Boşluğun ya da Boş Uzayın Boyutu

Burada bir B matrisi var ve ben B'in boşuzayının boyutunu bulmak istiyorum. Bunu birçok kere yaptık, ama şimdi bir tekrar edelim.B'nin boşuzayı, B x' i sıfır yapan, R 5'teki x vektörleridir. Boşuzayın tanımı böyle.Bu denklemin çözümünü bulmaya çalışıyorum.Daha önce gördüğümüz gibi, B'nin satır indirgenmiş basamak matrisini boşuzayı, B'nin boşuzayına eşit. Peki, B'nin satır indirgenmiş basamak matrisi nedir? Bu çok kolay. Şurada bulalım.Burayı 0 yapmak için, ikinci satırın yerine ikinci satır eksi birinci satırı yazalım.Ne elde ettik? İkinci satır eksi birinci satır.Birinci satır değişmez. 1, 1, 2, 3, 2. Ve, ikinci satır eksi birinci satır. 1 eksi 1, 0.1 eksi 1 eşittir 0. 3 eksi 2 eşittir 1.1 eksi 3 eşittir eksi 2. 4 eksi 2 eşittir 2. Neredeyse bitti. Buradaki serbest bir değişken. Bu da pivot değişken. Burada 1 var.Şunu yok edelim. Bunu yok etmek için, birinci satırın yerine birinci satır eksi 2 çarpı ikinci satırı yazarım. Şimdi ikinci satır aynı kalacak. 0, 0, 1, eksi 2, 2. Birinci satırın yerine birinci satır eksi 2 çarpı ikinci satırı yazalım. 1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1. 1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1. 2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0. 3 eksi 2 çarpı eksi 2. 3 artı 4, yani 7, öyle değil mi? 2 çarpı bu, eşittir eksi 4 ve çıkarıyoruz.Sonra da, 2 eksi 2 çarpı 2 , 2 eksi 4 eşittir eksi 2. B'nin satır indirgenmiş basamak matrisi buna eşit.Eğer boşuzayını bulmak istersem, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 eşittir burada iki 0 olacak.Bunu bir denklem sistemi olarak yazabilirim.Böyle de yapalım. x 1 artı 1 çarpı x 2, yani artı x 2, artı 0 çarpı x 3 artı 7 çarpı x 4 eksi 2 çarpı x 5 eşittir 0. Şimdi de, 0 çarpı x 1 artı 0 çarpı x 2 artı 1 çarpı x 3. x 3 eksi 2 çarpı x 4 artı 2 çarpı x 5, şu 0'a eşit. Şimdi Pivot değişkenleri tek başına bırakalım. Bunlar serbest değişkenler. Onları herhangi bir şeye eşitleyebilirim. Pivot değişkenleri tek başına bırakırsam, peki ne elde ederim? x 1 eşittir eksi x 2 eksi 7 x 4 artı 2 x 5. Bunları denklemi iki tarafından çıkardım. Ve x 3 eşittir 2 x 4 eksi 2 x 5. Bu çözüm kümesini vektör şeklinde yazarsam, boşuzayı bulmuş olurum.x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Bu R 5'teki x vektörü, şunların lineer birleşimine eşit.Şunu yazalım. Serbest değişken, x 2, çarpı buradaki vektör. Artı x 3 serbest değişken değil. Artı x 4, bir sonraki serbest değişken, çarpı bir başka vektör. Artı x 5 çarpı bir vektör. Bu vektörler hangileri? Bakalım. x 3 eşittir 2 x 4 eksi x 5. Evet şimdi x 5 çarpı bir başka vektör. Peki, bu vektörler hangileri?Şu ifadelere bir bakalım. x 1 eşittir eksi 1 çarpı x 2. Eksi 1 çarpı x 2 eksi 7 çarpı x 4 artı 2 çarpı x 5. Tamam. Peki, x 3 neye eşit? x 3 eşittir 2 x 4. 2 x 4, öyle değil mi? x 2 ile ilgisi yok, yani 2 x 4 eksi 2 x 5. Ve 0 x 2, öyle değil mi? Çünkü x 2 terimi bulunmuyor.Peki, x 2 neye eşit? Yalnızca, 1 çarpı x 2'ye eşit. O zaman bütün bu terimler 0 olacak.Şimdi buna dikkat etmenizi istiyorum. Şuraya yazayım. x 2 serbest değişken olduğu için, kendine eşit olacak, öyle değil mi? 1, 0, 0 yazıyoruz. x 4 de serbest bir değişken. Bu sorunun en önemli kısmı burası. Yani, 1 çarpı kendine eşit. Diğer serbest değişkenleri işin içine katmak zorunda değilsiniz. x 5 de serbest bir değişken. 