Matrisin Boş Uzayı

Altuzay kavramını tekrar edelim. Sonra da, matris ve vektörlerle ilgili altuzaylar tanımlamaya çalışalım. S adında bir altuzayım olduğunu varsayayım. Bunun altuzay olması için şu koşullar sağlanmalı: 0 vektörü S'nin elemanı olmalı. S, 0 vektörünü kapsar. Ayrıca, v 1 ve v 2 altuzayın elemanlarıysa, v 1 artı v 2 de altuzayın elemanı olmalıdır. Bu, altuzayın toplama işlemine göre kapalı olduğu anlamına geliyor. İki elemanını topladığınızda, altuzayın bir başka elemanını elde ediyorsunuz. Hatırlarsanız, son koşul da, altuzayın çarpma işlemine göre kapalı olmasıydı.Çarpa işlemine göre kapalı olacak. c bir reel sayı ise, bir skalerse, ve v 1 altuzayın bir elemanı ise, c ile v 1'i çarptığım zaman, altuzayın bir başka elemanını elde etmem gerekiyor. Yani, altuzay çarpmaya göre kapalı.Altuzayın anlamı buydu. Altuzay tanımımıza göre, bunların doğru olması lazım. Şimdi, matris vektör çarpımıyla ilgili ilginç bir şeyler yapalım. Bir A matrisimiz var, diyelim. m n matrisi. Bir homojen denklem kurmak istiyorum. Niye homojen olmasını istediğimi birazdan size anlatacağım. Denklemi kuralım. A matrisi çarpı x vektörü eşittir 0 vektörü. Burada 0 olduğu için, bu homojen bir denklem. Altuzaylar hakkında konuştuğumuza göre, şu soruyu sormak istiyorum: Bu denklemi sağlayan tüm x'leri alırsam, bütün bu x'lerin kümesi geçerli bir altuzay oluşturur mu? Şimdi bunu düşünelim. R n'nin elemanı olan tüm x'leri almak istiyorum. Eğer matrisimizin n adet sütunu varsa, x'in n tane bileşeni olması gerekir. Ancak bu şekilde matris vektör çarpımı tanımlı olabilir. Şimdi, R n'nin elemanı olan ve A çarpı x eşittir 0 vektörü denklemini sağlayan tüm vektörlerin kümesini tanımlayayım. Size sorum, şu bu bir altuzay mıdır? Bu geçerli bir altuzay mıdır? Yani, birinci sorum, bu küme 0 vektörünü kapsar mı? 0 vektörünü kapsaması için, 0 vektörünün bu denklemi sağlaması lazım. Herhangi bir m n matrisinin 0 vektörüyle çarpımının sonucu nedir? A matrisini yazayım: a 1 1, a 1 2, a 1 n'ye kadar. Ve, sütun boyunca indiğimizde, a m 1'e kadar gideriz. Sağ alt köşeye gidersek de, a m n'ye ulaşırız. Bunu n bileşenli bir 0 vektörüyle çarpacağım. Bu 0 vektörünün n adet sıfırı olacak. Buradaki bileşen sayısının sütun sayısıyla aynı olması lazım. Peki, bu çarpımı aldığınızda ne elde edersiniz? Ne elde ederiz? Birinci terim, a 1 1 çarpı 0 artı a 1 2 çarpı 0 artı bu terimlerin her biri çarpı 0 olacak. Bunları topladığımızda, a 1 1 çarpı 0 artı a 1 2 çarpı 0,artı a 1 n çarpı 0'a kadar, 0 elde ederiz. Şimdi bu terim: a 2 1 çarpı 0 artı a 2 2 çarpı 0 artı a 2 3 çarpı 0, a 2 n çarpı 0'a kadar. Bu da 0 olacak. Her ne kadar satır vektörüyle sütun vektörü arasındaki iç çarpımı henüz tanımlamış olmasak da, olayı anladığınızı düşünüyorum, bileşenlerin karşılıklı çarpımlarının toplamını almaya devam ediyoruz. Ve, tabii ki, her seferinde 0'la çarpıp topluyoruz. Bu nedenle, sadece 0'lar elde edeceğiz. Yani, 0 vektörü denklemi sağlar.A çarpı 0 vektörü eşittir 0 vektörü. Bu çok alışılmadık bir notasyon aslında.0'ların vektör olduğunu belirtmek için koyu yazmam gerekiyordu ama üşendim. Birinci koşulu sağladık. 