Boş Uzay ve Sütun Uzayının Doğurayı

Bu videoda, matris, boşuzay, sütun uzayı ve lineer bağımsızlık hakkında tüm bildiklerimizi birleştirmek istiyorum. Tabi bu videoya sığmayabilir de belki birkaç video sürebilecek. Evet, burada A matrisi var.Öncelikle sütun uzayını ve boşuzayını bulalım. Sütun uzayını bulmak, çok kolay.A'nın sütun vektörlerinin germesi demiştik değil mi?. Şimdi şurada, A'nın sütun uzayını bulalım. A matrisinin sütun uzayını, şu vektörlerin germesi olarak buluruz. 1, 2, 3. 1, 1, 4. 1, 4, 1. 1, 3, 2. Bitti. Bu, boşuzay bulmaktan daha kolaydı. Ama bu, size yeterli gelmemiş olabilir çünkü bir sürü cevaplanmamış soru var. Örneğin, bu, uzayın doğurayı mı? Bu vektörler lineer bağımsız bir küme mi oluşturuyor?Bu uzayı nasıl görselleyebiliriz? Evet bu soruların hiçbirini şuan cevaplamadım. Ama, birisi size A'nın sütun uzayı nedir, diye sorarsa, budur. Evet şimdi de bu soruların bazılarını cevaplayabiliriz. Eğer bu lineer bağımsız bir vektör kümesiyse, bu vektörler A'nın sütun uzayının doğurayı our. Böyle olup olmadığını daha bilmiyoruz. Bu vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını bilmiyoruz. Ama, A'nın boşuzayına bakarak, lineer bağımsız olup olmadığını anlayabiliriz. Hatırlarsanız, A'nın boşuzayı sadece 0 vektöründen ibaretse, bu vektörler lineer bağımsız demektir. A'nın boşuzayını bulalım. Burada bir kısa yol kullanabiliriz. A'nın boşuzayı, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayına eşit. Çünkü, A'nın boşuzayını bulurken, arttırılmış matris oluşturuyoruz.Ve, arttırılmış matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline getiriyoruz, ama 0'lar değişmiyor. Yani, A'yı satır indirgenmiş basamak matris haline getirmiş oluyorum.Bunu yapalım. Birinci satırı aynı tutalım, 1, 1, 1, 1. İkinci satırın yerine, ikinci satır eksi birinci satırı yazalım. Ne çıkar ? Aslında, şunu 0 yapmak istiyorum. Yani, ikinci satır eksi 2 çarpı birinci satır. Daha da iyi oldu, çünkü eninde sonunda burada bir 1 olmasını isteyecektim. 2 çarpı birinci satır eksi ikinci satır diyelim. 2 çarpı birinci satırdan, ikinci satırı çıkaracağım. 2 çarpı 1 eksi 2 eşittir 0, burada da 0 olmasını istiyorum. 2 çarpı 1 eksi 1 eşittir 1. 2 çarpı 1 eksi 4 eşittir eksi 2. 2 çarpı 1 eksi 3 eşittir eksi 1. Şimdi bakalım, bu sayıyı sıfıra çevirebililecekmiyiz Ne yapabilirim? Bunu 0 yapan her birleşimi uygulayabilirim. Ama, eksili sayılarımın adedini en azda tutmayı istiyorum Bu nedenle, üçüncü satır eksi 3 çarpı birinci satırı alalım. Eksi 3 çarpı birinci satır artı üçüncü satır. 3 eksi 3 çarpı 1 eşittir 0.Bunlar 3 olacak. 4 eksi 3 çarpı 1 eşittir 1. 1 eksi 3 çarpı 1 eşittir eksi 2. 2 eksi 3 çarpı 1 eşittir eksi 1. Bunu satır indirgenmiş basamak matris basamak matrisi haline getirmek istiyorsak, şu ve bu terimi hedef almalıyız. Peki ne yapabiliriz? Orta satırı aynı tutalım. Orta satırım değişmeyecek. 