1 çarpı kendine eşit ve diğer serbest değişkenlere eşit değil. Şimdi B x eşittir 0 veya B'nin satır indirgenmiş basamak matrisi çarpı x eşittir 0'ın çözümleri şöyle olacak. Bu vektörlerin lineer birleşimleri olacak. Bunlara v 1, v 2, v 3 diyelim. Rastgele reel sayılar. Boşuzayı oluşturmak için herhangi bir birleşimi alabilirim. Yani B'nin boşuzayı, ki bu da B'nin satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayına eşit, bu üç vektörün lineer birleşimlerine veya v 1, v 2 ve v 3'ün germesine eşit. Aynen böyle.Bu soruyu çözmemin nedeni, bu vektörlerin lineer bağımsız bir küme oluşturup oluşturmadığını incelemek. Bu vektörler her zaman lineer bağımsız mı olur? Bunu merak etmemin nedeni şu.Eğer lineer bağımsızlarsa,boşuzayın doğurayını oluştururlar, öyle değil mi ? Boşuzayı gerdiklerini zaten biliyorum. Bir de lineer bağımsızlarsa, doğurayın iki koşulunu da sağlamış olurlar. Boşuzayı germek ve lineer bağımsızlık koşullarını yani. Bu vektörleri inceleyelim. v 1 de ikinci terim 1, çünkü x 2 serbest değişkeni o terime denk geliyor. Diğer vektörlerin ikinci teriminde ise 0 olacak. Çünkü diğer serbest değişkenleri 0'la çarpmam gerekiyordu, öyle değil mi? Boşuzay sorularının hepsinde aynı şey geçerli. Serbest bir değişkenin yerine bir tane 1 koyacağız. Diğer serbest değişkenlerin vektörlerinin aynı sıradaki terimine ise, 0 koyuyoruz. Bu vektörü, şu iki vektörün lineer birleşimi olarak ifade edilebilir miyiz? Bu ikisini 0'la çarptığım için, sonradan çarpacağım hiçbir şeyin toplamı, buradaki 1'i veremez. Yalnızca 0 çıkar. Yani, bu vektörü şunların lineer birleşimi olarak yazamam. Aynı şekilde, bu vektörün de dördüncü sırasında 1 var. Peki, neden dördüncü sırada? Çünkü dördüncü sıra, x 4 serbest değişkenine denk geliyor. Bu eleman 1 olacak. Bunlar da 0 olacak. Yani, bunların lineer birleşimi şunu veremez. Yani, bu vektör, şu vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılamaz. Son olarak, şu x 5'in burada bir 1'i var.Ve buralarda da 0 var. Bu 0'ların hiçbir lineer birleşimi şu 1'e eşit olamaz. Buna göre, bu vektörler lineer bağımsız. Bu vektörleri birbirinin lineer birleşimi olarak yazamayız. Yani, lineer bağımsızlar.Buna göre, v 1, v 2 ve v 3, B'nin boşuzayının doğurayıdır. Değişiklik olsun diye, matrisi B olarak adlandırdım.B'nin boşuzayı, B'nin satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayına eşit. Arada değişik harfler kullanmak iyi olur. Yoksa her matrisin A olduğunu düşünmeye başlayacaksınız.Bu boşuzay, bu vektörlerin germesine eşit. Vektörlerin lineer bağımsız olduğunu da söyledik. Bu vektörleri birbirinin cinsinden ifade etmenin mümkün olmadığını gösterdik. Bu vektörler, B'nin boşuzayının doğurayını oluşturur. Şimdi size ilginç bir sorum var. Bir önceki videoda, boyutu tanımlamıştım. İspat videosu olduğu için, seyretmemiş olabilirsiniz. Onun için, altuzay boyutunu tekrar bir tanımlayayım. Altuzayın doğurayının eleman sayısı. Bir önceki videoda bir altuzayın her doğurayının aynı sayıda elemanı olduğunu ispatlamıştık. Şimdi size soruyorum: B'nin boşuzayının boyutu nedir? B'nin boşuzayının boyutu nedir? Boyut, B'nin doğurayındaki vektör sayısıdır. B'nin doğurayı burada. İçinde kaç vektör var? 1, 2, 3 vektör. Yani, B'nin boşuzayının boyutu 3. Boşuzayın boyutuna hiçlik de diyebiliriz, B'nin hiçliği. Buda 3'e eşit.Bunun üzerinde şimdi düşünelim. Bir matrisin hiçliği neye eşittir? Boşuzayın boyutuna eşittir. Boşuzayda ise, serbest değişken adedi kadar vektör olacak. Yani, genel olarak, A'nın hiçliği, satır indirgenmiş basamak matrisindeki serbest değişken sütun sayısına eşittir. Veya pivotsuz sütun sayısı da diyebiliriz. Bu da serbest değişken sayısı demek, çünkü her serbest değişkenin yanında bir lineer bağımsız vektör olacak, öyle değil mi? Buna göre, boşuzayın doğurayındaki vektör sayısı, serbest değişken sayısına eşit olacak. Serbest değişken sayısı da, satır indirgenmiş basamak matristeki pivot eleman olmayan sütun sayısına eşit olacak, öyle değil mi? Bu sütunda pivot yok, bu sütunda yok, şu sütunda da yok. Bu sütunlar x 2, x 4 ve x 5'e ait. Yani, bir matrisin hiçliği, satır indirgenmiş basamak matristeki pivot eleman bulunmayan sütun sayısına eşittir. Umarım, bunu faydalı buldunuz.