinin iki değişik parametrik denklemler kümesi için türevleri karşılaştıracağım.