0, 1, eksi 2, eksi 1. Bunu yok etmek için, birinci satırın yerine, birinci satır eksi ikinci satırı yazabilirim. Çünkü, bu değişmeyecek.1 eksi 0 eşittir 1. 1 eksi 1 eşittir 0.Bunu istiyorduk. 1 eksi eksi 2 eşittir 3. 1 artı 2 olur. 1 eksi eksi 1.Buda 1 artı 1 demek.Yani, 2. Şimdi üçüncü satırı yapalım.Üçüncü satır yerine ikinci satır eksi üçüncü satırı yazayım. Bu iki satır aynı. Üçüncü satırı ikinci satırdan çıkarınca, 0'lar elde edeceğiz. 0 eksi 0 eşittir 0. 1 eksi 1 eşittir 0. Eksi 2 eksi eksi 2 eşittir 0. Ve, eksi 1 eksi eksi 1. Eksi 1 artı 1.Bu da 0'a eşit. Şimdi, satır indirgenmiş basamak matris haline getirdik. Bu, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisi.Bu kadar kolay. Şimdi bu işlemleri yapmamızın sebebi, A'nın boşuzayını bulmak istememiz. A'nın boşuzayının, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayına eşit olduğunu biliyoruz Bu da, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisi olduğuna göre, boşuzayını bulalım. Boşuzay, R 4'ten gelecek, çünkü burada 4 sütun var. Boşuzay, bu denklemi sağlayan tüm vektörlerin kümesidir. Şurada üç tane 0 olacak. Bu, R 3'ün 0 vektörü. Burada üç satır var. Bununla şunun çarpımı eşittir 0. Bu ile şunun iç çarpımı şu 0 olacak. Şu ikisinin iç çarpımı, bu 0 olacak. Ve henüz, satır vektörüyle sütun vektörü arasındaki iç çarpımı tanımlamadım. Sadece sütun vektörlerinin iç çarpımını tanımlamıştım. Ama, önceki bir videoda, satır vektörünün sütun vektörünün devriği olduğundan bahsetmiştik. Şimdi, bir denklem sistemi yazalım. 1 çarpı x 1. Bu çarpı şu eşittir şu 0. 1 çarpı x 1, yani x 1. Artı 0 çarpı x 2.Bunu yazalım. Artı 3 çarpı x 3. Artı 2 çarpı x 4 eşittir bu 0. Ve, burada 0 çarpı x 1. Artı 1 çarpı x 2.Eksi 2 çarpı x 3. Eksi x 4 eşittir 0. Bu, bize bir bilgi vermiyor. 0 çarpı bunun tamamı eşittir 0. Yani, 0 eşittir 0'a dönüşür. Şimdi pivot elemanları veya pivot değişkenleri bulmaya çalışalım. Pivot elemanlar hangileri? Bu, pivot eleman. Bu da pivot eleman. Satır indirgenmiş basamak matrise çevirmenin amacı şu, sütunlarındaki bu 0 dışı tek terim olan bu elemanları bulmak. Bir pivot eleman, bir önceki satırdaki pivot elemanın sağında yer alır. Peki, ya pivot elemanı olmayan sütunlar? Onlara ne olacak? Bu sütunlar serbest değişkenleri temsil ediyor.Bu sütunun pivot elemanı yok. Yani, iç çarpımı alınca, bu sütun, denklem sistemimizde şu sütuna dönüşür. Buna göre, x 3'ün serbest değişken olduğunu biliyoruz.x 3 serbest. Herhangi bir şeye eşit diyebiliriz. Aynı şekilde, x 4 de serbest değişken. x 1 ve x 2 pivot değişkenler, çünkü satır indirgenmiş basamak matristeki sütunlarında pivot eleman var. Tamam.Bakalım, bunu sadeleştirebilir miyiz. Bunu daha önceden görmüştük. x 1'i bulmak istersek, bu 0'ı yok sayabilirim. x 1 eşittir eksi 3 x 3 eksi 2 x 4 diyebilirim. Bu ikisini denklemin iki tarafından çıkardım. x 2 eşittir 2 x 3 artı x 4 diyebiliriz o zaman. Çözüm kümesini yazmak istersek, A'nın boşuzayı, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayıyla