If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 8

Ders 3: Logaritmanın Özellikleri
Matematik
Cebir 2
Üstel İfadeler ve Logaritmalar
Logaritmanın Özellikleri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Logaritma Özellikleri

Google Classroom
Logaritmanın özelliklerini ve bu özellikleri logaritmaları farklı şekillerde ifade etmek için nasıl kullanacağımızı öğrenelim. Örneğin, log₂(3a)'yı nasıl açabileceğimizi...
Çarpım kuralılog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Bölüm kuralılog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Kuvvet kuralılog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Bu özellikler logaritmanın tanımlı olduğu her M, N ve b değeri için, yani M, N, is greater than, 0 ve 0, is less than, b, does not equal, 1 için geçerlidir.)

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Logaritmanın ne olduğunu bilmelisiniz. Eğer bilmiyorsanız, lütfen logaritmalara giriş makalemizi inceleyin.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Logaritmalar, üsler gibi, logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve logaritmik denklemleri çözmek için kullanılabilecek pek çok özelliğe sahiptir. Bu makalede, bu özelliklerden üç tanesi incelenmektedir.
Her bir özelliği tek tek bakalım.

Çarpım kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Bu özellik, bir çarpımın logaritmasının, çarpanlarının logaritmalarının toplamı olduğunu söyler.
Logaritma ifadelerini tekrar yazmak için çarpım kuralını kullanabiliriz.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Amaçlarımız için, bir logaritmayı genişletmek, bunu iki veya daha çok logaritmanın toplamı olarak yazmak anlamına gelmektedir.
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis'yi açalım.
Logaritmanın iki argümanının start color #11accd, 5, end color #11accd ve start color #1fab54, y, end color #1fab54 olduğuna dikkat edin. Logaritmayı açmak için doğrudan çarpım kuralını uygulayabiliriz.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)        Çarpım kuralı\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{Çarpım kuralı}}} \end{aligned}

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Amaçlarımız için, iki veya daha çok logaritmanın toplamını birleştirmek, bunu tek bir logaritma olarak yazmak anlamına gelmektedir.
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis'i birleştirelim.
İki logaritmanın tabanı aynı olduğundan (taban-3), çarpım kuralını ters yönde uygulayabiliriz:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Çarpım kuralı=log⁡3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{Çarpım kuralı}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Önemli bir not

Çarpım kuralını kullanarak logaritma ifadelerini birleştirdiğimizde, ifadedeki tüm logaritmaların tabanları aynı olmalıdır.
Örneğin, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis gibi bir şeyi sadeleştirmek için çarpım kuralını kullanamayız.

Anladıklarınızı kontrol edin

1) log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis'yı açın.

2) log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis'i birleştirin.

Bölüm kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Bu özellik, bir bölümün logaritmasının bölünenle bölenin logaritmaları arasındaki fark olduğunu belirtir.
Şimdi logaritma ifadelerini tekrar yazmak için bölüm kuralını kullanalım.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Bölüm kuralını doğrudan uygulayarak, log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis'yi iki logaritmanın farkı olarak açalım.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Bo¨lu¨m kuralı\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{Bölüm kuralı}}} \end{aligned}

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis'yi birleştirelim.
İki logaritmanın tabanı aynı olduğundan (taban-4), bölüm kuralını ters yönde uygulayabiliriz:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Bo¨lu¨m Kuralı\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{Bölüm Kuralı}}}\\ \\ \end{aligned}

Önemli bir not

Bölüm kuralını kullanarak logaritma ifadelerini birleştirdiğimizde, ifadedeki tüm logaritmaların tabanları aynı olmalıdır.
Örneğin, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis gibi bir şeyi sadeleştirmek için bölüm kuralını kullanamayız.

Anladıklarınızı kontrol edin

3) log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis'yi açın.

4) log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis'i birleştirin.

Kuvvet kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Bu özellik bir kuvvetin logaritmasının üs çarpı kuvvetin tabanının logaritması olduğunu söyler.
Şimdi logaritma ifadelerini tekrar yazmak için kuvvet kuralını kullanalım.

Örnek 1: Logaritma ifadelerini açmak

Bu bölümdeki amaçlarımız için, bir logaritmayı genişletmek, bunu başka bir logaritmanın bir katı olarak yazmak anlamına gelmektedir.
log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis'ü açmak için kuvvet kuralını kullanalım.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Kuvvet kuralı=3log⁡2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{Kuvvet kuralı}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Örnek 2: Logaritma ifadelerini birleştirmek

Bu bölümdeki amaçlarımız için, bir logaritmanın bir katını birleştirmek, bunu başka bir logaritma olarak yazmak anlamına gelmektedir.
Kuvvet kuralını kullanarak 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi birleştirelim,
Bir logaritma ifadesini kuvvet kuralını kullarak sıkıştırdığımızda, çarpanları üsler haline getiririz.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)  Kuvvet kuralı=log⁡5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{Kuvvet kuralı}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

Anladıklarınızı kontrol edin

5) log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis'i açın.

6) 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis'yi birleştirin.

Zor problemler

Sonraki soruları cevaplamak için, her bir durumda birkaç özellik uygulamanız gerekecek. Bunu bir deneyin!
1) Aşağıdakilerden hangisi log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis ile denktir?
1 cevap seçin:

2) Aşağıdakilerden hangisi 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis ile denktir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
  • crazy someone kullanıcısının avatarı leafers tree style
    7 yıl önce önce paylaşıldı. crazy someone kullanıcısının ''Sayfanın başındaki "Unutm'...' gönderisini görmek için direkt link
    Sayfanın başındaki "Unutmayın, bir logaritmanın tanımlı olabilmesi için, logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır ve logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır." ifadesi birazcık kafamı karıştırıyor açıkçası. neden 'logaritma -2 tabanında -8' gibi bir ifade yazamıyoruz? Bu ifadenin sonucu üç olur. Logaritma ile çözülebilir ve logaritmanın argümanı da negatif sayı olmuş olur gibi geliyor. Bir tek sorun argüman negatif olduğunda ifadenin sonucu çift sayı olmaması olur sanırım. bir de belki sonsuz küçüklerde negatif sayıların üssünün alınmasında sıkıntı çıkabilir. Ama tamamen logaritma argümanı negatif olamaz diyebilir miyiz bilemiyorum. kafamı karıştırıyor.
    (0 oy)
    kullanıcısının avatarı Default Khan Academy avatar
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.