Eğim-Kesim Formu ile İlgili Sorular

Bu videoda sizlere eğim keseni formundaki denkelemlerin nasıl çözüleceğine dair birkaç örnek göstereceğim. y eşittir, mx artı b şekildeki denklemlerde, m' nin eğim, ve b'nin ise, y eksi keseni olduğunu hatırlamakta fayda var. Hadi birkaç soru çözelim. Eğer bir denklemde eğim " eksi 5" ise, 'm' de " eksi 5" demektir.. Ve y eksi keseni 6' ysa. Bu da demek oluyor ki, 'b', 6'ya eşittir. Yani oldukça basit! Böyle bir doğrunun denklemi, y eşittir, eksi 5x, artı 6' dır. Bu çok zor bir örnek değildi değil mi?.Hadi başka bir tane yapalım. Doğrunun eğimi " eksi 1" dir. Peki, ve doğru, 4 bölü 5'e 0 noktasından geçmektedir. Bu bize eğimin " eksi 1" olduğunu gösteriyor. Şu an m' nin kesin olarak " eksi 1"e eşit olduğunu biliyoruz, ama, y keseninin, nerede olacağını tam olarak bilmiyoruz. Ama şunu biliyoruz ki, bu denklem de m, Yani eğim " eksi 1" o halde denklemimizi yazalım. y eşittir, eksi 1 çarpı 'x', artı y keseni yani b' ye eşittir. Bu denklemi, 'b' yi bulmak için kullanabiliriz, çünkü bu nokta, biraz önce bahsettiğimiz,(4 bölü 5'e 0) noktası, bu denklemi sağlıyor. Bu denklemde bu nokta, mevcut demek, Biz 'x' yerine 4 bölü 5 yazdığımızda, 'y' eşittir 0' ı sağlaması gerekir. Şimdi bu noktanın değerlerini, denklemde yerleştirelim. 'x' 4 bölü 5 olduğunda, 'y' 0'a eşittir. O zaman.. 0 eşittir ' eksi 1' çarpı 4 bölü 5 artı 'b' . Şimdi bakın, y' i 0 aldığımızda, y, eksi 4 bölü 5, artı b' ye eşittir. Bu denklemin iki tarafına da, 4 bölü 5 ekleyebiliriz. Oraya bir 4 bölü 5 ekleyin. Diğer tarafada 4 bölü 5 ekleyebiliriz. Bu işlemi yapmamızın nedeni, ' eksi 4 bölü 5'ten kurtulmak bu arada. Böylece 'b' nin, 4 bölü 5'e eşit olduğunu bulduk.. Şimdi denklemin doğrusunu çizebiliriz. y eşittir eksi 1 çarpı x, yani, “eksi x” şeklinde de yazabiliriz. artı b, yani 4 bölü 5. Şimdi doğruyu çizebileceğimiz bir denklemimiz oldu, bir doğrumuz oldu. Şimdi sırada bu var. Bu doğru, (2,6) ve (5,0) noktalarından geçiyor. Eğim ve y keseni, bize açıkça verilmemiş. Ama biz bu ikisini de koordinatları kullanarak bulabiliriz. Öylese hesaplayabileceğimiz ilk şey, doğrunun eğimi. eğim, yani 'm''yi bulacağız. Eğim, yani 'm''nin, y'deki değişim bölü, x'deki değişime eşit olduğunu zaten biliyoruz. Peki, y'deki değişiklik nedir? 6 eksi 0. Hadi bu şekilde yapalım. 0'ı farklı bir renkte yazacağız. 6 eksi 0, bu y' deki değişim. x' imizdeki değişim ise, 2 eksi 5. Farklı renkler kullanmamın sebebi.. hangi noktayla başladıysam, ilk olarak o noktanın x ve y değerlerini kullandım ve sarıyla yazdım.. Sonra, ikinci noktanın değerlerini, mor ile yazdım Noktaların değerlerinin sırasını, kesinlikle karıştırmamamız lazım Bunun, 2 virgül 6 konumu olduğunu göstermek istiyorum. Bu da 5 virgül 0 konumu. 2 ile 5' in yerlerini değiştiremem. Eğer değiştirirsem yanlış bir cevaba ulaşırım. Peki, bu işlemden ne elde ederim? 6 eksi 0, 6'ya eşittir. 