aynıdır. Bu da x 1, x 2, x 3, x 4 vektörlerini kapsar. Burada x 1 eşittir eksi 3 x 3 eksi 2 x 4. Bunların serbest değişken olduğunatabi dikkatinizi çekmek isterim, bunlar herhangi bir şeye eşit olabilir. Bunlar pivot değişkenler, çünkü onları herhangi bir şeye eşitleyemem. x 3 ve x 4'ün değerlerini belirledikten sonra, x 1 ve x 2'yi bulabilirim.Bunlar pivot elemanlar. Bunlar serbest değişkenler. Bunu Pi yapabilirim.Bunu eksi 2 yapabilirim. Herhangi bir şeye eşitleyebilirim. Yani, x 1 eşittir farklı bir renkte yazayım.Eşittir x 3 çarpı bir vektör artı x 4 çarpı başka bir vektör Yani, boşuzayımdaki her vektör, bu iki vektörün lineer birleşimi olacak. Bu iki koşuldan bu iki vektörün ne olduğunu bulabiliriz. x 1 eşittir eksi 3 çarpı x 3 eksi 2 çarpı x 4. Yeterince basit. x 2 eşittir 2 çarpı x 3 artı x 4. x 3 neye eşittir? x 3 kendisine eşit. Peki, x 3'ü kaça eşitlersek, değeri o olur. Yani, x 3 eşittir 1 çarpı x 3 artı 0 çarpı x 4. İçinde x 4 olmayacak.x 3 bağımsız olacak. Serbest değişken. İstediğimiz sayıya eşitleyebiliriz. Sayıyı tespit ederiz ve çözüm kümemizde x 3'ün değeri o olur. x 4'te de x 3 olmayacak. 1 çarpı x 4. Buna göre, boşuzayımız şu iki vektörün lineer birleşimleri. Bu, herhangi bir reel sayı olabilir. x 4 de herhangi bir reel sayı tabi. A x eşittir 0'ın çözümleri, bu denklemi nereye yazmıştım? Yazmış mıydım? Yok, daha yazmamışım. A x eşittir 0'ın çözüm kümesi, şu vektör ve bu vektörün lineer birleşimlerine eşit. Tüm lineer birleşimlerden neyi kastettiğimizi biliyoruz. Yani, bu iki vektörün germesi, eksi 3, 2, 1, 0 ve eksi 2, 1, 0, 1 vektörlerinin germesi. Yani bu iki vektörün germesi. Eksi 3,2,1,0 ve eksi 2,1,0,1 vektörlerinin germesi. Şimdi size bir soru sorayım. A'nın sütunları lineer bağımsız bir küme midir? Lineer bağımsız mı? A'nın sütun vektörlerini yazayım. A'nın sütun vektörleri nelerdir? Bakalım. 1, 3, 2. Hayır, 1, 2, 3. 1, 1, 4. 1, 4, 1. Ve 1, 3, 2. Evet bunlar A'nın sütun vektörleri. Sorum şöyleydi: Bu sütunlar lineer bağımsız mı? Şöyle düşünmeye başlamanız lazım. Lineer bağımsızlığın anlamı, A x eşittir 0'ın tek çözümü olması. Bunu, sanıyorum, iki video önce görmüştük. Bu çözüm de 0 vektörü olur. Bunu söylemenin bir başka yolu da, A matrisinin boşuzayı sadece 0 vektöründen ibaret demek. Lineer bağımsızlığın anlamı, bu. Boşuzayın, sadece yani boşuzay, sadece 0 vektörüyse, sütun vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu biliyoruz. Boşuzayda başka vektörler de varsa, sütun vektörleri lineer bağımsız değil. A'nın boşuzayı neleri kapsıyor? Sadece 0 vektörünü mü? Hayır, şu iki vektörün tüm lineer birleşimlerini kapsıyor. Tek bir çözüm değil, sonsuz sayıda vektör kapsıyor ve 0 vektörü bunun içinde. Bu ikisine 0 desek, ve bunları çarpsak. 0 içinde, ama başka vektörler de bulabiliriz. Çünkü A'nın boşuzayı sadece 0 vektörünü kapsamıyor. 