Ana içerik

Konu: Cebir 2 > Ünite 8

Ders 3: Logaritmanın Özellikleri

Logaritma Özellikleri

Logaritmanın özelliklerini ve bu özellikleri logaritmaları farklı şekillerde ifade etmek için nasıl kullanacağımızı öğrenelim. Örneğin, log₂(3a)'yı nasıl açabileceğimizi...


Çarpım kuralı	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Bölüm kuralı	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Kuvvet kuralı	$\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

(Bu özellikler logaritmanın tanımlı olduğu her

M

N

b

değeri için, yani

M

N > 0

0 < b \neq 1

için geçerlidir.)

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Logaritmanın ne olduğunu bilmelisiniz. Eğer bilmiyorsanız, lütfen logaritmalara giriş makalemizi inceleyin.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Logaritmalar, üsler gibi, logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve logaritmik denklemleri çözmek için kullanılabilecek pek çok özelliğe sahiptir. Bu makalede, bu özelliklerden üç tanesi incelenmektedir.

Her bir özelliği tek tek bakalım.

Çarpım kuralı: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Bu özellik, bir çarpımın logaritmasının, çarpanlarının logaritmalarının toplamı olduğunu söyler.

Elbette!

M = 4

N = 8

b = 2

ise, özelliğe göre,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Aşağıdaki çalışma özelliğin bu durumda gerçekten doğru olduğunu gösterir!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Çünkü 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & Logaritmaları hesaplama \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Bu bir ispat değildir! Ancak, bu özelliğin akla yatkın olduğuna bizi ikna edebilir ve bunun neden doğru olduğuna ilişkin bize ipucu verebilir.

Logaritma ifadelerini tekrar yazmak için çarpım kuralını kullanabiliriz.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Amaçlarımız için, bir logaritmayı genişletmek, bunu iki veya daha çok logaritmanın toplamı olarak yazmak anlamına gelmektedir.

\log_{6} (5 y)

'yi açalım.

Logaritmanın iki argümanının

5

y

olduğuna dikkat edin. Logaritmayı açmak için doğrudan çarpım kuralını uygulayabiliriz.

$\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Çarpım kuralı \end{aligned}$ ‍

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Amaçlarımız için, iki veya daha çok logaritmanın toplamını birleştirmek, bunu tek bir logaritma olarak yazmak anlamına gelmektedir.

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

'i birleştirelim.

İki logaritmanın tabanı aynı olduğundan (taban-

3

), çarpım kuralını ters yönde uygulayabiliriz:

$\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Çarpım kuralı \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}$ ‍

Önemli bir not

Çarpım kuralını kullanarak logaritma ifadelerini birleştirdiğimizde, ifadedeki tüm logaritmaların tabanları aynı olmalıdır.

Örneğin,

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

gibi bir şeyi sadeleştirmek için çarpım kuralını kullanamayız.

Anladıklarınızı kontrol edin

1) $\log_{2} (3 a)$ ‍'yı açın.

2) $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍'i birleştirin.

Bölüm kuralı: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Bu özellik, bir bölümün logaritmasının bölünenle bölenin logaritmaları arasındaki fark olduğunu belirtir.

Elbette!

M = 81

N = 3

b = 3

ise, özelliğe göre,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

Aşağıdaki çalışma özelliğin bu durumda gerçekten doğru olduğunu gösterir!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & Çünkü 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & Logaritmaları hesaplama \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Bu bir ispat değildir! Ancak, bu özelliğin akla yatkın olduğuna bizi ikna edebilir ve bunun neden doğru olduğuna ilişkin bize ipucu verebilir.

Şimdi logaritma ifadelerini tekrar yazmak için bölüm kuralını kullanalım.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Bölüm kuralını doğrudan uygulayarak,

\log_{7} (\frac{a}{2})

'yi iki logaritmanın farkı olarak açalım.

$\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Bölüm kuralı \end{aligned}$ ‍

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

'yi birleştirelim.

İki logaritmanın tabanı aynı olduğundan (taban-

4

), bölüm kuralını ters yönde uygulayabiliriz:

$\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Bölüm Kuralı \end{aligned}$ ‍

Önemli bir not

Bölüm kuralını kullanarak logaritma ifadelerini birleştirdiğimizde, ifadedeki tüm logaritmaların tabanları aynı olmalıdır.

Örneğin,

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

gibi bir şeyi sadeleştirmek için bölüm kuralını kullanamayız.

Anladıklarınızı kontrol edin

3) $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍'yi açın.

4) $\log (3 z) - \log (8)$ ‍'i birleştirin.

