Doğuray Adayının A'nın Sütun Uzayını Kesinlikle Gerdiğini Gösterme

İki video önce, A'nın sütun uzayının doğurayını bulmak için size bir yöntem göstermiştim.A'yı satır indirgenmiş basamak matris olarak yazıyorsunuz. Yani R matrisi, A'nın satır indirgenmiş basamak matris hali. Pivot sütunlarına bakıyorsunuz, örneğin bu bir pivot sütunu.Bir tane 1 var ve diğer elemanlar 0. Aynı zamanda, 1, satırındaki ilk 0 dışı terim. Bu da pivot sütunu. Pivot sütunlarını işaretleyeyim. Şu da pivot sütunu. Satır indirgenmiş basamak matrisin pivot sütunlarını buluyorsunuz. Orijinal matristeki aynı sütunlar doğurayınızı oluşturuyor. Yani birinci, ikinci ve dördüncü sütunlar. Buna a 1, buna a 2, buna da a 4 diyelim. Bu a 3, şu da a 5 olur. a 1, a 2 ve a 4, A'nın sütun uzayının doğurayıdır, diyebiliriz.İki video önce bunu ispatlamamıştım.Sadece bu şekilde bulacağınızı söylemiştim. Sizden bunun doğru olduğuna inanmanızı istemiştim. Doğuray olması için, iki şey doğru olmalı. Vektörler lineer bağımsız olmalı. Bir önceki videoda size, r 1, r 2 ve r 4 diye adlandırdığımız bu vektörlerin lineer bağımsız olduğunu göstermiştim. Her birinin farklı bir konumda bir adet elemanı var ve diğer tüm elemanları 0. Bu örnekte üç pivot sütunu var, ama n adet pivot sütunu olsaydı da aynı şeyi söylerdik. Yani, her pivot sütununun farklı bir yerde 1'i var ve diğer tüm pivot sütunların o konumdaki elemanı 0. Yani, pivot sütunlar birbirlerinin lineer birleşimi olarak yazılamaz. Yani bunlar lineer bağımsız. Geçen videoda gösterdiğim gibi, bunların lineer bağımsız olduğunu bildiğimiz ve R'nin boşuzayı A'nınki ile aynı olduğu için, bunların da lineer bağımsız olması şart. Doğuray olmanın diğer koşulu, a 1, a 2 ve a n'nin germesinin A'nın sütun uzayına eşit olmasıdır. A'nin sütun uzayı, aslında, bütün bu beş vektörün germesidir.Yani burada a 3 ve a 5 de var. Sadece bu üç vektörün sütun uzayını gerdiğini göstermek için, a 3 ve a 5'i a 1, a 2 ve a 4'ün lineer birleşimi olarak ifade edebildiğimizi kanıtlamamız lazım. Eğer bunu kanıtlayabilirsem, bu iki vektörün fazlalık olduğunu söyleyebiliriz. O zaman, a 1, a 2, a 3, a 4 ve a 5'in germesinin a 3 ve a 5'e ihtiyacı yok derim ve vektörleri üçe indiririm. Çünkü bu ikisi, diğer üçünün lineer birleşimi olarak ifade edilebilir.Yani bunlar fazlalık. Diğerlerinin lineer birleşimi olarak ifade edebilirsem, bunları silebilirim. O zaman bu üçünün germesi, beşinin germesiyle aynı olur. Bu germe A'nın sütun uzayıdır.Şimdi bunu göstermeye çalışalım. Bu vektörler a 1'den a 5'e gider. Bu vektörlere de r 1, r 2, r 3, r 4 ve r 5 diyelim.Şimdi boşuzaylara tekrar bakalım. Boşuzay yerine, A x eşittir x yerine x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 yazayım a x eşittir 0. Bunun çözümünü şöyle tanımlamıştık. x 1'den x 5'e tüm vektörler. Bunlar boşuzayımızı belirler. Şimdi de, R çarpı x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 eşittir 0'a bakalım.Bu, 0 vektörü. Bu durumda dört adet 0 var.R m'nin bir elemanı. Bu denklemleri tekrar yazabilirim. A'nın sütun vektörleri nelerdi?a 1, a 2'den a 5'e olan vektörler. x 1 çarpı a 1 artı x 2 çarpı a 2 artı x 3 çarpı a 3 artı x 4 çarpı a 4 artı x 5 çarpı a 5 eşittir 0. Bu ifade, matris vektör çarpımı tanımının bir sonucudur. Bunlar, a 1'den a 5'e sütun vektörleri. Şurada işaretlemiştim.Bu denklemi böyle yazabilirim. Aynı şekilde bu denklemi de şöyle yazabilirim. r 1 çarpı x 1 veya x1 çarpı r 1 artı x 2 çarpı r 2 artı x 3 çarpı r 3 artı x 4 çarpı r 4 artı x 5 çarpı r 5 eşittir 0. Bunu satır indirgenmiş basamak matrise çevirdiğimde, pivot sütunların x değişkenleri bakalım hangileri oluyordu? Pivot sütunlar, r 1, r 2 ve r 4. Pivot sütunların x değişkenlerine pivot değişken diyoruz. Pivot