0'dan farklı vektörler de var.Peki, bu ne demek? Birden fazla çözüm var demek. Bu demektir ki, bu lineer bağımlı bir küme. Peki, bu ne demek? Videonun başında, A'nın sütun uzayının ne olduğunu sormuştuk. A'nın sütun uzayı, şu iki vektörün germesidir, demiştik. Bunu böyle yazmıştım Bunun A'nın sütun uzayının doğurayı olup olmadığı belli değil. Peki, doğuray nedir? Doğuray bir altuzayı geren vektör kümesidir. Bu vektörler lineer bağımsızdır. Bu vektörlerin lineer bağımlı olduğunu göstermiştik. Bu demektir ki, A'nın sütun uzayının doğurayını oluşturmazlar. A'nın sütun uzayını gererler, ama doğuray değildirler. Doğuray olmak için, lineer bağımsızlık gerekir. Şimdi bu sütun uzayının doğurayını bulalım. Bunun için, bazı fazlalık vektörleri atmamız gerekecek. Şu vektörü bu iki vektörün lineer birleşimi olarak gösterebilirsem, ona ihtiyacım yok demektir. Bize yeni bir bilgi vermiyor demektir.Bu vektör için de aynı şey geçerli. Bakalım, bulmacanın bu kısmını çözebilecek miyiz. x 1 çarpı 1, 2, 3 artı x 2 çarpı 1, 1, 4. x 3 çarpı 1, 4, 1. Artı x 4 çarpı 1, 3, 2. Bunun 0'a eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi, serbest değişkenli vektörlerimizi diğer vektörlerin cinsinden yazmaya çalışalım.Bunu yapmak kolay. x 4'ü tek başına bırakalım. Bunu denklemin iki tarafından çıkarırsam ne elde ederim? x 3'ü 0'a eşitleyelim. Serbest bir değişken olduğu için bunu yapabilirim. Eğer x 3'ü 0'a eşitlersem, ne bulurum? x 3, 0 olursa, bu yok olur. Bunu denklemin iki tarafından çıkarırsam, şunu elde ederim. x 1 çarpı 1, 2, 3. Artı x 2 çarpı 1, 1, 4. Eşittir x 3'e 0 demiştim. Serbest değişken. x 3'ü 0'a eşitlerim.Bunun tamamı yok olur. Yani, bu eşittir eksi x 4 çarpı 1, 3, 2. Şimdi x 3'ü 0'a eşitlerim. x 4'ü de eksi 1'e eşitlerim. x 4 eksi 1'e eşitse, eksi x 4 nedir? Bu da, 1'e eşit olur. x 1 çarpı 1, 2, 3 artı x 2 çarpı 1, 1, 4, şu dördüncü vektöre eşit. x 3 ve x 4'e değer vererek, böyle çözümler bulabilirim. Boşuzayı böyle bulmuştuk. Serbest değişkenlere değer verirsem, x 3'e 0, x 4'e eksi 1 dersem, peki x 1 nedir? x 1 eşittir 3 x 3, bu 0, eksi 2 çarpı x 4. x 4 eksi 1 ise, eksi 2 çarpı eksi 1. x 1 eşittir 2. x 2 kaça eşit? x 2 eşittir 2 çarpı x 3, bu 0, artı x 4. Yani, eksi 1'e eşit. Buna 2, şuna eksi 1 dersem, bu iki vektörün lineer birleşimi, bize şu dördüncü vektörü veriyor. Bunu doğrulayabiliriz. 2 çarpı 1 eksi 1 eşittir 1. 2 çarpı 2 eksi 1 eşittir 3. 2 çarpı 3 eşittir 6, eksi 4 eşittir 2. Doğruladık. Serbest değişkenleri, pivot değişkenleri ve tanımları kullanarak, dördüncü vektörün ilk iki vektörün lineer birleşimi olarak yazılabileceğini göstermiş oldum. Yani, bu dördüncü vektörün gereksiz olduğu, germeye bir katkıda bulunmadığı Sonucuna da varabiliriz. Çünkü bu vektör, bu ve şu vektörün lineer birleşimi olarak yazılabiliyor. Üçüncü vektör için de aynı şeyi yapabilir miyiz, bakalım. Bunda da serbest değişken var. Bakalım, bu vektörü ilk ikisinin birleşimi olarak yazabilir miyim.Aynı şeyi yapacağız. Bu defa x 4'e 0 diyelim çünkü x 4'ü