Ters Çevrilebilme Özelliğini Örtenlik ve Birebirliğe Bağlama

Birkaç video önce, X kümesinden Y kümesine eşleme olan bir fonksiyonun tersinin bulunma kuralını öğrenmiştik. Bunu yazayım. Değer kümesindeki her y değeri için tanım kümesinde f x eşittir y koşulunu sağlayan tek bir x değeri olması gerekiyor. Yani bu X tanım kümesini ve bu Y değer kümesini alırsam, f fonksiyonunun tersinin olduğunu söyleriz. Tersinin olma durumunu biliyoruz. Ters fonksiyon adını verdiğimiz başka bir fonksiyon var ve bu fonksiyon ile f'nin bileşkesi x'li birim fonksiyonunu veriyor. Veya f'nin bu fonksiyonla bileşkesi y'li birim fonksiyonu veriyor. Bunu birkaç kere yaptık, o nedenle tekrar etmiyorum. Tersi olma durumunu biliyoruz, değer kümesindeki her y değeri için f x eşittir y koşulunu sağlayan tek x değeri olmalı. Şöyle yazayım. Buna x 0 diyelim, f x 0 eşittir y. Yani bu y eşittir f x 0. Buraya fonksiyonu uygularsak, bu noktaya eşleme yapar. Şöyle olsaydı, fonksiyonun tersi olmazdı. Nasıl olsaydı İki değişik X elemanı burayla eşleşseydi. Bu durum tersi olma koşulunu bozardı, çünkü tek x değeri olmazdı. Burayla eşleşen tek x değeri olmak zorunda. Burada çizdiğim haliyle, y ile eşleşen tek x değeri yok, iki x değeri var. Bir önceki videoda anlattıklarımın ışığında, bunun anlamını düşünelim. Her y ile eşleşen tek x değeri varsa, bire bir eşleme var demektir. f bire bir fonksiyon olmalı. Bunu yazayım. f bire bir veya injektif fonksiyondur. Bu iki arkadaş aynı y ile eşleşirse, bu koşul bozulur. Bire bir olmaz ve bu denkleme tek bir çözüm bulamayız. Şimdi bu tanımın geri kalanında her y için o y ile eşleşen tek x vardır diyoruz. Burada eşleşmeyen bir y olmamalı. Bu durumda ters fonksiyon için gerekli koşullar oluşmamış demektir. Yani bu fonksiyonun tersi yoktur. Tüm y değerleri eşleşmek zorunda.Bunların hepsi eşleşmek zorunda. Ve her biriyle sadece bir X elemanı eşleşebilir. sadece bir X elemanı Buradaki her şeyle yalnızca bir arkadaş eşleşecek. Bir önceki videoda değer kümesinin tümünün eşleştiği fonksiyona hangi adı vermiştik? Bunu başka hangi şekilde ifade edebiliriz? Değer kümesinin her elemanının eşleştiğini nasıl ifade edebiliriz? Bir önceki videoda bu kavramın örten veya surjektif fonksiyon olduğunu söylemiştim. Bu videoyu yapmamın sebebi, bir önceki videoda kullanmaya başladığım terimlerle bir fonksiyonun tersinin olması koşullarını tekrar ifade etmekti. bir fonksiyonun tersinin olması koşullarını tekrar ifade etmekti. Buna göre, değer kümesinin her elemanının bir x değeriyle eşleşmesine, örten fonksiyon diyoruz. f örten fonksiyondur dersek, bunun anlamı buradaki her şeyin eşleştiğidir. Ama birden fazla x'le de eşleşebilir. Fonksiyonun surjektif olması, her X elemanının ayrı bir Y elemanıyla eşleşmesini garanti etmez. garantilemez. Bu koşulu sağlamak için, f'nin aynı zamanda injektif olduğunu söylememiz gerekir. Bunlar için daha az resmi olan terimleri de kullanabiliriz, buna örten, şuna da bire bir diyebiliriz. Şimdi bir önceki videoda kullandığımız terimlerle ters fonksiyon olması koşulunu tekrardan ifade edebiliriz. X tanım kümesinden Y değer kümesine eşleme olan bir fonksiyonun tersi ancak ve ancak f fonksiyonu hem surjektif hem de injektif ise, vardır. Veya ancak ve ancak f bire bir ve örten ise, f'nin tersi vardır: Bunlar, değer kümesindeki her y değeri ile eşleşen tek x değeri olduğunu söylemenin süslü yolları. Her Y elemanıyla bir eleman eşleşiyor.