2 eksi 5, o da eksi 3'e eşittir. Bu eksi 6 bölü 3' e eşittir , yani eksi 2' dir.. " eksi 2" bizim eğimimiz. Doğrunun denkleminin, y eşittir eğim, bunu turuncu yazacağım. Yani eksi 2 kere x, artı b, yani y keseni olduğunu biliyoruz. Şimdi son örnekte ne yaptıysak, aynısını yapabiliriz. b' yi bulmak için, bu iki noktadan herhangi bir tanesini kullanabiliriz. Aslında demek istediğim, her ikisini de kullanabiliriz. Farketmez... Her iki nokta da doğrunun üzerinde. Bu yüzden her iki nokta da denklemi sağlar.. (5,0) noktasını kullanacağım çünkü, noktalardan birinin içinde bir 0' ın olması her zaman işimizi kolaylaştırır.. Hadi 5 virgül 0'ı oraya koyalım. Bu ne demek? x, 5'e eşit olduğunda, y eşittir, 0 demek. Böylece, eksi 2 kere 5, artı b, eşittir y' ye, yani 0'a.. Yani 0 eşittir, eksi 10, artı b. Denklemin her iki tarafına da 10 ekleyelim, artı 10 ekleyelim. Böylece, b'nin 10 artı 0, başka bir değişle, 10'a eşit olduğunu bulduk. b eşittir 10. Şimdi doğrunun denklemini de biliyoruz. Denklem, y eşittir eksi 2x, artı 10'dur.. Güzel, bu örneği de yaptık. Bunlardan bir tane daha yapalım. daha yapalım.. Daha da yapalım.. daha çok yapalım Doğrumuz (3,5) ve ( eksi 3,0) noktalarından geçmektedir.. Bir önceki problemde de yaptığımız gibi çözmeye 'm' tabir ettiğimiz eğimi bulmakla başlayacağız. m, eşittir yükselme bölü mesafe demek. Y eşittir, y’deki değişim bölü, x’teki değişim demektir. Buradaki işaret hatırlıyorsanız DELTA. Bu üçgen gibi işaret, hatırlıyormusunuz? Değişim anlamına geliyor. m eşittir, delta y bölü, delta x Eğer bu denklemi ödev için çözüyorsanız, tüm bunları yazmak zorunda değilsiniz. Ben sadece bunların, aynı işlemler olduğunu anladığınızdan emin olmak istedim, o kadar. Peki, y' deki değişiklik bölü x' deki değişiklik kaçtır? Hadi bu tarafla başlayalım 0 eksi 5, Önce bu koordinatı kullanıyorum. Onu bir tür bitiş noktası olarak görüyorum. Bunu çözmeyi ilk öğrettiğim zamanı hatırlarsanız, x'i pay olarak yazmak cazip gelmişti, ama hayır. y, yani koordinatların ikincisi, paydır. Bunlar ikinci koordinatlar. ( eksi 3), eksi 3, Bu eksi 3, 0 konumudur. Bu ise 3 virgül 5 konumudur. Çıkarma işlemini yapalım. Peki buradan ne elde edeceğiz? Pay, eksi 5'e ve payda ( eksi 3) eksi 3 yani eksi 6' ya eşit olacak. Eksi bölü eksi, artıdır. Sonucumuz, 5 bölü, 6'dır. Bildiğimiz gibi denklemimiz, y eşittir, 5 bölü 6 kere x, artı b şeklinde yazılacaktır. b'yi bulmak için, bu koordinatlardan birini kullanabiliriz. Hadi yapalım. Her zaman içinde 0 olan koordinatı kullanmayı severim. Biraz önceki örnekte de, içinde 0 olan noktayı almıştım hatırlarsanız. Daha kolay oluyor. y, x ( eksi 3) olduğunda sıfırdır. x yerine eksi 3, y yerine ise 0 yazdım. Bunu yapabiliceğimi biliyorum, çünkü, bu nokta, bu noktanın koordinatları, doğrunun üzerinde. Bu yüzden bu nokta, denklemi sağlamalı. Hadi b' yi bulalım. Eğer, ( eksi 3)' ü 3 ile bölersek eksi 1 çıkar. 6 bölü 3 de 2 olur. Yani, 0 eşittir, eksi 5 bölü2, artı b olacak Denklemin her iki tarafına da, 5 bölü 2 ekleyelim. Artı 5 bölü 2, artı 5 bölü 2. Gösterimleri değiştirmeyi seviyorum, böylece her ikisini de öğreniyorsunuz. Denklem, 5 bölü 2 eşittir, b oldu. b, 5 bölü 2'dir. Doğrumuzun denklemi, y eşittir 5 bölü 6 x, artı b, yani 5 bölü 2'dir. Bir tane daha örnek yapalım. Burada bir grafiğimiz var. Bu grafiğin denklemini bulalım. Aslında bu biraz daha kolay. Eğim nedir? Eğim, y' deki değişim bölü x' deki değişimdir. Ne olduğunu görelim. x üzerinde hareket ettiğimizde, x' deki değişim 1'dir. x' deki değişim 1. x' i 1 artırttırarak değiştirmeye karar verdim. y' deki değişim nedir? y' deki değişim de, 4 gibi görünüyor. Delta y, yani y'deki değişim 4'e eşit, delta x'de 1'e eşit olduğunda. y' deki değişim bölü x' deki değişim, yani 4 bölü 1, 4 dür. Böylece eğimin 4' e eşit olduğunu bulduk. Peki ala, y keseni nedir? Bu noktada, grafiğe bakalım. Doğru, y eksenini y eksi 