yok etmek istiyoruz. x 3'ü de eksi 1'e eşitleyelim. x 3 eksi 1'e eşit olursa, denklem nasıl sadeleşir? x 1 çarpı 1, 2, 3 artı x 2 çarpı 1, 1, 4. Denklemin iki tarafını bununla toplarsam, artı 1 çarpı 1, 4, 1 elde ederim. Yine x 1 ve x 2'yi bulmaya çalışırım. x 4 , 0 ve x 3 eksi 1 olursa, x 1 x 4, 0 olur. x 1, eksi 3 çarpı x 3'e eşit olur, x 1 eşittir 3, öyle değil mi? Eksi 3 çarpı eksi 1. Peki, x 2 neye eşit olur? x 4 0, yani onu yok sayarız. x 2, eksi 2'ye eşit olur. Bu, 3 olur, bu da eksi 2. Şimdi bunu doğrulayalım. 3 çarpı 1 eksi 2 eşittir 1. 3 çarpı 2 eksi 2 eşittir 4. 3 çarpı 3 eksi 8 eşittir 1. Doğruladık. Bu vektörü, şu iki vektörün lineer birleşimi olarak yazabilirim. Yani, onu kümemizden silebiliriz. Bu vektörün bu ikisinin lineer birleşimi olarak yazılabileceğini gösterdim. Şu vektör de bu ikisinin lineer birleşimi olarak yazılabilir. Şimdi bu vektörlerin germesini baştan yazayım. A'nın sütun uzayını baştan yazabilirim. Önceden bütün bu vektörlerin germesidir, demiştim değil mi?.Sütun uzayı için. Tüm sütun vektörlerinin germesi. v 1, v 2, v 3 ve v 4. Şimdi ise, v 3 ve v 4'ün v 1 ve v 2 cinsinden yazılabileceğini gösterdim. Yani, onlar fazlalık. Buna göre, sütun uzayı, v 1 ve v 2'nin germesine eşit. 1, 2, 3 vektörü ve 1, 1, 4 vektörü. Bunlardan fazlalık olan var mı? Yani birini diğerinin lineer birleşimi olarak ifade edebilir miyim? Bir vektörle lineer birleşim, o vektörün bir skalerle çarpımıdır. Bunu düşünelim. Bunu göstermenin birden fazla yolu var. Bu sayıdan şu sayıya ulaşmak için 1'le çarpmam gerekiyor. Ama bu vektörün tamamını 1'le çarparsam, burası 2 ve şurası 3 olacak. Ve, öteki vektörü elde edemeyeceğim. 1, 2, 3 vektörünün skalerle çarpımı, 1 c, 2 c, 3 c olacak, öyle değil mi? Bu vektör, şu şekilde gösteriliyorsa, ve bu bir skalerse, vektör 1, 1, 4'e eşit olacak. Üstteki eleman, c'yi 1 yapar. İkinci elemana göre, c 1 bölü 2'ye eşit olur. Yani bir çelişki elde ediyoruz. Burada ise, c 4 bölü 3'e eşit olmak zorunda. Bunu sağlayan bir c değeri yok. Yani, bunu diğerinin lineer birleşimi olarak yazamayız. Bunların lineer bağımsız olduğunu ispatlamanın başka yolları da var. Lineer bağımsızlık nedeniyle, 1, 2, 3 ve 1, 1, 4 vektörlerinin A'nın sütun uzayının doğurayı olduğunu söyleyebiliriz. Bu videoyu burada bırakalım, çünkü zamanı biraz aştık bence. Sonraki birkaç videoda, A'nın sütun uzayının doğurayını görsellemeye çalışacağız A'nın sütun uzayı, bu iki vektörün germesidir, diyebiliriz. Bu iki vektörün germesinin nasıl bir şey olduğunu düşünebiliriz. R 3'te bir düzlem olduğunu göreceğiz. Kısa bir hatırlatma yapmak istiyorum. Doğurayın iki vektörü A'nın sütun uzayını gerer. Dört vektör varken, bu dört vektör de A'nın sütun uzayını geriyordu. Ama bunu doğuray yapan, bu vektörlerin lineer bağımsız olmasıdır. Doğuraydaki vektörlerle ifade edilen fazlalık vektörlerden kurtulmuş oluyoruz. Bunlar lineer bağımsız vektörler. Neyse, burada bırakıyoruz.