Kuvvet kuralı: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Bu özellik bir kuvvetin logaritmasının üs çarpı kuvvetin tabanının logaritması olduğunu söyler.

Elbette!

M = 4

p = 2

, ve

b = 4

ise, özelliğe göre,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

Aşağıdaki çalışma özelliğin bu durumda gerçekten doğru olduğunu gösterir!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Çünkü 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Logaritmaları hesaplama \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

Bu bir ispat değildir! Ancak, bu özelliğin akla yatkın olduğuna bizi ikna edebilir ve bunun neden doğru olduğuna ilişkin bize ipucu verebilir.

Şimdi logaritma ifadelerini tekrar yazmak için kuvvet kuralını kullanalım.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Bu bölümdeki amaçlarımız için, bir logaritmayı genişletmek, bunu başka bir logaritmanın bir katı olarak yazmak anlamına gelmektedir.

\log_{2} (x^{3})

'ü açmak için kuvvet kuralını kullanalım.

$\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Kuvvet kuralı \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}$ ‍

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Bu bölümdeki amaçlarımız için, bir logaritmanın bir katını birleştirmek, bunu başka bir logaritma olarak yazmak anlamına gelmektedir.

Kuvvet kuralını kullanarak

4 \log_{5} (2)

'yi birleştirelim,

Bir logaritma ifadesini kuvvet kuralını kullarak sıkıştırdığımızda, çarpanları üsler haline getiririz.

$\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Kuvvet kuralı \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}$ ‍

Anladıklarınızı kontrol edin

5) $\log_{7} (x^{5})$ ‍'i açın.

6) $6 \ln (y)$ ‍'yi birleştirin.

Zor problemler

Sonraki soruları cevaplamak için, her bir durumda birkaç özellik uygulamanız gerekecek. Bunu bir deneyin!

1) Aşağıdakilerden hangisi $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍ ile denktir?

İlk olarak, bölme kuralını uygulayın.

\begin{aligned} \log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5}) & = \log_{b} (2 x^{3}) - \log_{b} (5) & Bölüm Kuralı \end{aligned}

Sonra, ilk terimde bir çarpım olduğuna dikkat edin. Bunu iki logaritmanın toplamı şeklinde yazmak için çarpım kuralını kullanın.

\begin{aligned} = \log_{b} (2 x^{3}) - \log_{b} (5) \\ = \log_{b} (2) + \log_{b} (x^{3}) - \log_{b} (5) & Çarpım kuralı \end{aligned}

Son olarak, ifadede hala bir kuvvet olduğuna dikkat edin. Bu kuvveti indirmek için kuvvet kuralını kullanabiliriz.

\begin{aligned} = \log_{b} (2) + \log_{b} (x^{3}) - \log_{b} (5) \\ = \log_{b} (2) + 3 \log_{b} (x) - \log_{b} (5) & Kuvvet kuralı \end{aligned}

Bir logaritma ifadesinin, logaritmaların argümanlarında hiç kuvvet, çarpım veya bölüm kalmadığında tamamen açılmış olduğunu biliyoruz.

Böylece, genişletilmiş form

\log_{b} (2) + 3 \log_{b} (x) - \log_{b} (5)

2) Aşağıdakilerden hangisi $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍ ile denktir?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

crazy someone
8 yıl önce önce paylaşıldı. crazy someone kullanıcısının ''Sayfanın başındaki "Unutm'...' gönderisini görmek için direkt link
Sayfanın başındaki "Unutmayın, bir logaritmanın tanımlı olabilmesi için, logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır ve logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır." ifadesi birazcık kafamı karıştırıyor açıkçası. neden 'logaritma -2 tabanında -8' gibi bir ifade yazamıyoruz? Bu ifadenin sonucu üç olur. Logaritma ile çözülebilir ve logaritmanın argümanı da negatif sayı olmuş olur gibi geliyor. Bir tek sorun argüman negatif olduğunda ifadenin sonucu çift sayı olmaması olur sanırım. bir de belki sonsuz küçüklerde negatif sayıların üssünün alınmasında sıkıntı çıkabilir. Ama tamamen logaritma argümanı negatif olamaz diyebilir miyiz bilemiyorum. kafamı karıştırıyor.
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirircrazy someone adlı kullanıcının "Sayfanın başındaki "Unutm..." gönderisine yorum yazın
(0 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 8

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Çarpım kuralı: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Önemli bir not

Anladıklarınızı kontrol edin

Bölüm kuralı: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Önemli bir not

Anladıklarınızı kontrol edin

Kuvvet kuralı: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Anladıklarınızı kontrol edin

Zor problemler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Çarpım kuralı: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Bölüm kuralı: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Kuvvet kuralı: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