olmayan sütunların x değişkenlerine ise, serbest değişken diyoruz. Bu sorudaki serbest değişkenler, x 3 ve x 5. Bu, A için de geçerli. Bu denklemi sağlayan x vektörleri şu denklemi de sağlar. Bunun tam tersi de doğrudur. İkisinin boşuzayı, çözüm kümesi aynı. Bu x 3 ve x 5'e de serbest değişken diyebiliriz. Peki, bu ne anlama geliyor? Bu konuyla ilgili birçok örnek yapmıştık. Serbest değişkenlere istediğiniz değeri verebilirsiniz. x 3 ve x 5'i istediğiniz reel sayıya eşitleyebilirsiniz. Ve satır indirgenmiş basamak matristen diğer pivot değişkenleri bunların fonksiyonu olarak bulursunuz. Örneğin, x 1 eşittir A x 3 artı B x 5. x 2 eşittir C x 3 artı D x 5. x 4 eşittir E x 3 artı F x 5. Bu ikisinin çarpımını 0'a eşitledikten sonra, pivot değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifade edildiği bir denklemler sistemi elde edersiniz. Orijinal matrise döndüğümüzde ise, serbest sütunlardan birinin vektörünü oluşturabileceğimizi görürüz. Bir serbest vektörü, pivot vektörlerin lineer birleşimi olarak oluşturabilirim. Peki bunu nasıl yaparım? Diyelim ki, a 3'ü veren bir lineer birleşim bulmak istiyorum.Bunu nasıl yaparım? Şu denklemi yeniden düzenleyeyim. Düzeltiyorum.Bu x 3 a 3. Denklemin iki tarafında da x 3 a 3 çıkarırsam, eksi x 3 a 3 eşittir x 1 a 1 artı x 2 a 2 artı x 4 a 4 artı x 5 a 5 Tek yaptığım şey, x 3 a 3'ü denklemin iki tarafından çıkarmaktı. x 3 serbest bir değişken.Onu istediğimiz şeye eşitleyebiliriz. x 5 de serbest. x 3'ü eksi 1 yapalım. Burada eksi x 3 var, o nedenle 1 olur. x 5 yerine de 0 koyalım. x 5 0 olursa bu terim yok olur. x 5'i 0'a eşitlememin sebebi serbest değişken olması. Serbest değişkenleri istediğim sayıya eşitleyebilirim. Böylece a 3'ü potansiyel doğuray vektörlerim a 1, a 2 ve a 4'ün lineer birleşimi olarak yazmış oldum. Bunlar orijinal matrisimizde pivot sütunlara denk gelen vektörler. Bunu her zaman yapabileceğimi kanıtlamak için, bu birleşimi sağlayan x 1, x 2 ve x 4 değerleri olduğunu göstermem gerekiyor. Satır indirgenmiş basamak matristen elde ettiğimiz denklemlerde x 3 yerine eksi 1 ve x 5 yerine 0 koyarsak, bu denklemleri sağlayan x 1, x 2 bulabiliriz. Bu durumda, x 1 eşittir eksi A artı 0, x 2 eşittir eksi C, falan filan.Bunu her zaman yapabiliriz. Pivot olmayan sütunların vektörlerini pivot sütunların vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazabiliriz. a 3 için yaptığım şeyi, şu terimi denklemin iki tarafından çıkarmak suretiyle a 5'e de uygulayabilirim. x 5'i eksi 1'e x 3'ü ise 0'a eşitlerim. Bu terim yok olur ve aynı şekilde işlemlere devam ederim. Umarım, şimdi sizin pivot olmayan sütunların pivot sütunların lineer birleşimi olarak ifade edilebileceği fikrine alışmanızı biraz sağlayabilmişimdir. Bu denklemi değiştirmeniz yeterli. Lineer birleşimini bulmak istediğiniz şeyin katsayısını eksi 1 ve diğer tüm serbest değişkenlerin katsayılarını 0 yapıyorsunuz. Çok basit. Tekrarlıyorum lineer birleşimini bulmak istediğimiz şeyin katsayısına eksi 1 yapıyoruz, diğer tüm serbest değişkenlerin katsayılarını 0 yapıyorsunuz. Böylece, pivot olmayan sütunların pivot sütunların lineer birleşimi olarak ifade edilebileceğini göstermiş olduk. Yani bunlar fazlalık. Bunun germesi, şunun germesine eşit. Bunun germesi, A'nın sütun uzayı. Buna göre, şunun germesi de A'nın sütun uzayı. Bir önceki videoda size, bunların lineer bağımsız olduğunu göstermiştim. Şimdi de bunların germesinin A'nın sütun uzayı olduğunu gösterdim. Böylece satır indirgenmiş basamak matrisin pivot sütunlarına, orijinal matriste denk gelen sütunların, A'nın sütun uzayının doğurayını oluşturduğuna umarım inanmışsınızdır.Sizi ikna edebilmişimdir. Umarım, bunu çok anlaşılması imkansız yada zor bulmamışsınızdır.