Doğuray Sütunları ile Pivot Sutunları Arasındaki İlişki

Bir önceki videoda sütun uzayının doğurayını bulmak için bir yöntem görmüştük ve bu örneği kullanmıştık. A matrisini satır indirgenmiş basamak matrise çevirmiştim. Ve satır indirgenmiş basamak matristeki pivot sütunları bulmuştum. Birinci, ikinci ve dördüncü sütun. A'daki aynı sütunların sütun uzayının doğurayını oluşturduğunu söylemiştik. Sütun uzayının boyutunu veya rankı bulmak isterseniz de doğurayda üç vektör var, dersiniz. Yani matrisin rankı 3. Bu videoda bu yöntemin niye işe yaradığından bahsetmek istiyorum. Niye A'daki sütunları alabildik? Bunların lineer bağımsızlığı neden şunların lineer bağımsızlığını garantiledi? Bu vektörü, şu üçünün lineer birleşimi olarak alabilmem, neden şu vektörü bunların lineer birleşimi olarak alabilmemi sağladı? Bir önceki videodaki ilk konu, bu pivot vektörlerin lineer bağımsızlığıydı. r 1, r 2 ve r 4. Yaptıklarımı anlaşılır kılmak için, spesifik bir örneğe uygulayacağım.Ama bunu genelleyebiliriz. Genel olarak, satır indirgenmiş basamak matristeki tüm pivot sütunlar lineer bağımsızdır, diyebiliriz. Bunun sebebi, satır indirgenmiş basamak matrisin doğası gereği, her pivot sütundaki 1 sayısının yerinin farklı olması. Yani, o vektör gerekli. Diğer pivot sütunlarla o pivot vektörü elde edemezsiniz, çünkü diğer pivot sütunlarda o konumda 0 var. Lineer bağımsız derken, tabi pivot sütunları kastediyorum.Bunu genel olarak belirteyim. Satır indirgenmiş basamak matristeki pivot sütunlar lineer bağımsızdır. Bu açıklama son derece mantıklı.Çünkü her sütundaki 1'in konumu, farklı. Diğer pivot sütunlarda ise, o konumda 0 olacak. Yani, lineer birleşimle 1 elde edemezsiniz, çünkü 0 çarpı herhangi bir şey artı veya eksi 0 çarpı başka bir şey, 1'e eşit olamaz. Sanırım, bunu doğru olarak kabul edebiliriz. Buna göre, c 1 çarpı r 1 artı c 2 çarpı r 2 artı c 4 çarpı r 4. Bunlar lineer bağımsız olduğu için, bu denklemin çözümü, sadece c 1, c 2, c 4 eşittir 0 olacak. Tek çözümü bu. Şöyle de ifade edebiliriz. r çarpı x vektörü, yani c 1, c 2, 0, c 4, 0, eşittir 0. Yani, bu, boşuzayın bir elemanı olacak. Denklemin bir çözümü olacak.Bu vektörde dört tane 0 olacak, çünkü şurada dört satırımız var. Şimdi bunu açalım. 1 çarpı c 1 artı 0 çarpı c 2 eksi 1 çarpı 0 artı 4 çarpı 0 daha iyi anlatmak istersek, şöyle diyelim bu çarpımı şöyle yazabiliriz, c 1 çarpı r 1 artı c 2 çarpı r 2 artı 0 çarpı r 3. Bu terimi yok sayalım, artı c 4 çarpı r 4 artı 0 çarpı r 5. Şu, r 5. Bunun tamamı eşittir 0. Bu üç sütunun lineer bağımsız olduğunu bildiğim için, tek çözüm, bunların hepsinin 0 olduğu durumdur. Burada, aynen böyle demiştim. Eğer bu ikisini 0 olmakla sınırlamışsam, diğerleri de 0 olmak zorundadır. Birkaç kere daha önce söylediğimiz gibi, R x eşittir 0'ın çözüm kümesiyle A x eşittir 0'ın çözüm kümesinin aynı olduğunu biliyoruz. Peki, bunu nasıl biliyoruz? Yani ne demek istiyorum? Bunun çözüm kümesi, boşuzaydır. R'nin boşuzayıdır.Bu denklemi sağlayan tüm x'lerdir. Bunun da A'nın boşuzayına eşit olduğunu biliyoruz, çünkü R, A'nın satır indirgenmiş basamak matris hâli.Yani, bu A'nın boşuzayı, bu denklemi sağlayan tüm x'ler. Bu denklemi c 1, c 2 ve c 4, 0'a eşit olduğunda sağlıyorduk. Yani, bu denklemi sağlayan c 1, c 2, 0, c 4, 0 vektörü , c 1, c 2 ve c 4'ün 0 olduğu vektördür. Burada a 1, a 2, a 4 vektörü var. Bunları çarpınca c 1 çarpı a 1 artı c 2 çarpı a 2 artı 0 çarpı a 3 artı c 4 çarpı a 4 eşittir 0'ı, elde ediyoruz. Bunlar lineer bağımsız olduğu için, bu denklemin tek çözümü hepsinin 0 olduğu durumdur. Hepsinin sıfır olduğu çözümün tek çözüm olduğunu biliyoruz, çünkü bunun çözümü şunun da çözümüdür. Ve bunun çözümünde şu iki terimi 0 olacak şekilde kısıtlarım. Bu nedenle, bu c'lerin hepsinin 0 olduğu durum, tek çözümdür. Bunları da 0 olacak şekilde kısıtlarsam, bunun tek çözümü, c 1, c 2 ve c 4'ün 0 olduğu çözümdür. Yani, bunlar 0 olmak zorunda. Buna göre de, a 1, a 2 ve a 4 lineer bağımsızdır.İşin yarısını bitirdik. Pivot sütunlar lineer bağımsız olduğu için, bunların çözüm kümesi aynı. Satır indirgenmiş basamak matrisin boşuzayıyla, orijinal matrisin boşuzayı aynı. c 1 çarpı bu artı c 2 çarpı şu artı c 4 çarpı bu eşittir 0'ın tek çözümü, tüm sabitlerin 0 olduğu çözümdür. Bu da, bu vektörlerin lineer bağımsız olduğunu gösterir. Doğuray olduğunu ispatlamak için, bir sonraki yapmam gereken şey, diğer sütun vektörlerinin bu üç vektörün lineer birleşimi olarak ifade edilebileceğini göstermek. Sizi daha fazla sıkmamak ve daha açıklayıcı olabilmek için, bunu bir sonraki videoya bırakacağım.Bu videoda pivot sütunların lineer bağımsız olduğunu gördük. Pivot sütunlar, tanımsal olarak, lineer bağımsızdır.Veya orijinal matriste pivot olmayan sütunları çıkarınca kalan sütunlar da lineer bağımsızdır. Bir sonraki videoda bu üç vektörün sütun uzayını gerdiğini göstereceğiz.