6' ya eşit olduğunda, yani, buradaki noktaya bakarsak, (0, eksi 6) noktası, (0, eksi 6) noktasında kesiyor. Böylece b'nin, eksi 6' ya eşit olduğunu biliyoruz. Böylece doğrunun denklemini bulmuş olduk. Doğrunun denklemi, y eşittir, eğim çarpı x, artı y, kesenidir. Denklemi yazalım o zaman. y eşittir, 4 x, eksi 6. Bu da bitti! Başka bir örnek daha yapalım. Yapalım... f(1.5), eksi 3' e ve f(1), 2'ye eşittir. Peki bu ne demek? Bu, x, 1 buçuğa eşit olduğunda, 1 nokta 5'e eşit olduğunda y, eksi 3'e eşittir demenin süslü bir yoludur. Bu bize noktanın koordinatının 1 buçuk, virgül 3, yani, 1 buçuğa 3 olduğunu söyler. Ayrıca, x, eksi 1 olduğunda, f(x) yani y, 2'ye eşittir. Bu, sadece doğrunun üzerindeki bu iki noktayı, süslü bir şekilde tanımlamaktır. Başka hiçbir farkı yok. Bu problemin bu şekilde verilmesinin amacı ; fonksiyon gösterimini de sizlere öğretmek.. böyle birşey gördüğünüzde gözünüz korkmasın. 1.5 fonksiyona girdiğinde eksi 3 çıkıyor. Yani y, f(x)' e eşittir şeklinde düşünebilirsiniz. Bu noktanın y eksi koordinatıdır. y koordinatı, eksi 3 olduğunda x, 1 buçuk olacaktır. Her neyse, bunu defalarca söyledim. Hadi bu doğrunun eğimini bulalım. Eğim yani, y'deki değişim bölü x'deki değişim, 2 eksi, eksi 3 bölü, eksi 1 eksi, 1.5' a eşittir. İşlemi renklendirdim çünkü, eksi 1 ile 2'nin, ikinci fonksiyondan geldiğini göstermek istedim. Bunları önce yazdığım için, x ve y' nin ikisinide, önce yazdım. Yani 2'yi önce yazdığımda, eksi 1'i de önce yazmak zorundayım. Bu yüzden renk kodlaması yaptım. 2 eksi, eksi 3 ile, 2 artı 3, aynı şeydir. Burası 5' tir. eksi 1 eksi 1.5, eksi 2.5' e eşittir. 5, 2.5' e bölündüğünde, 2 elde ederiz. Yani bu doğrunun eğimi eksi 2'dir. Aslında noktaların sırasının önemi yok. Az önce de söylemiştim. Şimdi tam tersini yapıp göstereceğim. İlk olarak sarı koordinatları yazıp, yeşil koordinatları sarılardan çıkaracağım. Eğer onu, eksi 3, eksi 2 bölü 1.5, eksi, eksi 1 şekilde yapsaydık, aynı sonucu verir miydi? Bu bana aynı cevabı vermelidir. Peki bu neye eşittir? eksi 3, eksi 2, eksi 5'tir. 1.5 artı 1 ise 2.5'tir. Yani eksi 5 bölü 2.5' tir. Bu işlem de, eksi 2' ye eşittir. Ben sadece, size tutarlı olduğunuz sürece, hangisiyle başlayıp hangisiyle bitirdiğinizin önemli olmadığını göstermek istedim. Eğer bu başlangıç y' si ise başlangıç x' i de budur. Eğer bu, bitiş y' si ise, bu da, bitiş x' i olmak zorundadır. Ama yine de, eğimin eksi 2 olduğunu biliyoruz. Böylece denklemin, y eşittir eksi 2 çarpı x, artı y keseni olduğunu biliyoruz. O zaman bu koordinatlardan birini kullanalım. İçinde ondalık olmadığı için bunu kullanacağım. O yüzden biliyoruz ki y, 2'ye eşit. Yani x,eksi 1' e eşit olduğunda y, 2'ye eşittir. Tabii ki artı b de var. 2 eşittir, eksi 2 çarpı eksi 1, artı b, yani 2 eşittir, 2 artı b. Eğer denklemin iki tarafındanda 2 çıkarırsak, sol tarafta 0 elde ederiz. Yani b, 0'a eşittir. Doğrumuzun denklemi, y eşittir eksi 2x 'tir. Artı 0’ı yazmamıza gerek yok değil mi? Bu denklemi fonksiyon gösterimi şeklinde yazmak istiyorum. f(x) eşittir, eksi 2x. Aslında y' nin f(x)' e eşit olduğunu kabul ediyorum. Burada y' den hiç bahsedilmedi. Bu yüzden sadece f(x) eşittir, eksi 2x şeklinde yazabiliriz. Bu koordinatların her biri, x' in ve f(x)' in koordinatları. Hatta... Eğimi,... f(x)' deki değişim bölü x' deki değişim şeklinde tanımlayabiliriz. Bunlar aynı şeyi ifade etmenin farklı yollarıdır.