0 vektörü kümenin bir elemanı. Şimdi kümemi tanımlayayım. N adını vereyim. Artık 0 vektörünün N kümesinin bir elemanı olduğunu biliyoruz. Şimdi, kümemizin elemanı olan v 1 ve v 2 vektörlerini alalım. Bunun anlamı nedir? İki vektör de bu denklemi sağlar. Yani, A matrisi çarpı 1. vektör eşittir 0. Tanım gereği böyle. Kümenin elemanı olduğunu söylüyorsam, bu denklemi sağlaması gerekiyor. Ayrıca, A çarpı 2. vektör de 0 vektörüne eşit. Bunun toplama işlemine göre kapalı olması için, A çarpı 1. vektör artı 2. vektör, yani bu iki vektörün toplamının da N'nin elemanı olması gerekiyor. Bunun ne olduğunu bulalım. Bu vektörlerin toplamı, şuradaki vektördür.Bunu henüz ispatlamadım. Bunu ispatladığım bir video yapmadım. Ama matris vektör çarpımı tanımını ve bu çarpımın dağılma özelliğini kullanarak gayet kolay bir şekilde ispatlayabiliriz. Belki bu konuda ilerde bir video yaparım, ama yapmanız gereken tek şey, her terimi teker teker hesaplamak. Bu eşittir A v 1 artı A v 2. Ve, bunun 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz. Şunun da 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz. 0 vektörünü kendiyle toplarsam, bunun tamamı 0 vektörüne eşit olur. v 1 N'nin bir elemanıysa ve v 2 N'nin bir elemanıysa, bu demektir ki, ikisi de bu denklemi sağlar. O zaman, v 1 artı v 2 de N'nin bir elemanıdır. Çünkü bunu A ile çarptığımda, yine 0 vektörünü elde ederim. Bu sonucu da yazayım. v 1 artı v 2'nin de N'nin elemanı olduğunu öğrendik. Göstermemiz gereken en son şey, N'nin çarpmaya göre kapalı olduğu. v 1'in altuzayımızın bir elemanı olduğunu varsayalım. Yani, v 1 bu denklemi sağlar. Peki, c çarpı v 1? Düşünelim. Bu vektörü sadece skalerle çarptım.Sonuçta bir başka vektör elde ederim. Küçük v yazayım, vektör olduğu belli olsun. Bu neye eşit? Size bunu ispatlamadım, ama ispatı gayet kolay. Skalerlerle işlem yaparken, burada bir skaler varsa, önce vektörü skalerle çarpıp sonra matrisle çarpmak veya önce vektörü matrisle sonra skalerle çarpmak sonucu değiştirmez. Yani, bu eşittir c çarpı A matrisi çarpı v vektörü. Bu iki ifade birbirine denk. Belki bu konuyla ilgili bir video yapmalıyım. Ama, şimdilik ispatı size bırakıyorum. Tek tek bileşenleri hesapladığınızda, bunu göstermiş olacaksınız. v 1 kümemizin elemanı olduğu için, A çarpı v 1'in 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz. Bu demektir ki, bu ifadeyi c çarpı 0 vektörüne indirgeyebiliriz, ki bu da 0 vektörüdür. Yani, c v 1 de N'nin elemanıdır. Buna göre, N çarpma işlemine göre kapalıdır. Burada varsayımda bulundum. Belki bunu başka bir videoda ispatlayabilirim.Bütün bunları, N kümesinin geçerli bir altuzay olduğunu göstermek için yaptım. Bu, geçerli bir altuzay. Çünkü 0 vektörünü kapsar. Toplama işlemine göre kapalıdır ve çarpma işlemine göre kapalıdır. Aslında, bu küme için özel bir adımız var, N kümesine A'nın boşuzayı deriz.Boşuzayın notasyonuda böyle. Boşuzay.. Size herhangi bir A matrisi versem ve bu matrisin boşuzayını bulmanızı istesem, bu durumda neyi bulmanızı istemiş olurum? A çarpı x eşittir 0 denklemini sağlayan x'lerin kümesini bulmanızı istemiş olurum. Ama bunu bir sonraki videoda yapacağım.